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第3章 复数
3.1 复数的概念
1.了解引入复数的必要性.
2.理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件.
3.了解复数的代数形式，掌握实数、虚数、纯虚数之间的关系.
1.数的扩充过程？
自然数→分数→负数→无理数
自然数集Q→整数集Z→有理数集→实数集R
→虚数
→复数集C
2.实数是如何分类的？
有理数：整数与分数
无理数：无限不循环小数
实数
虚数、复数是怎样的数？有何数学意义呢？
实数范围内无解
复数范围内有解
问题1：如何求方程????????????+????????+????=????的根？
?
问题2：当??
问题3：如何求方程????????+????=????的根？即如何求负实数的平方根？(????????=?????, ????=?)
?
复数引入的必要性
????????=?????
?
????表示?????的一个平方根
?
我们把形如a+bi(其中a,b∈R)的数称为复数，其中a称为复数a+bi的实部，b称为复数a+bi的虚部，i称为虚数单位.
全体复数所构成的集合C＝{ a ＋ b i｜ a ， b ∈R}称为复数集.
复数的定义
复数通常用字母 z 表示，即z=a+bi(a,b∈R)
复数的代数形式
复数集
复数相等
注意：两个复数不全是实数时，它们之间不能比较大小，只能说相等或不相等.
若两个复数 a ＋ b i， c ＋ d i（ a ， b ， c ， d ∈R）的实部与虚部分别相等，则称这两个复数相等，
即： a+bi=c+di a=c且b=d.
例如，2－i和3＋i，1和i之间都不能比较大小.
复数的分类
对于复数 a ＋ b i（ a ， b ∈R），
当且仅当 b ＝0时，它是实数；
当且仅当 a ＝ b ＝0时，它是实数0；
当 b ≠0时，它叫作虚数；
当 a ＝0且 b ≠0时，它叫作纯虚数.
显然实数集R是复数集C的 ，且由C中虚部为0的全体复数组成.
z ＝ a ＋ b i（ a ， b ∈R）
实数（????=0）
虚数（????≠0）
非纯虚数（????≠0）
纯虚数（????=0）
Venn图表示:
真子集　
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
实部
虚部
3
2
????????
?
?????
?
?????
?
?????????
?
????
?
-????.????
?
????????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
复数实部与虚部的判断，主要是根据它的代数形式z=a+bi(a,b∈R).
1.写出下列复数的实部与虚部，并说说你的方法.
练一练
2.当????是何实数时，复数????=????????+?????????+(?????????????)????分别是：
（1）实数； （2）虚数；
（3）纯虚数； （4）0？
?
解：(1)当m2－1=0，即m=±1时，复数z是实数.
　　(2)当m2－1≠0，即m≠±1时，复数z是虚数.
　　(3)当m2+m－2且m2－1≠0，即m=－2时，复数z是纯虚数.
　　(4)当m2+m－2 =0且m2－1=0，即m=1时，复数z=0.
练一练
对于复数z=a+bi(a,b∈R)，若满足
以下四种情况，a，b的取值是怎样的？
实数（????=0）
虚数（????≠0）
非纯虚数（????≠0）
纯虚数（????=0）
解：根据复数相等的定义可得
　　解方程组，得
　　
　　
3. 设x，y∈R，若复数(2x－4y)+(3x＋2)i＝5+6i，求x，y.
　　
这个方程左右两边的数有何特点？方程要成立，需要满足什么条件？
练一练
变式：若关于x的方程3x2－ －1＝(10－x－2x2)i有实根，求实数a的值.
解：设方程的实根为x＝m，
练一练
本节课你学到了哪些知识？谈谈你的收获.

1. 在①2＋ ???? ，② ???????? i，③0，④8＋5i，⑤（1－ ???? ）i，⑥0.618这几个数中，纯虚数的个数为（　C　）
?
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
解析： ???????? i，（1－ ???? ）i是纯虚数，2＋ ???? ，0，0.618是实数，8＋5i是虚数.
?
C
2. 若（ x 2－1）＋（ x 2＋3 x ＋2）i是纯虚数，则实数 x 的值是（　B　）
A. －1
B. 1
C. ±1
D. －1或－2
解析：∵（ x 2－1）＋（ x 2＋3 x ＋2）i是纯虚数，
∴&?????????????=????，&????????+????????+????≠????，∴ x ＝1，故选B.
?
B
3. 复数4－3 a － a 2i与复数 a 2＋4 a i相等，则实数 a 的值为（　C　）
A. 1
B. 1或－4
C. －4
D. 0或－4
解析：由复数相等的条件，知&?????????????＝????????，&?????????=????????，所以 a ＝－4.故选C.
?
C
4. 若复数 z ＝ m ＋（ m 2－1）i（ m ∈R）满足 z ＜0，则 m ＝ ?.
解析：∵ z ＜0，∴&?????
－1
5. 设集合 A ＝{虚数}， B ＝{纯虚数}， C ＝{复数}，则 A ， B ， C 间的关系为
（　B　）
A. A?B?C
B. B?A?C
C. B?C?A
D. A?C?B
解析：根据复数的分类，复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系如图所
示.故选B.
B
6. 已知集合 M ＝{1，2，（ m 2－3 m －1）＋（ m 2－5 m －6）i}， N ＝{－1，3}， M ∩ N ＝{3}，则实数 m 的值为（　B　）
A. 4
B. －1
C. －1或4
D. －1或6
解析：由 M ∩ N ＝{3}，得3∈ M ，
故（ m 2－3 m －1）＋（ m 2－5 m －6）i＝3，
因此得&??????????????????????=????，&??????????????????????=????，
?
解得&????=????或????＝?????，&????=????或????＝?????.
所以 m 的值为－1，故选B.
?
B

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