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2 等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质
第一章 三角形的证明及其应用
1. 探索并证明等腰三角形的性质：
(1) 等腰三角形的两个底角相等(“等边对等角”)；
(2) 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(“三线合一”). (重点)
2. 运用等腰三角形的性质进行证明和计算. (难点)
3. 掌握等边三角形的性质，并能够利用性质解题.
4. 经历观察、实验、猜想、论证的过程，体会等腰三角形性质的几何证明的逻辑严密性与科学性.
图中有你熟悉的图形吗 它们有什么共同特点
斜拉桥梁
埃及金字塔
体育观看台架
问题1：你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗
推论：等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线， 底边上的高互相重合(三线合一).
问题2：你能利用基本事实或已知的定理证明这些结论吗
定理：等腰三角形的两个底角相等.
议一议：在七下学习轴对称时，我们利用折叠的方法说明了等腰三角形是轴对称图形，且两个底角相等，如下图，实际上，折痕将等腰三角形分成了两个全等的三角形. 由此，你得到了解题什么的启发？
探究点1：等腰三角形的性质
【证一证】已知： 如图，在 △ABC 中，AB = AC.
求证： ∠B = ∠C.
A
B
C
D
证明：如图，取 BC 的中点 D，连接 AD.
∵AB = AC，BD = CD，AD = AD，
∴△ABD≌△ACD (SSS).
∴∠B =∠C (全等三角形的对应角相等).
方法一：作底边上的中线
还有其他的证法吗？
探究点1：等腰三角形的性质
已知：如图，在△ABC 中，AB = AC.
求证：∠B =∠C.
A
B
C
D
证明：
作顶角的平分线 AD，则∠BAD =∠CAD.
∴△BAD ≌ △CAD (SAS).
∴∠B =∠C (全等三角形的对应角相等).
方法二：作顶角的平分线
∵AB = AC，∠BAD = ∠CAD，AD = AD，
【证一证】
探究点1：等腰三角形的性质
想一想：由△BAD≌△CAD，图中线段 AD 还具有怎样的性质？为什么？由此你能得到什么结论？
由△BAD≌△CAD，
可得 BD = CD，∠ADB =∠ADC，
∠BAD =∠CAD.
又∵∠ADB +∠ADC = 180°，
∴∠ADB =∠ADC = 90°，即 AD⊥BC.
故 AD 是等腰△ABC 底边 BC 上的中线、顶角∠BAC 的平分线、底边 BC 上的高线.
A
B
C
D
探究点1：等腰三角形的性质
【知识要点】
定理：等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).
A
C
B
几何语言：如图，在 △ABC 中，
∵ AB = AC (已知)，
∴∠B =∠C (等边对等角).
推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线重合.
探究点1：等腰三角形的性质
【练一练】
1. 已知，如图，△ABC≌△ADE，∠BED = 20°，
则∠AED 的度数为( )
A.60° B.90°
C. 80° D. 20°
C
探究点1：等腰三角形的性质
例1 已知点 D、E 在△ABC 的边 BC 上，AB＝AC.
(1) 如图①，若 AD＝AE，求证：BD＝CE；
(2) 如图②，若 BD＝CE，F 为 DE 的中点，求证：
AF⊥BC.
图①
图②
A
B
D
E
C
A
B
D
E
C
F
探究点1：等腰三角形的性质
证明：(1) 如图①，过 A 作 AG⊥BC 于 G.
图①
A
B
D
G
E
C
图②
A
B
D
E
C
F
∴ AF⊥BC.
∵ AB＝AC，
∴ BF＝CF.
∴ BD＋DF＝CE＋EF.
(2) ∵ BD＝CE，F 为 DE 的中点，
∴ BD＝CE.
∴ BG－DG＝CG－EG.
∴ BG＝CG，DG＝EG.
∵ AB＝AC，AD＝AE，
想一想，不构造辅助线可以结论吗？
探究点1：等腰三角形的性质
想一想：等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么特征呢？
等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于 60°.
可以利用等腰三角形的性质进行证明.
怎样证明这一定理呢？
探究点2：等边三角形的性质
已知：如图，在△ABC 中，AB = AC = BC.
求证：∠A =∠B =∠C = 60°.
A
C
B
证明：在△ABC 中，
∴∠A =∠B =∠C = 60°.
又∵∠A +∠B +∠C = 180° (三角形的内角和等于180°)，
同理∠A =∠B.
∴∠B =∠C.
∵ AB = AC ，
【证一证】
探究点2：等边三角形的性质
定理 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于 60°.
【知识要点】
A
C
B
探究点2：等边三角形的性质
B
C
D
A
E
例2 如图，等边三角形 ABC 中，BD 是 AC 边上的中线，
BD = BE，求∠EDA 的度数.
解：
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠CBA = 60°.
∵ BD 是 AC 边上的中线，
∴∠BDA = 90°，∠DBA = 30°.
∵ BD = BE，
∴∠BDE = (180°－∠DBA)÷2
= (180°－30°)÷2 = 75°.
∴∠EDA = 90°－∠BDE = 90°－75° = 15°.
探究点2：等边三角形的性质
等腰三角形的性质
两底角相等
顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合
等边三角形每个内角都是60°
1. 在△ABC中，AB＝AC，∠B＝70°，则∠C的
度数是(　A　)
A. 70° B. 55° C. 50° D. 40°
A
2. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，则下列结论不一定成立的是(　A　)
A. AD＝BD B. BD＝CD
C. ∠1＝∠2 D. ∠B＝∠C
A
3. 已知等边三角形ABC的一边长为10，则它的周长
为(　C　)
A. 10 B. 20 C. 30 D. 40
C
4. 如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，
∠DBC＝35°，则∠ADB的度数为(　D　)
A. 25° B. 60°
C. 85° D. 95°
D
5. (1)一个等腰三角形的底角是顶角的2倍，则该等
腰三角形的顶角度数为 ；
(2)等腰三角形的一个角是40°，则它的底角度数
为 .
36°　
40°或70°　
6. 如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，
BD＝3，AC＝5.
(1)△ABC的周长为 ；
(2)△ABC的面积为 .
16　
12　
7. 如图，在等边三角形ABC中，D是AC的中点，
延长BC到点E，使CE＝CD，求∠BDE的度数.
解：∵△ABC是等边三角形，D是AC的中点，
∴∠ACB＝60°，∠BDC＝90°.
∵CD＝CE，
∴∠E＝∠CDE.
∵∠BCD＝∠E＋∠CDE＝2∠CDE＝60°，
∴∠CDE＝30°.
∴∠BDE＝∠BDC＋∠CDE＝120°.

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