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4 一元一次不等式组
第二章 不等式与不等式组
1. 理解一元一次不等式组及其解集的概念。(重点)
2. 掌握一元一次不等式组的解法。(重点)
3. 会利用数轴表示一元一次不等式组的解集，进一步渗透数形结合思想，发展几何直观的能力。
4. 会运用一元一次不等式组解决简单的实际问题，培养学生的应用意识和实践能力，感受数学与现实世界的紧密联系。(难点)
1.什么是一元一次不等式？
不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫作一元一次不等式.
2. 如何在数轴上表示不等式的解集？
(1) 大于向右，小于向左；
(2) 有等号时用实心圆点，无等号时用空心圆圈.
a
b
某学校举办春季运动会，八(1) 班承担制作彩旗的任务，计划用 4 天的课余时间制作彩旗。如果每天比原计划多制作 5 面，那么所制作彩旗总量将超过 124 面；如果每天比原计划少制作 6 面，那么所制作彩旗总量将不足 96 面。设八(1) 班原计划每天制作 x 面彩旗，你能列出哪些不等式
解：由题意，得 4(x + 5)＞124， ①
且 4(x - 6) ＜96. ②
探究点1：一元一次不等式组的概念
根据题意，可以得到不等式 4(x + 5)＞124，
4(x - 6)＜96，其中 x 所代表的对象相同，因此 x 必须同时满足这两个不等式。把它们合在一起，就组成一个一元一次不等式组，
4(x + 5)＞124， ①
4(x - 6)＜96。 ②
一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组。
探究点1：一元一次不等式组的概念
判断：下列哪些是一元一次不等式组？
x > 2
x < -1
x > 5
y > 2
x2 > x + 5
x < 2
(x - 2)(x - 3) > 0
x≤1
a > 0
a ≠ 1
x + 2 = 6
x -1≤7
√
×
×
×
√
×
探究点1：一元一次不等式组的概念
用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素 C 含量及购买这两种原料的价格如下表所示：
【想一想】
1. 在下面的习题中，如果要配制的饮料同时满足两个小题的条件，那么你能列出一个不等式组吗？
原料 甲 乙
维生素 C 的含量 / (单位 / kg) 600 100
原料价格 / (元 / kg) 8 4
探究点1：一元一次不等式组的概念
(1) 现配制这种饮料 10 kg，要求至少含有 4 200 单
位的维生素 C，试写出所需甲种原料的质量 x
(单位：kg) 应满足的不等式；
(2) 如果还要求购买甲、乙两种原料的费用不超过 72 元，那么你能写出 x (单位：kg) 应满足的另一个不等式吗？
600x + 100(10 - x) ≥4200，
8x + 4(10 - x)≤72。
探究点1：一元一次不等式组的概念
2. 你能尝试找出符合导入的一元一次不等式组
的未知数的值吗？与同伴交流.
4(x + 5)＞124，①
4(x - 6)＜96. ②
【想一想】
解：解不等式①，得 x＞26。
解不等式②，得 x＜30。
在同一数轴上表示不等式①② 的解集，如图所示
0
26
30
探究点2：一元一次不等式组的解法
由图可知它们的公共部分是 26＜x＜30，这就是该不等式组的解集。
一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫作这个一元一次不等式组的解集。
求不等式组的解集的过程，叫作解不等式组。
0
26
30
【归纳总结】
探究点2：一元一次不等式组的解法
3
0
6
解不等式②，得
x＜6.
例1 解不等式组：
解： 解不等式①，得
①
②
在同一数轴上表示不等式①② 的解集，如图所示。
因此，原不等式组的解集为
探究点2：一元一次不等式组的解法
1. 解下列不等式组：
解：(1) 1＜x＜5。
(2) －4＜x≤1。
【练一练】
探究点2：一元一次不等式组的解法
2. 解不等式组：
①
②
在同一条数轴上表示不
等式①②的解集，如图：
解：解不等式①，得
解不等式②，得
所以，原不等式组的解集为
探究点2：一元一次不等式组的解法
例2 解不等式组：
①
②
解：解不等式①，得
解不等式②，得
x≥4.
在同一条数轴上表示不等式①②的解集，如图所示。
所以，原不等式组的解集为 x≥4.
探究点2：一元一次不等式组的解法
【尝试思考】
1. 是否存在实数 x，使得 x + 3 < 5，且 x - 2 > 4？
x < 2
x > 6
没有公共部分
不存在
总结：并不是每一个不等式组都有解
探究点2：一元一次不等式组的解法
2. 解由两个一元一次不等式组成的不等式组，在取各不等式的解的公共部分时，有几种不同情况
a b
a b
a b
同大取大
同小取小
大小小大中间找
大大小小无处找
x＞b
x＜a
a＜x＜b
无解
a b
探究点2：一元一次不等式组的解法
1. 填表：
不等式组
不等式组的解集
x＞-3
-5＜x≤-3
x＜-3
无解
【针对训练】
探究点2：一元一次不等式组的解法
例3 已知不等式组 的解集为－1＜x＜1,
则 (a＋1)(b－1) 的值为多少
2x－a ＜ 1
x－2b ＞ 3
解: 由不等式组得
x ＜ ，
x ＞ 3+2b .
因为不等式组的解集为 -1＜x＜1，
所以
＝ 1，
3 + 2b ＝ -1.
解得
所以 (a + 1)(b - 1) ＝ 2×(-3) ＝ -6.
b ＝ -2.
a ＝ 1，
探究点3：一元一次不等式组的应用
【阅读·思考】
一个人的头发大约有 10 万到 20 万根，每根头发每天大约生长 0.32 mm。小红的头发现在大约有 10 cm 长，那么大约经过多长时间，她的头发才能生长为 16 cm到 28 cm
分析与解：这个问题中的不等关系是
16 cm≤小红若干天后的头发长度≤28 cm。
探究点3：一元一次不等式组的应用
小红现在的头发长度为 10 cm，每根头发每天大约生长 0.32 mm，如果设经过 x 天小红的头发可以生长为 16 cm 到 28 cm，那么经过 x 天她的头发长度为(100 + 0.32x) mm。于是，可得
160≤100 + 0.32x≤280。
解这个不等式组，得 187.5≤x≤562.5。
因此，大约需要 188 天到 562 天，小红的头发才能生长为 16 cm 到 28 cm。
探究点3：一元一次不等式组的应用
探究点3：一元一次不等式组的应用
例4 学校给七年级男生安排宿舍，如果安排 4 人一间，还有 26 人安排不下，如果安排 6 人一间，则只有一间宿舍未住满，且该间宿舍也有人住，那么，学校给七年级男生分配的宿舍可能有多少间？
解：设学校给七年级男生分配的宿舍有 x 间，则七年级男生共有 (4x＋26) 人，
解得 13＜x＜16。
∵x 为整数，∴ x 取值为 14 或 15。
答：学校给七年级男生分配的宿舍可能有 14 或 15 间。
根据题意找到关系式得
一元一次不等式组
一元一次不等式组的概念
↓
利用公共部分确定不等式组的解集
在数轴上分别表示各个不等式的解集
解每个不等式
↓
一元一次不等式组的解集在数轴上的表示
一元一次不等式组的解集
解一元一次不等式组
→
↓
1. 下列是一元一次不等式组的是(　D　)
A.
C.
D
2. 不等式组 的解集是(　C　)
A. x＞－5 B. x＜3
C. －5＜x≤3 D. x＜5
C
3. 若不等式组 无解，则a的取值范围
是(　A　)
A. a≥3 B. a＜3
C. a＞3 D. a≤3
A
4. 若点P(a＋5，4－a)是第四象限的点，则a的取
值范围是 .
5. 不等式组 的所有整数解的和
为 .
a＞4　
－2　
6. 解下列不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来.
(1)
书写通关
解：
②
解不等式①，得x ， ，得x ，
∴不等式组的解集是 .
解集在数轴上表示为：
≥－1　
解不等式②　
≤3　
－1≤x≤3　
(2)
解：不等式组的解集为x＜－5，解集在数轴上表示
如图.
解：不等式组的解集为x＜－5，解集在数轴上表示
如图.

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