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4 线段的垂直平分线
第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定
第一章 三角形的证明及其应用
1. 掌握线段的垂直平分线的性质和判定，能灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题. (重点)
2. 通过经历线段的垂直平分线的性质与判定的证明过程，体验逻辑推理的数学方法. (难点)
如图，画一条线段 AB ，然后对折 AB，使 A， B 两点重合，设折痕与 AB 的交点为 O.
你发现了什么
我们把垂直且平分一条线段的直线称为这条线段的垂直平分线.
A(B)
B
O
A
B
如图，点 P 是线段 AB 垂直平分线上的一点，AB 和 PC 相等吗 改变点 P 的位置，结论还成立吗
A
P
B
C
线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.
你能证明这一结论吗？
探究点1：线段垂直平分线的性质
【证一证】已知：如图，直线 MN⊥AB，垂足为 C，AC = BC，P 是 MN 上的任意一点.
求证：PA = PB．
证明：∵ MN⊥AB，
∴ PA = PB
(全等三角形的对应边相等)．
∴△PCA≌△PCB (SAS)．
又 AC = BC，PC = PC，
∴∠PCA =∠PCB = 90°．
P
A
B
M
C
N
如果点 P 与点 C 重合，那么结论显然成立.
探究点1：线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线的性质定理：
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
【知识要点】
探究点1：线段垂直平分线的性质
例1 如图，在 △ABC 中，AB＝AC＝20 cm，DE 垂直平分 AB，垂足为 E，交 AC 于 D，若 △DBC 的周长为 35 cm，则 BC 的长为 (　　)
A．5 cm
B．10 cm
C．15 cm
D．17.5 cm
C
探究点1：线段垂直平分线的性质
解析：∵△DBC 的周长为 BC＋BD＋CD＝35 cm，又 DE 垂直平分 AB，
∴ AD＝BD，故 BC＋AD＋CD＝35 cm.
∵ AC＝AD＋DC＝20 cm，
∴ BC＝35－20＝15 (cm). 故选 C.
方法归纳：利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．
探究点1：线段垂直平分线的性质
练一练： 1. 如图①所示，直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线，点 P 为直线 CD 上的一点，且 PA = 5，则线段 PB 的长为 ( )
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
2. 如图②所示，在△ABC 中，BC = 8 cm，边 AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交边 AC 于点 E，△BCE 的周长等于 18 cm，则 AC 的长是 .
B
10 cm
P
A
B
C
D
图①
A
B
C
D
E
图②
探究点1：线段垂直平分线的性质
它是真命题吗？你能证明吗？
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
逆命题
探究点2：线段垂直平分线的判定
想一想：如果 PA = PB，那么点 P 是否在线段 AB 的垂直平分线上呢？
记得要分点 P 在线段 AB 上及线段 AB 外两种情况来讨论
探究点2：线段垂直平分线的判定
① 当点 P 在线段 AB 上时，
∵ PA = PB，
∴ 点 P 为线段 AB 的中点，
显然此时点 P 在线段 AB 的垂直平分线上；
② 当点 P 在线段 AB 外时，如右图所示.
∵ PA = PB，
∴△PAB 是等腰三角形.
过顶点 P 作 PC⊥AB，垂足为点 C.
∴ 底边 AB 上的高 PC 也是底边 AB 上的中线.
即 PC⊥AB，且 AC = BC.
∴ 直线 PC 是线段 AB 的垂直平分线，
此时点 P 也在线段 AB 的垂直平分线上.
探究点2：线段垂直平分线的判定
线段垂直平分线的性质定理的逆定理：
应用格式：
∵ PA = PB，
∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上．
P
A
B
作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
【知识要点】
探究点2：线段垂直平分线的判定
例2 已知：如图，在 △ABC 中，AB = AC，O 是△ABC 内一点，且 OB = OC.
求证：直线 AO 垂直平分线段 BC.
证明：∵ AB = AC，
你还有其他证明方法吗？
C
A
B
O
∴ 直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线
(两点确定一条直线).
同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线上.
∴ 点A 在线段 BC 的垂直平分线上 (到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上).
探究点2：线段垂直平分线的判定
证明：延长 AO 交 BC 于点 D.
∵ AB＝AC，AO＝AO，OB＝OC，
∴△ABO≌△ACO (SSS).
∴∠BAO ＝ ∠CAO.
∵ AB＝AC，
∴ AO⊥BC.
∵ OB＝OC，OD＝OD，
∴ Rt△DBO≌Rt△DCO (HL).
∴ BD＝CD.
∴ 直线 AO 垂直平分线段 BC.
C
A
B
O
D
探究点2：线段垂直平分线的判定
试一试：已知：如图，点 E 是∠AOB 的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为 C，D，连接 CD.
求证：OE 是 CD 的垂直平分线.
A
B
O
E
D
C
证明：
∵ OE 平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴ DE = CE (角平分线上的点到角的两边的距离相等).
∴ OE 是 CD 的垂直平分线.
探究点2：线段垂直平分线的判定
线段的垂直平分线的性质和判定
性质
到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
内容
判定
内容
作用
线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等
作用
见垂直平分线，得线段相等
判断一个点是否在线段的垂直平分线上
1. 已知PA＝6，当PB＝ 时，点P在线段AB
的垂直平分线上.
2. 如图，MN是线段AB的垂直平分线，点C在MN
上.若∠ACB＝80°，则∠A的度数为 .
6　
50°　
3. 如图，已知DE⊥BC于E，BE＝CE，
AB＋AC＝15，则△ABD的周长为(　A　)
A. 15 B. 20
C. 25 D. 30
第3题图
A
4. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分
∠ABC交AC于E，DE垂直平分AB于D.
求证：BE＋DE＝AC.
证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠DBE＝∠CBE.
∵DE⊥AB，
∴∠EDB＝90°＝∠C.
在△DEB和△CEB中，
∴△DEB≌△CEB(AAS).
∴DE＝CE.
∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE.
∴BE＋DE＝AE＋CE＝AC.
∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE.
∴BE＋DE＝AE＋CE＝AC.

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