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2 等腰三角形
第2课时 等腰三角形的判定与反证法
第一章 三角形的证明及其应用
1. 掌握等腰三角形的判定定理并学会运用.(重、难点)
2. 理解并掌握反证法的思想，能够运用反证法进行证明.(重点)
3. 通过推理证明等腰三角形的判定方法的过程，发展推理能力，培养分析、归纳问题的能力.
A
B
C
如图，位于海上 B、C 两处的两艘救生船接到 A 处遇险船只的报警，当时测得 ∠B =∠C. 如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点(不考虑风浪因素)？
问题：等腰三角形有哪些性质定理及推论？
两底角相等
(简写成“等边对等角”).
等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简写成 “三线合一”).
等腰三角形
边
角
推论
两边相等(定义)
既是性质也是判定
前面已经证明了等腰三角形的两底角相等.反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗
A
B
C
实际模型
C
A
B
数学模型
【回顾导入】
抽象
探究点1：等腰三角形的判定
如图，在△ABC 中，∠B =∠C，那么它们所对的边 AB 和 AC 有什么数量关系
建立数学模型：
C
A
B
AB = AC
你能验证你的结论吗？
方法思考：
①作高 AD 可以吗
②作角平分线 AD 呢
③作中线 AD 呢
探究点1：等腰三角形的判定
在 △ABD 与 △ACD 中，
∠B =∠C，
∴△ABD≌△ACD (AAS).
∠1 =∠2，
AD = AD，
∴ AB = AC.
过 A 作 AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D.
证明：
C
A
B
2
1
D
（
（
△ABC 是等腰三角形
还有别的方法吗？
【证一证】
探究点1：等腰三角形的判定
等腰三角形的判定定理：
在△ABC 中，
∵∠B =∠C，
应用格式：
∴ AB = AC (等角对等边).
A
C
B
有两个角相等的三角形是等腰三角形.
(简称“等角对等边”).
【知识要点】
探究点1：等腰三角形的判定
A
B
C
D
2
1
∵∠1 = ∠2 ， ∴ BD = DC
(等角对等边).
∵∠1 =∠2 ， ∴ DC = BC
A
B
C
D
2
1
(等角对等边).
错，因为都不是在同一个三角形中.
辨一辨：如图，下列推理正确吗
探究点1：等腰三角形的判定
例1 已知：如图，AB = DC，BD = CA，BD 与 CA 相交于点 E.
求证：△AED 是等腰三角形.
A
B
C
D
E
证明：∵ AB = DC，BD = CA，AD = DA，
∴△ABD≌△DCA (SSS).
∴∠ADB =∠DAC (全等三角形的对应角相等).
∴ AE = DE (等角对等边).
∴△AED 是等腰三角形.
探究点1：等腰三角形的判定
【练一练】1. 已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D，E 分别是 AB，AC 上的点，且 DE∥BC.
求证：△ADE 为等腰三角形.
证明：∵ AB = AC，
∴∠B =∠C.
又∵ DE∥BC，
∴∠ADE =∠B，∠AED =∠C.
∴∠ADE =∠AED.
∴△ADE 为等腰三角形.
探究点1：等腰三角形的判定
想一想：小明认为，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为小明这个结论成立吗 如果成立，你能证明它吗
在△ABC 中， 如果∠B ≠∠C，
那么 AB ≠ AC.
A
B
C
探究点2：反证法
C
A
B
如图，在△ABC 中，已知∠B≠∠C，
此时，AB 与 AC 要么相等，要么不相等.
假设 AB = AC，那么根据定理“等角对等边”可得∠C =∠B，这与已知条件是∠B≠∠C，
相矛盾，因此 AB ≠ AC.
小明是这样想的：
你能理解他的推理过程吗
探究点2：反证法
在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法．
【知识要点】
探究点2：反证法
用反证法证题的一般步骤
1. 假设： 先假设命题的结论不成立；
2. 归谬： 从这个假设出发，应用正确的推论方法，得出
与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果；
3. 结论：由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定命题
的结论正确.
【方法总结】
探究点2：反证法
例2 用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.
已知：△ABC．
求证：∠A，∠B，∠C 中不能有两个角是直角．
【分析】按反证法证明命题的步骤，首先要假定结论“∠A，∠B，∠C 中不能有两个角是直角”不成立，即它的反面“∠A，∠B，∠C 中有两个角是直角”成立，然后，从这个假定出发推下去，找出矛盾．
探究点2：反证法
证明：假设 ∠A，∠B，∠C 中有两个角是直角，
不妨设∠A 和∠B 是直角，∠A＝90°，∠B＝90°.
所以一个三角形中不能有两个角是直角．
这与三角形的内角和定理矛盾，因此“∠A 和∠B 是直角”的假设不成立．
于是 ∠A＋∠B＋∠C＝90°＋ 90°＋∠C＞180°．
探究点2：反证法
【练一练】2.求证：在一个三角形中，至少有一个内角≤60°.
已知：△ABC.
求证：△ABC 中至少有一个内角小于或等于 60°.
证明：假设　　　　　　　　　　　　　　　　　，
则　　　　　　　　　　　　　　　.
∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　，
即　　　　　　　　　　.
这与　　　　　　　　　　　矛盾，故假设不成立．
∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　．
△ABC 中没有一个内角小于或等于 60°
∠A > 60°，∠B > 60°，∠C > 60°
∠A +∠B +∠C > 180°
三角形的内角和为 180°
△ABC中至少有一个内角小于或等于 60°
∠A +∠B +∠C > 60° + 60° + 60° = 180°
等腰三角形的判定
等角对等边
有两个角相等的三角形是等腰三角形
反证法
先假设结论不成立，然后推出与已知条件或基本事实、定理相矛盾的结果，从而证明原命题成立
课堂小结
1. 在△ABC中，∠B＝∠C. 若AC＝4，则AB的
长为(　C　)
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
C
第2题图　　
2. 如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB.
若OD＝3 cm，则CD的长为(　A　)
A. 3 cm B. 4 cm
C. 1.5 cm D. 2 cm
A
当堂反馈
3. 把两个全等的含30°角的直角三角板按如图所示
的方式拼在一起，其中等腰三角形有(　D　)
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
第3题图
D
4. 用反证法证明“等角对等边”，应先假设____
____________________________________________.
某三
角形中的两个角相等，这两个角所对的边不相等　
当堂反馈
5. 如图，在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，
∠DBC＝36°.
(1)求∠1的度数；∠DBC＝36°.
(1)解：在△ABC中，
∵∠ABC＝180°－∠A－∠C＝72°，
∴∠1＝∠ABC－∠DBC＝36°.
当堂反馈
∴BD＝BC.
∵∠1＝∠A＝36°，
∴BD＝AD.
∴BC＝BD＝AD.
(2)求证：BC＝BD＝AD.
(2)证明：在△BCD中，
∵∠2＝180°－∠DBC－∠C＝72°，
∴∠2＝∠C.
当堂反馈

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