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6.4.3.3余弦定理、正弦定理应用举例
一．选择题
1．如图，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于30 km，灯塔A在观察站C北偏东20°的方向，灯塔B在观察站C南偏东40°的方向，则灯塔A与灯塔B的距离为(　　)
A．30 km B．30 km
C．3 km D．30 km
2．学校体育馆的屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4 m，∠A＝30°，则其跨度AB的长为(　　)
A．12 m B．8 m
C．3 m D．4 m
3．中国历史文化名楼之一的越王楼，位于四川省绵阳市游仙区涪江畔，更因历代诗人登楼作诗而流芳后世．如图，某同学为测量越王楼的高度MN，在越王楼的正东方向找到一座建筑物AB，高约为49 m，在地面上点C处(B，C，N三点共线)测得建筑物顶部A，越王楼顶部M的仰角分别为30°和45°，在A处测得楼顶部M的仰角为15°，则越王楼的高度约为(　　)
　
A．69 m B．95 m
C．98 m D．99 m
4．如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)，AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，且∠B与∠D互补，则AC的长为(　　)
A．7 km B．8 km
C．9 km D．6 km
5．老虎甲在A地发现野鹿乙在北偏东15°方向上的B地，立刻以10 m/s的速度进行追捕，与此同时，野鹿乙以10 m/s的速度往北偏东75°方向逃跑．假设甲、乙都是匀速直线运动，且AB＝500(－) m，则甲能够一次性捕获乙的最短时间为(　　)
A．60 s B．80 s
C．100 s D．120 s
6．(多选题)某货轮在A处时，灯塔B在北偏东75°方向，距离为12 n mile；灯塔C在北偏西30°方向，距离为 8 n mile.货轮由A处沿正北方向航行到D处时，灯塔B在南偏东60°方向，则下列说法正确的是(　　)
A．A处与D处之间的距离是24 n mile
B．灯塔C与D处之间的距离是8 n mile
C．灯塔C在D处的南偏西30°方向
D．D处在灯塔B的北偏西30°方向
7．某数学兴趣小组欲测量一下校内旗杆顶部M和教学楼顶部N之间的距离．如图，已知旗杆AM高15 m，教学楼BN高 21 m，在与A，B同一水平面的C处测得旗杆顶部M的仰角为30°，教学楼顶部N的仰角为60°，∠ACB＝120°，则M，N之间的距离为(　　)
A． m B． m
C． m D． m
二．填空题
8．如图1，北京冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中华优秀传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想．某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊笔画走势都有适宜的角度．为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求，该同学取端点绘制了△ABD，如图2，测得AB＝5，BD＝6，AC＝4，AD＝3.若点C恰好在边BD上，则sin∠ACD的值为________.
9．已知某飞船着陆点在搜救队A组北偏东60°方向60 km处，搜救队B组位于A组南偏东60°方向80 km处，则搜救队B组距着陆点________km.
10．一次机器人足球比赛中，甲队1号机器人由点A开始做匀速直线运动，到达点B时，发现足球在点D处正以2倍于自己的速度向点A做匀速直线运动，如图所示，已知AB＝4 dm，AD＝17 dm，∠BAC＝45°.若忽略机器人原地旋转所需的时间，则该机器人最快可在距点A_______dm的点C处截住足球．
11．如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40 n mile的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°相距20 n mile的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cos θ的值为________.
三．解答题
12．如图，A，B，C为山脚D，E两侧与D，E共线的三点，在山顶P处观测三点的俯角分别为α，β，γ.现测得α＝15°，β＝45°，γ＝30°，AD＝ km，EB＝ km，BC＝1 km.计划沿直线AC开通一条穿山隧道，试求出隧道DE的长度．
13．如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12 n mile，渔船乙以10 n mile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2 h追上．
(1)求渔船甲的速度；
(2)求sin α的值．
6.4.3.3余弦定理、正弦定理应用举例
一．选择题
1．D　解析：由题意可知AC＝BC＝30，∠ACB＝120°，则AB＝＝＝30.故选D．
2．D　解析：由题意知，∠A＝∠B＝30°，
所以∠C＝180°－30°－30°＝120°.
由正弦定理，得＝，即AB＝＝＝4.故选D．
3．C　解析：在Rt△ABC中，AC＝＝＝98(m)．
在△MAC中，可知∠MCA＝180°－(30°＋45°)＝105°，∠MAC＝45°，∠AMC＝180°－(105°＋45°)＝30°.由正弦定理得＝，可得MC＝＝＝98(m)．
在Rt△MNC中，MN＝MCsin∠MCN＝98×＝98(m)，
所以越王楼的高度约为98 m．故选C．
4．A　解析：在△ABC及△ACD中，由余弦定理得82＋52－2×8×5×cos(π－D)＝AC2＝32＋52－2×3×5×cos D，解得cos D＝－，所以AC＝＝7.
5．C　解析：如图，设甲最快捕获乙的地点是点C，时间为t(单位：s)，则AC＝10t m，BC＝10t m．由题意得B＝180°－75°＋15°＝120°，则AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B，即3t2＝2 500(8－4)＋2t2＋50(2－2)t，解得t＝100或t＝－100(2－)(舍去)．故选C．
6．AC　解析：如图，在△ABD中，由已知得∠ADB＝60°，∠DAB＝75°，
则B＝45°，AB＝12.由正弦定理得AD＝＝＝24，所以A处与D处之间的距离为24 n mile，故A正确；在△ADC中，由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos 30°，又AC＝8，解得CD＝8，所以灯塔C与D处之间的距离为8 n mile，故B错误；因为AC＝CD＝8，所以∠CDA＝∠CAD＝30°，灯塔C在D处的南偏西30°，故C正确；灯塔B在D处的南偏东60°，D处在灯塔B的北偏西60°，故D错误．故选AC．
7．D　解析：如图，由题意，过点M作MD⊥BN于点D，则MD＝AB．
在△ACM中，AM＝15，∠ACM＝30°，所以AC＝AM＝15.
在△BCN中，BN＝21，∠BCN＝60°，所以BC＝＝7，BD＝AM＝15，DN＝BN－BD＝6.
在△ACB中，∠ACB＝120°，由余弦定理得
AB＝
＝
＝，所以DM＝AB＝.
在Rt△DMN中，∠MDN＝90°，由勾股定理得MN＝＝＝.故选D．
二．填空题
8． 　解析：由题意，在△ABD中，由余弦定理的推论得cos∠ADB＝＝＝.
因为∠ADB∈(0，π)，所以sin∠ADB＝＝＝.
在△ACD中，由正弦定理得＝，所以＝，
解得sin∠ACD＝.
9． 20　解析：记着陆点为点C，如图，AB＝80 km，AC＝60 km，α＝60°，β＝30°，所以∠BAC＝60°.
在△ABC中，由余弦定理的推论，得cos∠BAC＝＝，解得BC＝20.
10． 7　解析：设机器人最快可在点C处截住足球，
点C在线段AD上，设BC＝x dm.
由题意知CD＝2x dm，
AC＝AD－CD＝(17－2x) dm.
在△ABC中，由余弦定理得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A，
即x2＝(4)2＋(17－2x)2－8(17－2x)cos 45°，
解得x1＝5，x2＝，
所以AC＝17－2x＝7或AC＝－(舍去)，
所以该机器人最快可在线段AD上距点A 7 dm的点C处截住足球．
11． 　解析：由题图知，在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°.
由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800，所以BC＝20.
由正弦定理，得
sin∠ACB＝·sin∠BAC＝.
由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，
所以cos∠ACB＝，
故cos θ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACBcos 30°－sin∠ACBsin 30°＝.
三．解答题
12．解：在△PBC中，∠C＝γ＝30°，∠CPB＝β－γ＝15°，BC＝1.
由正弦定理得＝，
即＝，得PB＝.
在△PAB中，因为∠A＝α＝15°，∠ABP＝β＝45°，
所以∠APB＝180°－∠A－∠ABP＝120°.
由正弦定理得＝，
所以AB＝＝＝3＋2，
所以DE＝AB－AD－EB＝3＋2－－＝2，
所以隧道DE的长度为2 km.
13．
解析：　(1)依题意可得，在△ABC中，∠BAC＝180°－60°＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α.
由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cos ∠BAC
＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784.解得BC＝28.
所以渔船甲的速度为＝14 n mile/h.
(2)在△ABC中，因为AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，
由正弦定理，得＝.
即sin α＝＝＝.
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