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第二十章 勾股定理
20.1 勾股定理及其应用
第3课时 利用勾股定理作图
1. 理解直角三角形三边的关系，会应用勾股定理解决直角三角形全等判定定理的证明.
2. 利用勾股定理，能在数轴上找到表示无理数的点.
(重点)
3. 理解实数与数轴的一一对应关系，在比较复杂的图形中利用勾股定理进行计算.(难点)
4. 在数学活动中培养探究意识和合作交流的习惯，并体会勾股定理的应用价值.
素养目标
欣赏下面图片：
这些都是什么的图片？
这个图是怎样绘制出来的呢？
在数学中也有这样一幅美丽的“海螺形”图案， 如第七届国际数学教育大会的会徽.
思考：在八年级上册中，我们曾经通过探究得出结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗
提示：先画出图形，再写出已知、求证.
探究点1：勾股定理的认识与证明
已知：如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C' 中，
∠C＝∠C′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A'C'.
求证：△ABC≌△A'B'C'.
A
B
C
A′
B′
C′
证明：在 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C' 中，
∠C′＝90°，根据勾股定理，
又 AB＝A′B′，AC＝A'C'，
∴BC＝B′C'.
∴△ABC ≌△A'B'C'(SSS) .
探究点1：勾股定理的认识与证明
探究点2：利用勾股定理在数轴上表示实数
问题2：求下列直角三角形的各边长.
1
？
2
1
？
1
问题1：我们知道数轴上的点与实数一一对应，有的表示有理数，有的表示无理数.你能在数轴上分别画出表 示 3，﹣2.5 的点吗？
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
3
-2.5
√
√
问题3：能否找到这样的三角形，满足斜边为 ，直角边均为整数？
1
2
3
探究点2：利用勾股定理在数轴上表示实数
思考：根据上面问题你能在数轴上画出表示 的点吗？
0
1
2
3
4
l
A
B
C
x
O
也可以使 OA = 2，AB = 3，同样可以求出 C 点.
1. 在数轴上找到点 A，使 OA = 3；
2. 作直线 l⊥OA，在 l 上取一点 B，使 AB = 2；
3. 以原点 O 为圆心，以 OB 为半径作弧，弧与数轴交于 C 点，则点 C 即为表示 的点.
探究点2：利用勾股定理在数轴上表示实数
-1 0 1 2 3
问题4：你能在数轴上画出表示 的点吗？ 呢？
探究点2：利用勾股定理在数轴上表示实数
“数学海螺”
类似地，利用勾股定理可以作出长为 线段.
1
1
【类比迁移】
探究点2：利用勾股定理在数轴上表示实数
-1 0 1 2 3
用同样的方法在数轴上画出表示 的点
探究点2：利用勾股定理在数轴上表示实数
利用勾股定理表示无理数的方法:
（1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边.
（2）以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴存在交点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点右边的点表示是正无理数.
【归纳总结】
探究点2：利用勾股定理在数轴上表示实数
例1 如图，数轴上点 A 所表示的数为 a，求 a 的值.
解：∵图中的直角三角形的两直角边长为 1 和 2，
∴斜边长为 ，即 －1 到 A 的距离是 ，
∴点 A 所表示的数为 .
易错点拨：求点表示的数时注意画弧的起点不从原点起，则所表示的数不是斜边长.
探究点2：利用勾股定理在数轴上表示实数
1.如图，在矩形 ABCD 中，AB = 3，AD = 1，AB 在数轴上，若以点 A 为圆心，对角线 AC 的长为半径作弧交数轴于点 M，则点 M 表示的数为(　　)
C
【练一练】
A. 2 B.
C. D.
探究点2：利用勾股定理在数轴上表示实数
0
1
2
3
4
l
A
B
C
2. 你能在数轴上画出表示 的点吗？
？
4
探究点2：利用勾股定理在数轴上表示实数
例2 在 5×5 的正方形网格中，每个小正方形的边长都为 1，请在给定网格中以 A 出发分别画出长度为 ， ， 的线段 AB.
AB=
AB=
AB=
探究点2：利用勾股定理在数轴上表示实数
【练一练】在如图所示的 6×8 的网格中，每个小正方形的边长都为 1，写出格点 △ABC 各顶点的坐标，并求出此三角形的周长．
解：由题图得A(2，2)，B(-2，-1)，
C(3，-2).
由勾股定理得
归纳：勾股定理与网格的综合求线段长时，通常是把线段放在与网格构成的直角三角形中，利用勾股定理求其长度.
∴△ABC 的周长为
探究点2：利用勾股定理在数轴上表示实数
例3 如图，折叠长方形 ABCD 的一边 AD，使点 D 落在 BC 边的 F 点处，若 AB = 8 cm，BC = 10 cm，
求 EC 的长.
D
A
B
C
E
F
解：在Rt△ABF 中，由勾股定理得 BF2 = AF2－AB2 = 102－82 = 36，
∴ BF = 6 cm. ∴CF = BC－BF = 4cm.
设EC= x cm，则EF=DE=(8－x) cm，
在Rt△ECF 中，根据勾股定理
得 x2 + 42 = (8－x)2，
解得 x = 3.
即 EC 的长为 3 cm.
要用到方程思想
探究点2：利用勾股定理在数轴上表示实数
【变式题】如图，四边形 ABCD 是边长为 9 的正方形纸片，将其沿 MN 折叠，使点 B 落在 CD 边上的B′ 处，点 A 的对应点为 A′，且 B′C＝3，求 AM 的长.
解：连接 BM，MB′. 设 AM＝x，
在Rt△ABM 中，AB2＋AM2＝BM2.
在Rt△MDB′ 中，MD2＋DB′2=MB′2.
∵ MB＝MB′，
∴ AB2＋AM2＝MD2＋DB′2，
即 92＋x2＝(9－x)2＋(9－3)2，
解得 x＝2. 即 AM＝2.
探究点2：利用勾股定理在数轴上表示实数
折叠问题中结合勾股定理求线段长的方法:
(1)设一条未知线段的长为x(一般设所求线段的长为x)；
(2)用已知线数或含 x 的代数式表示出其他线段长；
(3)在一个直角三角形中应用勾股定理列出一个关于 x
的方程；
(4)解这个方程，从而求出所求线段长.
【归纳总结】
探究点2：利用勾股定理在数轴上表示实数
勾股定理
应用
在数轴上画出表示实数的点
综合应用
1. 如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝8，
BC＝6，分别以点 A，B 为圆心，以AB长为半径画
弧，两弧相交于点D，连接AD，BD，则△ABD的
周长为(　D　)
A. 18 B. 24
C. 12 D. 30
D
2. 如图，A(12，0)，C(－1，0)，以点A为圆心，
AC 长为半径画弧交 y 轴正半轴于点B，则点B的坐标为(　D　)
A. (0，2) B. (0，3)
C. (0，4) D. (0，5)
第2题图
D
2
3
1
3. 如图，长方形 OABC 的边 OA 长为2，边 AB 长为 1，OA 在数轴上，以原点 O 为圆心，对角线 OB的长为半径画弧，交数轴上原点右侧于一点，则这个
点表示的实数是 .
　
2
3
1

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