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2 图形的旋转
第1课时 旋转的定义和性质
第三章 图形的平移与旋转
1. 掌握旋转的概念，了解旋转中心、旋转角、旋转方向、对应点的概念.(重点)
2. 掌握旋转的性质，应用概念及性质解决一些实际问题.(难点)
3. 学生在实验探究、知识应用等数学活动中，体验数学的具体生动与灵活，逐步会用数学的眼光观察现实世界.
问题1：如图都是日常生活中物体的运动场景，这些物体的运动有什么共同特点？
都是绕着某个点按某个方向旋转.
问题2：这些物体在转动时，有没有一个固定不动的点？比如风车的叶片绕着哪个点转？钟表的指针绕着哪个点转？
在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转.
A
B
C
D
E
F
这个定点称为旋转中心.
转动的角称为旋转角.
转动的方向分为顺时针与逆时针.
O
旋转中心
旋转角
旋转不改变图形的形状和大小.
探究点一：旋转的概念
对应点
旋转中心： .
旋转角： .
探究点一：旋转的概念
点O
∠AOD，∠BOE，∠COF
点 A 与点 D 是一组对应点，
线段 AB 与线段 DE 是一组对应线段，∠BAC 与∠EDF 是一组对应角.
例1 △ ABD 经过旋转后到△ACE 的位置.
(1)旋转中心是哪一点
(2)旋转了多少度？顺时针还是逆时针？
(3)如果 M 是 AB 的中点,经过上述旋转后，点 M 转到什么位置
A
B
C
E
M
.
解：(1)旋转中心是点 A；
(2)旋转了60°，逆时针；
(3)点 M 转到了 AC 的中点上.
D
60°
探究点一：旋转的概念
旋转中心
旋转角
旋转方向
必须明确
确定一次图形的旋转时：
温馨提示：①旋转的范围是“平面内”，其中“旋转中心,旋转方向，旋转角度”称之为旋转的三要素；②旋转变换同样属于全等变换.
探究点一：旋转的概念
A. 30° B. 45° C. 90° D. 135°
【练一练】1.如图，点 A、B、C、D 都在方格纸的格点上，若△AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转到△COD 的位置，则旋转的角度为 ( )
解析：对应点与旋转中心的连线的夹角，就是旋转角，由图可知，OB、OD 是对应边，∠BOD 是旋转角，所以旋转角为 90°. 故选 C.
C
C
D
A
B
O
探究点一：旋转的概念
如图，两张透明纸上的四边形 ABCD 和四边形 EFGH 完全重合，在纸上选取旋转中心 O，并将其固定.把其中一张纸片绕点 O 旋转一定角度 (如图).
探究点二：旋转的性质
(1) 观察右图的两个四边形，你能发现有哪些相等
的线段和相等的角？
(2) 连接 AO，BO，CO，DO，EO，FO，GO，HO，你又能发现有哪些相等的线段和相等的角？
AO = EO，BO = FO，CO = GO，DO = HO；
∠AOE =∠BOF =∠COG =∠DOH
AB = EF，BC = FG，CD = GH，DA = HE；
∠BAD =∠FEH，∠ABC =∠EFG ，
∠BCD =∠FGH，∠ADC =∠EHG
探究点二：旋转的性质
(3) 在图中再取一些对应点，画出它们与旋转中心所连成的线段，你又能发现什么？
任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角
画一画：改变透明纸上所画图形的形状，再试一试，并与同伴交流.
M
N
N′
M′
探究点二：旋转的性质
一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；
对应线段相等，对应角相等.
旋转的性质
探究点二：旋转的性质
【观察思考】在图 (1) ~ (4) 的四个三角形中，哪个不能由 △ABC 经过平移或旋转得到？
探究点二：旋转的性质
例2 如图，将等腰△ABC 绕顶点 B 逆时针方向旋转 α° 到△A1BC1 的位置，AB 与 A1C1 相交于点 D，AC 与 A1C1，BC1 分别交于点 E，F．
（1）求证：△BA1D≌△BCF；
A
C
B
A1
C1
E
D
F
（2）当∠C = α° 时，判定四边
形 A1BCE 的形状，并说明理由．
探究点二：旋转的性质
在△BA1D 与△BCF 中，
∴△BA1D≌△BCF（ASA）.
由旋转的性质，可得
A1B = AB = BC，∠A =∠A1 =∠C，∠A1BD =∠CBF .
（1）证明：在等腰△ABC 中，AB = BC，∠A =∠C.
A
C
B
A1
C1
E
D
F
探究点二：旋转的性质
∴∠FBC =∠C1，A1C1∥BC.
∴∠C1EC =∠C.
又∵△ABC，△A1BC1 为等腰三角形，
∴∠A1 =∠C1 =∠C，∠A1 =∠C1EC.
∴ A1B∥CE.
∴ 四边形 A1BCE 是平行四边形.
又∵ A1B = BC，∴□ A1BCE 是菱形.
A
C
B
A1
C1
E
D
F
（2）解：四边形 A1BCE 是菱形，理由如下：
∵∠FBC =∠C = α°，∠C =∠C1 = α°，
探究点二：旋转的性质
【练一练】2.如图，在 △ABC 中，∠B = 22°，
∠ACB = 45°，AB = 6 cm，△ABC 逆时针旋转一定角度后与 △ ADE 重合，且点 C 恰好成为 AD 的中点.
(1) 指出旋转中心，并求出旋转的度数；
解 (1) ∵△ABC 逆时针旋转一定角度后与
△ADE 重合，
∴点 A 为旋转中心，∠BAD 为旋转角.
∵点 C 在 AD上，∠B = 22°，∠ACB = 45°，∴∠BAD = ∠BAC = 180° - ∠B - ∠ACB = 113°.
点 A 为旋转中心，旋转角的度数为 113°.
探究点二：旋转的性质
【练一练】2.如图，在 △ABC 中，∠B = 22°，∠ACB = 45°，AB = 6 cm，△ABC 逆时针旋转一定角度后与 △ ADE 重合，且点 C 恰好成为 AD 的中点.
(2) 求 AE 的长。
(2) 由旋转得AE = AC，AD = AB = 6 cm，
∵ 点 C 为 AD 的中点，
∴ AC = DC = AD = 3 cm.
∴ AE = 3cm.
∴ AE 的长是 3 cm .
探究点二：旋转的性质
旋转
定义
三要素：旋转中心，旋转方向和旋转角度
性质
旋转前后的图形全等；
对应点到旋转中心的距离相等；
对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角
1. 下面生活中的实例，不是旋转的是(　A　)
A. 传送带传送货物
B. 螺旋桨的运动
C. 风车风轮的运动
D. 自行车车轮的运动
A
2. 如图，将△ABC绕点A旋转之后得到△ADE，
则下列结论不正确的是(　D　)
A. BC＝DE B. ∠E＝∠C
C. ∠EAC＝∠BAD D. ∠B＝∠E
第2题图　　
D
3. 如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°得到
△OCD. 若∠A＝3∠D＝120°，则∠α的度数
是(　B　)
A. 50° B. 60°
C. 40° D. 30°
第3题图
B
4. 如图，△ABC绕点C旋转到△DEC，在这个旋转过程中，旋转中心为 ，
旋转角是 .
第4题图　　
点C　
∠BCE(或∠ACD)　
5. 如图，一块等腰直角三角板ABC在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到三角形A′B′C的位置，使
A，C，B′三点共线，那么旋转角的大小为 .
第5题图
135°　
6. 如图，P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕点
B按顺时针方向旋转能与△CBP′重合.若PB＝2，
求PP′的长度.
解：由旋转可知∠ABP＝∠CBP′，BP＝BP′
＝2.
∵∠ABC＝∠ABP＋∠PBC＝90°，
∴∠PBP′＝∠CBP′＋∠PBC＝90°.
∴PP′＝ ＝2 .
解：由旋转可知∠ABP＝∠CBP′，
BP＝BP′＝2.
∵∠ABC＝∠ABP＋∠PBC＝90°，
∴∠PBP′＝∠CBP′＋∠PBC＝90°.
∴PP′＝ ＝2 .

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