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第二十一章 四边形
章末小结
一、几种特殊四边形的性质
项目 四边形 边 角 对角线 对称性
对边平行且相等
对边平行且相等
对边平行
且四边相等
对边平行
且四边相等
对角相等
四个角
都是直角
对角相等
四个角
都是直角
互相平分
互相平分且相等
互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角
轴对称图形
轴对称图形
轴对称图形
互相垂直且平分，每一条对角线平分一组对角
四边形 条件
平行 四边形
矩形
菱形
正方形
二、几种特殊四边形的常用判定方法：
1.定义：两组对边分别平行 2.两组对边分别相等
3.两组对角分别相等 4.对角线互相平分
5.一组对边平行且相等
1.定义：有一个角是直角的平行四边形
2.对角线相等的平行四边形
3.有三个角是直角的四边形
1.定义：一组邻边相等的平行四边形 ;2.对角线互相垂直的平行四边形，3.四条边都相等的四边形
1.定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形
2.有一组邻边相等的矩形 3.有一个角是直角的菱形
三、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系
5种判定方法
三个角是直角
四条边相等
一个角是直角
或对角线相等
一组邻边相等
或对角线垂直
一组邻边相等
或对角线垂直
一个角是直角
或对角线相等
一个角是直角且一组邻边相等
四、其他重要概念及性质
1.两条平行线之间的距离：
2.三角形的中位线定理：
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做两条平行线之间的距离.
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
3.直角三角形斜边上的中线：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
考点一 平行四边形的性质与判定
例1 如图，在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠B＝90°，AG∥CD 交 BC 于点 G，点 E、F 分别为 AG、CD的中点，连接 DE、FG.
(1)求证：四边形 DEGF 是平行四边形；
(2)如果点 G 是 BC 的中点，且 BC＝12，DC＝10，求
四边形 AGCD 的面积．
解：(1)∵ AG∥DC，AD∥BC，
∴ 四边形 AGCD 是平行四边形，
∴ AG＝DC.
∵ E、F 分别为 AG、DC 的中点，
∴ GE＝ AG，DF＝ DC，
即 GE＝DF，GE∥DF，
∴四边形 DEGF 是平行四边形.
(2)∵ 点 G 是 BC 的中点，BC＝12，
∴ BG＝CG＝ BC＝6.
∵四边形 AGCD 是平行四边形，DC＝10，
AG＝DC＝10，
在 Rt△ABG 中，根据勾股定理得 AB＝8，
∴四边形 AGCD 的面积为 6×8＝48.
考点一 平行四边形的性质与判定
例2 在△ABC 中，AB = AC，点 D 在边 BC 所在的直线上，过点 D 作 DF∥AC 交直线 AB 于点 F，DE∥AB 交直线 AC 于点 E．
(1)当点 D 在边 BC 上时，如图①，求证：DE+DF=AC.
证明：∵ DF∥AC，DE∥AB，
∴ 四边形 AFDE 是平行四边形．
∴ AF = DE.
∵ DF∥AC，∴∠FDB = ∠C.
又∵ AB = AC，
∴ ∠B = ∠C，
∴ ∠FDB =∠B，∴ DF = BF.
∴ DE + DF = AF + BF = AB = AC.
图①
考点一 平行四边形的性质与判定
(2) 当点 D 在边 BC 的延长线上时，如图②；当点 D在边 BC 的反向延长线上时，如图③，请分别写出图②、图③中DE，DF，AC之间的数量关系，不需要证明．
(3) 若 AC = 6，DE = 4，求 DF 的值．
解：(2) 图②中：AC + DE = DF．
图③中：AC + DF = DE．
(3) 当如图①的情况，
DF = AC - DE = 6 - 4 = 2；
当如图②的情况，
DF = AC + DE = 6 + 4 = 10．
A
B
C
E
D
F
图②
A
B
C
E
D
F
图③
考点一 平行四边形的性质与判定
2.如图，在 ABCD 中，对角线 AC 和 BD 交于点 O，AC = 24 cm，BD = 38 cm，AD = 28 cm，则△BOC 的周长是 （ 　　）
A．45 cm B．59 cm
C．62 cm D．90 cm
B
【练一练】1.如图，在 ABCD 中，∠ODA = 90°，
AC = 10 cm，BD = 6 cm，则 AD 的长为 （　　）
A．4 cm B．5 cm
C．6 cm D．8 cm
A
考点一 平行四边形的性质与判定
3.如图 是某公交汽车挡风玻璃的雨刮器，其工作原理如图 ．雨刷 EF⊥AD，垂足为 A，AB = CD，且 AD = BC，这样能使雨刷 EF 在运动时，始终垂直于玻璃窗下沿 BC，请证明这一结论．
证明：∵ AB = CD，AD = BC，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD∥BC.
又∵ EF⊥AD，
∴ EF⊥BC．
图①
图②
考点一 平行四边形的性质与判定
考点二 三角形的中位线
例3 如图，在△ABC 中，点 D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点，AH 是边 BC 上的高．
(1) 求证：四边形 ADEF 是平行四边形；
(2) 求证：∠DHF =∠DEF．
证明：(1) ∵点 D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点，
∴ DE、EF 都是△ABC 的中位线，
∴ EF∥AB，DE∥AC，
∴ 四边形 ADEF 是平行四边形.
(2) ∵四边形 ADEF 是平行四边形，
∴∠DEF =∠BAC，
∵ D，F 分别是 AB，CA 的中点，
AH 是边 BC 上的高，
∴ DH = AD，FH = AF，
∴∠DAH = ∠DHA，∠FAH = ∠FHA，
∵∠DAH +∠FAH =∠BAC，
∠DHA +∠FHA =∠DHF，
∴∠DHF = ∠BAC，
∴∠DHF = ∠DEF．
考点二 三角形的中位线
例4 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，点 D，E 分别
是边 AB，AC 的中点，延长 BC 到点 F，使 CF = BC．
若 AB = 12，求 EF 的长．
解：连接 CD，
∵点 D，E 分别是边 AB，AC 的中点，
∴ DE∥BC，DE = BC，DC = AB.
∵ CF = BC，
∴ DE ∥FC，DE = FC，
∴四边形 DEFC 是平行四边形.
∴DC = EF，∴ EF = AB = 6．
考点二 三角形的中位线
5.如图是屋架设计图的一部分，点 D 是斜梁 AB 的中点，立柱 BC、DE 垂直于横梁 AC，AB = 4 m，∠A = 30°，则 DE 等于 （　　）
A．1 m B．2 m
C．3 m D．4 m
A
【练一练】4.如图，等边三角形 ABC 中，点 D，E 分别为 AB，AC 的中点，则∠DEC 的度数为( 　)
A．150° B．120°
C．60° D．30°
B
考点二 三角形的中位线
6.如图，在△ABC 中，∠CAB = 90°，DE、DF 是△ABC 的中位线，连接 EF、AD，求证：EF = AD．
证明：∵ DE，DF 是△ABC 的中位线，
∴ DE∥AB，DF∥AC，
∴ 四边形 AEDF 是平行四边形，
又∵∠BAC = 90°，
∴ 平行四边形 AEDF 是矩形，
∴ EF = AD．
考点二 三角形的中位线
考点三 特殊平行四边形的性质与判定
例5 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，过点 A 作 AE∥BD，过点 D 作 ED∥AC，两线相交于点 E．
求证：四边形 AODE 是菱形.
证明：∵AE∥BD，ED∥AC，
∴四边形 AODE 是平行四边形.
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ AC = BD，OA = OC = AC，OB = OD = BD.
∴ OA = OC = OD. ∴ 四边形 AODE 是菱形.
【变式题】如图，O 是菱形 ABCD 对角线的交点，作BE∥AC，CE∥BD，BE、CE 交于点 E，四边形 CEBO是矩形吗？说出你的理由.
D
A
B
C
E
O
解：四边形 CEBO 是矩形.
理由如下：已知四边形 ABCD 是菱形.
∴AC⊥BD.
∴∠BOC = 90°.
∵ BE∥AC，CE∥BD，
∴ 四边形 CEBO 是平行四边形.
∴ 四边形 CEBO 是矩形.
考点三 特殊平行四边形的性质与判定
例6 如图，在四边形 ABFC 中，∠ACB = 90°，BC 的垂直平分线 EF 交 BC 于点 D，交 AB 于点 E，且 CF = AE.
(1) 试判断四边形 BECF 是什么四边形？并说明理由；
解：四边形 BECF 是菱形．
理由如下：∵ EF 垂直平分 BC，
∴ BF＝CF，BE＝CE.
∴∠3＝∠1.
∵∠ACB＝90°，
∴∠3＋∠A＝90°，∠1＋∠2＝90°.
∴∠2＝∠A.
考点三 特殊平行四边形的性质与判定
∴ CE＝AE，∴ BE＝AE.
∵ CF＝AE，
∴ BE＝CE＝CF＝BF.
∴ 四边形 BECF 是菱形.
(2) 当∠A 的大小满足什么条件时，四边形 BECF 是正方形？请回答并证明你的结论．
解：当∠A＝45° 时，菱形 BECF 是正方形．
证明如下：∵∠A＝45°，∠ACB＝90°，
∴∠CBA＝45°. ∴∠EBF＝2∠CBA＝90°.
∴ 菱形 BECF 是正方形(有一角是直角的菱形是正方形).
考点三 特殊平行四边形的性质与判定
正方形的判定方法：
① 先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
② 先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角；
③ 先判定四边形是平行四边形，再证明邻边相等且有一角为直角，或对角线互相垂直且相等．
【方法总结】
考点三 特殊平行四边形的性质与判定
例7 如图，△ABC 中，点 O 是 AC 上的一动点，过点 O 作直线 MN∥BC，设 MN 交∠BCA 的平分线于点 E，交∠BCA 的外角∠ACG 的平分线于点 F，连接 AE、AF.
(1) 求证：∠ECF＝90°；
(2) 当点 O 运动到何处时，四边形 AECF 是矩形？请
说明理由；
(1) 证明：∵ CE 平分∠BCO，CF
平分∠GCO，
∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠GCF，
∴∠ECF＝ ×180°＝90°.
考点三 特殊平行四边形的性质与判定
(2)解：当点 O 运动到 AC 的中点时，四边形 AECF 是矩形. 理由如下：
∵ MN∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠GCF.
又∵ CE 平分∠BCO，CF 平分∠GCO，
∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠GCF.
∴∠OCE＝∠OEC，∠OCF＝∠OFC.
∴ OE＝OC，OF＝OC.
∴ OE＝OF.
当点 O 运动到 AC 的中点时，OA＝OC，
∴ 四边形 AECF 是平行四边形.
∵∠ECF＝90°，∴ 四边形 AECF 是矩形.
考点三 特殊平行四边形的性质与判定
解：当点 O 运动到 AC 的中点，且满足∠ACB 为直角时，四边形 AECF 是正方形．
由 (2) 知四边形 AECF 是矩形，
而 MN∥BC，当∠ACB＝90° 时，
∠AOF＝∠COE＝∠COF＝∠AOE＝90°，
即AC⊥EF，
∴ 四边形AECF是正方形．
(3) 在 (2) 的条件下，△ABC 满足什么条件时， 四边形 AECF 为正方形？
考点三 特殊平行四边形的性质与判定
【练一练】7.如图，两个含有30°角的完全相同的三角板ABC和DEF沿直线FC滑动，下列说法错误的是(　　)
A.四边形ACDF是平行四边形
B.当点E为BC中点时，四边形ACDF是矩形
C.当点B与点E重合时，四边形ACDF是菱形
D.四边形ACDF不可能是正方形
B
8.如图，在菱形ABCD中，对角线AC=10，BD=6，则菱形ABCD的面积为______．
30
A
B
C
O
D
考点三 特殊平行四边形的性质与判定
9. 如图，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，点 G 是 BC 延长线上一点，连接 AG，点 E、F 分别在 AG 上，连接 BE、DF，∠1＝∠2，∠3＝∠4.
(1) 求证：△ABE≌△DAF；
(2) 若∠G＝30°，求EF的长.
(1) 证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ AB = AD.
在△ABE 和△DAF 中，
∴△ABE≌△DAF (ASA).
考点三 特殊平行四边形的性质与判定
(2) 解：∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴∠BAD＝∠1＋∠4＝90°.
∵∠3＝∠4，∴∠1＋∠3＝90°，
∴∠AFD＝90°.
在正方形 ABCD 中，AD∥BC，
∴∠1＝∠G＝30°.
在 Rt△ADF 中，AD＝2，
∴ DF＝1，AF＝ .
由 (1) 得△ABE≌△DAF，
∴ AE＝DF＝1.
∴ EF＝AF－AE＝ －1.
考点三 特殊平行四边形的性质与判定
例8 在一个平行四边形中，若一个角的平分线把一条边分成长是 2 cm和 3 cm的两条线段，求该平行四边形的周长是多少.
解：如图，∵在平行四边形ABCD中，AB = CD， AD = BC ，AD∥BC，
∴∠AEB = ∠CBE．
又∠ABE =∠CBE，
∴ ∠ABE =∠AEB，∴ AB = AE．
(1) 当 AE = 2 时，则平行四边形的周长= 2×(2+5) = 14.
(2) 当 AE = 3 时，则平行四边形的周长= 2×(3+5) = 16.
分类讨论思想
考点四 数学思想方法
平行四边形的性质与判定中要是出现角平分线，常与等腰三角形的性质和判定结合起来考查，当边指向不明时需要分类讨论，常见的的模型如下：
【方法总结】
考点四 数学思想方法
例9 如图，折叠长方形一边 AD，点 D 落在BC 边的点 F 处，BC = 10 cm，AB = 8 cm，求：
(1) FC 的长； (2) EF 的长．
方程思想
解：(1)由题意得 AF = AD = 10 cm，
在 Rt△ABF 中，∵ AB = 8，
∴ BF = 6 cm，
∴ FC = BC - BF = 10 - 6 = 4 (cm)．
(2) 由题意可得 EF = DE，可设 DE 的长为 x，
在Rt△EFC中，(8 - x)2 + 42 = x2，
解得 x = 5.
即 EF 的长为 5 cm．
考点四 数学思想方法
例10 如图，平行四边形 ABCD 中，AC、BD 为对角线，其交点为 O，若 BC = 6，BC 边上的高为 4，试求阴影部分的面积．
转化思想
解：∵四边形 ABCD 为平行四边形，
∴ OA = OC，OB = OD.
∵ AB∥CD，
∴ ∠EAO = ∠HCO.
又∵ ∠AOE＝∠COH，
∴ △AEO≌△CHO（ASA），
同理可得△OAQ≌△OCG，△OPD≌△OFB，
∴ S阴影 = S△BCD = S平行四边形ABCD= ×6×4 = 12．
考点四 数学思想方法
四边形
矩形
菱形
正
方
形
平行四边形
两组对边平行
一个角是直角
一组邻边相等
一组邻边相等
一个角是直角
一个角是直角且一组邻边相等
见教材章末练习

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