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(共14张PPT)
第二十章 勾股定理
综合与实践
利用勾股定理绘制图案
1.理解勾股定理在图案绘制中的应用原理.(重点)
2.掌握利用勾股定理创作图案的方法. (难点)
3.提升数学审美与实践创新素养.
欣赏视频中的图形，它有什么样的特点？
探究1：利用勾股定理绘制图案
探究 利用勾股定理，可以绘制出各种不同的图案，下图中的图案均与勾股定理有关，不仅体现出勾股定理在图案设计中的应用，还彰显出数学的 “无限”之美，这些图案是如何利用勾股定理绘制的呢
问题1：图(1) 是如何绘制的呢？
图 (1) 形如一棵树，有人称之为“勾股树”，
绘制这个图案，需要先画一个如图（2） 所示的图形
（1）
（2）
再以图形中的两个较小的正方形为基础，在两个小正方形的上方，分别作出两个形状与图（2） 相同的图形，如图（3） 所示.
（3）
如此重复下去，最后填充颜色，就可以得到类似于图（1）的“勾股树”.
像上面这样，按照相同的方法画图，并在新生成的图形上多次重复这个过程，就形成一幅无限生长的树形图案.
点击打开几何画板
探究点2：图案的绘制方法
问题2：你知道下图是如何利用勾股定理绘制的吗
解：第 1 个直角三角形两直角边长分别是 1 和 1，
以第 1 个直角三角形的斜边作为直角边，
另一条外侧的直角边为 1，画出第 2 个直角三角形；以第 2 个直角三角形的斜边作为直角边，
另一条外侧的直角边为 1，
画出第 3 个直角三角形，
···
第 1 个三角形的斜边长 ，
第 2 个三角形的斜边长是 ，
第 3 个三角形的斜边长是 ，
第 n 个三角形的斜边长是 .
以此类推即可完成构图.
利用勾股定理绘制图案
应用：创意设计新图案
原理：勾股定理 (a2＋b2＝c2)
案例
勾股树：正方形面积关系＋重复构造直角三角形
边长拓展＋重复图形模块组合＋勾股关系
课堂小结
1. 如果用 a，b 和 c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，则 （用含有 a，b 和 c 的式子表示三者之间的等量关系）.
a2＋b2＝c2
2. 如图以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足 .
S1＋S2＝S3
3. 如图所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为 S1，S2，直角三角形面积为 S3，请判断 S1，S2，S3 的关系并说明理由.
解：S1＋S2＝S3. 理由如下：
∵ S1＋S2＝
∴ S1＋S2＝
∴a2＋b2＝c2.
∴S1＋S2＝S3.
4. 有一个边长为 1 的正方形，经过 1 次“生长”后，在它的左右肩上长出两个小正方形，其中，三个正方形的三条边围成的三角形是直角三角形，再经过 1 次这样的“生长”后，如果照此规律继续“生长”下去，它将变成如图2 所示的“枝繁叶茂的勾股树”，请你算出“生长”了 2025 次后形成的图形中所有正方形的面积和.
解：由勾股定理知：“生长” 1 次，“生长”出的两个正方形面积和等于原来正方形的面积，所有正方形面积和为 2；“生长”2 次，“生长”出的四个正方形面积和等于等于第一次“生长”出的两个正方形的面积，所有正方形的面积之和为 3；经过 n 次“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和是 n＋1；
经过2025 次“生长”后形成的图形中
所有正方形的面积和是2026.

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