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第3章 复数
3.2 复数的四则运算
1.掌握复数的代数形式的加、减运算法则，能运用复数加、减法的结合律、交换律解题.
2.掌握复数代数形式的乘法、乘方和除法运算，能运用复数乘法的交换律、结合律和分配律解题.
2.复数有关概念：
复数的代数形式
复数的实部、虚部
复数相等
复数的分类
1. 虚数单位 i 的引入，数系的扩充
虚数（ ≠0）
非纯虚数（ ≠0）
纯虚数（ =0）
实数（ =0）
问题：实数有加、减、乘、除运算，有必要定义复数的四则运算，结合多项式的运算，如何合理地给出复数的加法法则，使其也满足交换律和结合律？
试一试：设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，尝试写出复数的加、减运算法则.
复数的加、减法及运算律
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，则
z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
容易验证复数的加法满足交换律和结合律，即有
z1+z2=z2+z1； (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)
z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i
复数加法
复数减法
类似于实数运算中的合并同类项．
例1．计算：
(1) (1+2i)+(4-3i); (2) (4-3i)+(1+2i); (3) (1+2i)-(4-3i).
解：(1)(1+2i)+(4－3i)
=(1+4)+(2－3)i
=5－i
(3) (1+2i)－(4－3i)
=(1－4)+［2－(－3)］i
=－3+5i.
(2)(4－3i)+(1+2i)
=(4+1)+(-3+2)i
=5－i
自行计算，并尝试总结出易错点
1.（1）计算：（2－3i）＋（－4＋2i）＝ .
解析：（1）（2－3i）＋（－4＋2i）＝（2－4）＋（－3＋2）i＝－2－i.
（2）已知 x ∈R， y ∈R，（ x i＋ x ）＋（ y i＋4）＝（ y －i）－（1－3 x i），则 x ＝ ， y ＝ .
解析：（2）因为 x ＋4＋（ x ＋ y ）i＝（ y －1）＋（3 x －1）i，所以
解得
－2－i　
6　
11　
练一练
2.设复数 z 1＝ a ＋ b i（ a ， b ∈R）， z 2＝ a － b i，则 z 1－ z 2为（　　）
A. 实数 B. 纯虚数
C. 0 D. 零或纯虚数
解：∵ z 1－ z 2＝（ a ＋ b i）－（ a － b i）＝2 b i，
又 b ∈R，
∴当 b ＝0时， z 1－ z 2＝0；
当 b ≠0时， z 1－ z 2为纯虚数，故选D.
　D
练一练
要注意分类讨论
(a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd
复数的乘法及运算律
试一试：设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，类比结合多项式的运算，猜想复数的乘法法则.
类比多项式的乘法把 i2 换成-1
z1·z2 = (a+bi)(c+di)
= ac+adi+bci+bd i2
= ac+adi+bci-bd
= (ac-bd)+(ad+bc)i
z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad) i
复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律，即有
z1z2=z2z1；(z1z2)z3=z1(z2z3)；z1（z2+z3）=z1z2+z1z3.
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，则
复数乘法
想一想：i3，i4表示什么？如何计算它们的结果呢？
复数的乘方
复数的乘方运算是指几个相同复数相乘.在复数集中，实数集中的正整数指数幂运算律仍然成立，即对任何复数z，z1，z2及正整数m，n,有
zm·zn=zm+n
(zm)n=zmn
(z1z2)n=z1nz2n
规定：i0=1
特别地，我们有以下常用结果：
i1=i，i2=-1，i3=-i，i4=1
i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，i4n+4=1，其中n∈Z.
计算：i2024=_______
1
例2．计算：
(1) (1+2i)(4-3i);
(2) (1+i)2;
(3) (1-i)2;
(4) (1+i)1000.
(5) (a+bi)(a-bi).
解：（1）(1+2)(4-3)
=1×4 + 1×(-3)+2×4+2×(-3)
=4-3+8-6
=10+5
（2）
= +2×1×+
=2
自行计算，并尝试总结出易错点
（3）
= 2×1×+
=-2
(3) (1-i)2; (4) (1+i)1000； (5) (a+bi)(a-bi).
（4）
=[]500
=
=
=1=
（5）(a+bi)(a-bi)
=a2 -abi+abi+b2
=a2+b2
3.
A.3-2 B.3+2
C.-3-2 D.-3+2
4.
A. -4 B.4
C.-4 D.4
D
A
6.若为实数，且则
A.-1 B.0
C.1 D.2
5.已知
A.-1 B.1
C.-3 D.3
C
B
练一练
真题再现
试一试：我们已经会做复数的加、减、乘法，那么，对任意两个复数，(a,b,c,d∈R) ，当≠0时能否做除法求它们的商
分子分母同乘以，从而使分母“实数化”
分子,分母运用乘法进行化简
化为复数的标准形式
(a ,b , c , d∈R)
÷
复数的除法
对于任意两个复数，(a,b,c,d∈R且≠0)，有=+
两个复数的商仍为复数.
复数的除法
例3.已知复数，，求及
解： = = = =
= == =
一般地，称为z的倒数，若z≠0，则= .
例4. 已知（1－i）2 z ＝3＋2i，则 z ＝（　B　）
A. －1－i B. －1＋i
C. －＋i D. －－i
[解析]　由已知得 z ＝ ，根据复数除法运算法则，即可求解.
（1－i）2 z ＝－2i z ＝3＋2i，
z ＝ ＝ ＝ ＝－1＋ i .
B
点拨：复数的乘法可以把i看作字母，按多项式乘法的法则进行，注意要把i2化为－1，最后把结果化简；复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化（方法是分母与分子同时乘复数 c － d i，若分母是纯虚数，则只需同时乘i即可）.
7.
真题再现
练一练
D
D
9.
练一练
D
10.若 z 1＝ a ＋2i， z 2＝3－4i，且 为纯虚数，则实数 a ＝ 　 .
解析：由题意 ＝ ＝ ＝
＝ [3 a －8＋（6＋4 a ）i]，
因为 是纯虚数，故3 a －8＝0，且6＋4 a ≠0，解得 a ＝ .

练一练
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