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(共16张PPT)
☆ 问题解决活动：最短距离
第三章 图形的平移与旋转
1.能利用轴对称、平移变化解决简单的最短路径问题,体会图形的变化在解决最值问题中的作用,感悟转化思想。(重点)
2.在将实际问题抽象成几何图形的过程中,提高分析能力、解决问题的能力及渗透数学建模思想。(难点)
3.将现实生活数字化、数学生活化,培养学生的抽象能力和应用意识。
两定点 A，B 位于直线 l 同侧，在直线 l 上找一点 P，使 PA + PB 的值最小.
A
B
l
B'
P
作法：1. 作点 B 关于直线 l 的对称点 B' ，
2. 连接 AB'，交直线 l 于点 P，此时 PA + PB 的值最小，最小值为 AB' 的长.
问题 居民区和工厂分别在一条地铁线路的南北两侧，现要沿着地铁线路修建一条地下通道，居民区的居民经过该地下通道去工厂上班.已知该地下通道长度为 a m，那么地下通道的两个出入口应该设计在何处，才能使居民经过该地下通道去工厂上班的路线最短
a m
l
居民区
工厂
【理解问题】 请你用自己的语言将这个实际问题抽象为数学问题.与同伴进行交流 .
如图，点 A， B 在直线 l 的两侧，在直线 l 上存在线段 CD = a，当 CD 在什么位置时，AC + CD + DB 的值最小
a m
l
居民区
工厂
A
B
l
探究点：最短距离
思考：AC + CD + DB 哪些值不确定 什么情况下有最小值
思维转化：
AC + CD + DB 的最小值 → AC + a + DB 的最小值 →AC + DB 的最小值小.
AC 和 DB 的值不确定，当 AC + DB 有最小值时，AC + CD + DB 的值最小.
C
D
l
A
B
a
探究点：最短距离
如图，把线段 DB 向左平移 a m 到 CE，此时 DB = CE.
问题1：两条线段的和最小，你想到了什么定理
两点之间，线段最短.
问题2：怎么使线段 AC 和 DB 有公共端点呢
C
D
l
A
B
a
E
探究点：最短距离
思维转化:
AC + DB 的最小值 → AC + CE 的最小值.
C
D
l
A
B
E
a
C
D
l
A
B
a
E
当 A， C，E 三点共线时，AC + CE 有最小值. 此时 AC + CD + DB 的值最小.
探究点：最短距离
如图，过点 B 作 BE∥l，使 BE = a m，
连接 AE，AE 与直线 l 的交点就是点 C，
在直线 l 上作 CD = a m，再连接 DB.
即可使得 AC＋CD＋DB 的值最小．
问题3：CD 应该设计在哪里？
C
D
l
A
B
E
a
a
探究点：最短距离
例1 两个居民小区 A 和 B 在河岸 l 的同侧，现欲在河岸边建一个长度为 s 米的绿化带 CD，使 C 到小区 A 的距离与 D 到小区 B 的距离之和最小，请在图中画出绿化带的位置.
A
C
B
D
l
解：如图，点 C，点 D 即为所求.
A'
B'
A
C
B
D
l
s
s
探究点：最短距离
解决最短路径问题
通常利用________、________实现线段的转移，把已知问题转化成容易解决的问题
轴对称
平移
C
湖岸
D
湖岸
M
湖岸L2
湖岸 L1
M
1. 某地发展旅游业，下面是该地某村的一个旅游项目，如图 (1) 是示意图，游船从湖岸 L1 的码头 D 将游客送往亭子 M 停留观赏，然后将游客送往湖岸 L2 的码头 C，最后再回到码头 D. 请在图 (2) 中画出游船的最短路径，并确定两个码头的位置.
解: 作亭子 M 关于湖岸 L1 的对称点 M'，作亭子 M 关于湖岸 L1 的对称点 M'' ，连接 M'M'' 交湖岸 L1、L2
于码头 D、码头 C，即为游船的最短路径.
C
湖岸L2
D
湖岸 L1
M
M'
M''
2. 如图，有一所小学与中学分别位于一条封闭式街道的两旁，现准备合作修建一座过街天桥，方便两所学校的交流.已知小学离较近街道的一边距离为 200 米，中学离较近街道的一边距离为 300 米，小学与中学的水平距离为 500 米，衘道宽度为 700 米(街道两边平行) . 请问天桥建在何处才能使由小学到中学的路线最短(天桥必须与街道垂直) 请在图中画出修建的位置， 并计算出最短路线的距离.
中学
小学
解：如图，线段 DF 即为天桥的位置.
过点 C 作 CH ⊥AE 交 AE 的延长线于点 H.
在 Rt △ECH 中，∠H = 90°， CH = 500 米，
EH = 200 + 300 = 500 米，
中学
小学
A
C
D
E
F
H
∴最短路径的长=AD+DF+CF=AE+EC= (700+500 ) 米.
∴ CE = == 500 米.
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