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第二十章 勾股定理
20.1 勾股定理及其应用
第1课时 勾股定理
1. 了解勾股定理，探索勾股定理的证明过程，学会利用几何图形的截、割、补证明勾股定理.(重点)
2. 掌握勾股定理，并能应用它进行简单的计算.(重点)
3. 过拼图活动，体会数形结合的思想方法，培养动手实践和创新能力.(难点)
思考：直角三角形作为一种特殊的三角形，它的三个角满足其中一个角是直角、其余两个角互余，对于直角三角形的三条边，它们之间有什么特殊关系呢
在《周髀算经》的开篇，商高（约公元前 11 世纪）构造了一个勾、股、弦分别为三、四、五的直角三角形，并指出“两矩其长二十有五”，意指分别以勾、股为边的正方形的面积之和，恰好等于以弦为边的正方形的面积.
探究点1：勾股定理的认识与证明
商高所指的面积关系可以用图形表示，如图，红色直角三角形的三边长分别为 3，4，5，分别以这三边为边向外作正方形，所得正方形的面积分别为 ， ， ，
且它们的数量关系是 ，
从边的角度看，
这个直角三角形的三边满足：
.
问题1：其他直角三角形的三边是否也满足上述数量关系？
探究点1：勾股定理的认识与证明
3
4
5
9
16
25
9＋16＝25
两条直角边长的平方和等于斜边长的平方
问题2：(1) 如图，每个小方格的面积均为 1，求正方形 A1，B1，C1 ， A2，B2，C2 ，A3，B3，C3 的面积.
这两幅图中A，B的面积都好求，该怎样求 C 的面积呢？
探究点1：勾股定理的认识与证明
A1
B1
C1
B2
A2
C2
B3
A3
C3
方法一：割
方法二：补
方法三：拼
分割为四个直角三角形和一个小正方形.
补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积.
将几个小块拼成若干个小正方形，图中两块红色（或绿色）可拼成一个小正方形.
探究点1：勾股定理的认识与证明
A1 的面积＝1，B1 的面积＝4，C1 的面积＝5；
A2 的面积＝4，B2 的面积＝9，C2 的面积＝13；
A3 的面积＝9，B3 的面积＝25，C3 的面积＝34.
探究点1：勾股定理的认识与证明
A1
B1
C1
B2
A2
C2
B3
A3
C3
(2) 它们之间的面积有什么关系？
A1 的面积＋B1 的面积＝C1 的面积；
A2 的面积＋B2 的面积＝C2 的面积；
A3 的面积＋B3 的面积＝C3 的面积.
(3) 以格点为顶点，在方格纸中任意画一个直角三角形，类似地作出三个正方形，这三个正方形的面积有什么关系？由此，你能得出关于直角三角形三边关系的猜想吗？
探究点1：勾股定理的认识与证明
【归纳总结】
可以发现，以直角三角形两条直角边为边的正方形的面积之和，等于以斜边为边的正方形的面积.由此我们猜想：
如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2＋b2＝c2.
探究点1：勾股定理的认识与证明
a
b
b
c
a
b
c
a
证法 让我们跟着我国汉代数学家赵爽拼图，再用所拼的图形证明命题吧.
探究点1：勾股定理的认识与证明
所以可以得到等式：
.
证明：整个图形可以看作是边长为 的大正方形，它的面积为 ；
例1 请你补全下列证明勾股定理的一种方法.
已知：在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠BAC，∠ABC，∠ACB 的对边分别为 a，b，c. 求证：a2＋b2＝c2.
也可以看作由四个全等的直角三角形和一个边长为 的小正方形组成，
其面积为 .
化简，得 .
c
c2
b－a
a2+b2=c2
探究点1：勾股定理的认识与证明
勾股定理
如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2 + b2 = c2.
几何语言：
在Rt△ABC 中，∠C = 90°，
∴a2 + b2 = c2.
a
b
c
公式变形：
探究点1：勾股定理的认识与证明
2002年在北京召开的国际数学家大会的会标，就是以此图为原型设计的.
在西方，人们称勾股定理为毕达哥拉斯定理.
探究点1：勾股定理的认识与证明
例2 如图，根据所给条件分别求两个直接三角形中未知边的长.
解：(1) 在 Rt△ABC 中，根据勾股定理，
AB ＝AC ＋BC ＝8 ＋6 ＝100，
B
6
8
A
C
E
D
F
15
17
所以 AB＝10.
(2) 在 Rt△DEF 中，根据勾股定理，DE ＋EF ＝DF ，
从而 DE ＝DF －EF ＝17 －15 ＝64，
所以 DE＝8.
(1)
(2)
探究点2：利用勾股定理进行计算
【练一练】1. 求下列图中未知数 x，y 的值：
解：由勾股定理可得
81 + 144 = x2，
解得 x = 15.
解：由勾股定理可得
y2 + 144 = 169，
解得 y = 5.
(1) 若 a∶b = 1∶2 ，c = 5，求 a ；
(2) 若 b = 15，∠A = 30°，求 a，c.
【练一练】2.在 Rt△ABC 中， ∠C = 90°.
解：
(1) 设 a = x，b = 2x，根据勾股定理建立方程得
x2 + (2x)2 = 52，
解得
因此设 a = x，c = 2x，根据勾股定理建立方程得
(2x)2 - x2 = 152，
解得
归纳：已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两边时，要运用方程思想设未知数，根据勾股定理列方程求解.
(2)∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴c＝2a.
【练一练】3.在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当 AB 为斜边时，如图①，
当 BC 为斜边时，如图②，
4
3
A
C
B
4
3
C
A
B
图①
图②
归纳：当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下一定要进行分类讨论，否则容易漏解.
勾股定理
三边关系
勾股定理
a2 + b2 = c2
特例猜想
网格验证
拼图证明
符号语言：
在Rt△ABC 中，
∠C = 90°，
______________
a
b
c
课堂小结
1. 在△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，BC＝9，
则AC的长为(　B　)
A. 10 B. 12
C. 13 D. 24
2. 长方形的相邻两边长分别是3和5，则它的对角线
长是(　C　)
A. 6 B. 7
C. D. 8
B
C
3. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.
第3题图
(1)若a＝3，b＝4，则c＝ ；
(2)若a＝8，c＝17，则b＝ ；
(3)若a＝b＝1，则c＝ .
5　
15　
　
4. [教材变式]如图，以Rt△ABC的三边为边，分别
向外作正方形，它们的面积分别为S1，S2，S3，若
S2＝4，S3＝9，则S1＝ .
第4题图
13　
5. 如图是由四个全等的直角三角形拼接而成的一个
正方形，其中直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，a＞b.利用等面积法验证勾股定理.
解：∵S大正方形＝c2，S大正方形＝4S小三角形＋S小正方形
＝4× ab＋(a－b)2，
∴c2＝4× ab＋(a－b)2.
整理，得2ab＋a2－2ab＋b2＝c2.
∴c2＝a2＋b2.
6. 求图中的Rt△ABC的面积.
解：在Rt△ABC中，由勾股定理得(x＋4)2＝36＋
x2，
解：在Rt△ABC中，由勾股定理得(x＋4)2＝36＋x2，
解得x＝ .
所以S△ABC＝ ×6× ＝7.5.
解得x＝ .
所以S△ABC＝ ×6× ＝7.5.

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