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3 直角三角形
第1课时 直角三角形的性质与判定
第一章 三角形的证明及其应用
1. 复习直角三角形的相关知识，归纳并掌握直角三角形的性质和判定.(难点)
2. 学习并掌握勾股定理及其逆定理，能够运用其解决问题.(重点)
3. 理解逆命题、互逆命题的概念，能准确写出命题的逆命题，判断其真假，通过实例体会互逆命题的应用，提升逻辑推理能力
4. 能从实际问题中抽象出几何模型以及发现内在的数量关系，发展抽象能力，培养用数学眼光观察世界的习惯.
直角三角形的两个锐角互余.
这节课我们一起来证明直角三角形的判定与性质.
问题：前面我们探究过直角三角形的哪些性质？
在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
问题1：直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？
证明：∵△ABC 是直角三角形，
∠A +∠B +∠C = 180°，
又∵∠C = 90°，
∴∠A +∠B = 90°.
探究点1：利用角判定直角三角形
已知：△ABC 是直角三角形，∠C＝90°.
求证：∠A＋∠B = 90°．
证明：∵∠A +∠B +∠C = 180°，
又∵∠A +∠B = 90°，
∴△ABC 是直角三角形
∴∠C = 90°.
问题2：如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗 为什么
已知：在△ABC 中，∠A＋∠B = 90°.
求证：△ABC 是直角三角形．
定理 直角三角形的两个锐角互余.
定理 有两个角互余的三角形是直角三角形.
上面两个定理的条件和结论有什么关系？
【知识要点】
①
②
a
c
b
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 即 a2 + b2 = c2.
探究点2：利用三边数量关系判定直角三角形
我们曾经利用数方格和割补图形的方法得到了勾股定理.
利用基本事实和已有定理，如何证明勾股定理呢？
勾股定理的证明：
D
E
F
G
H
I
A
B
C
a
b
c
如图，在△ABC 中，∠C = 90°，BC = a，
AC = b，AB = c.
分别以 Rt△ABC 的三边为边长作正方形AHIB，ACDE，CBFG. 连接 EB，CH.
过点 C 作 AB 的垂线，分别交 AB 和 HI 于点 M，N.
M
N
∵EA = CA，
∠EAB =∠CAH = 90°+∠CAB，
AB = AH，
∴△EAB ≌△CAH（SAS）.
又∵S正方形 ACDE= 2S△EAB，
S长方形AHNM = 2S△CAH，
∴b2 = S长方形AHNM.
同理 a2 = S长方形MNIB.
∴ c2 = a2 + b2.
D
E
F
G
H
I
A
B
C
a
b
c
M
N
c
∵ c 2 = 4× ab + ( b - a )2
c 2 = 2ab + b 2 - 2ab + a 2 ，
c 2 = a 2 + b 2，
∴ a 2 + b 2 = c 2.
大正方形的面积可以表示为 ；
也可以表示为　　 　　 ．
c 2
4× ab + ( b - a ) 2
证法 赵爽弦图
c
a
c
a
c
b
a
a
b
b
b
如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
勾股定理反过来，怎么叙述呢？
这个命题是真命题吗？为什么？
分析：要证明△ABC 是直角三角形，一般需要证明有一个角是直角. 这里的已知条件是边的关系，由此你能想到什么？借助边的关系，
你能构造一个直角三角形，
使它与△ABC 全等吗
已知：如图，在 △ABC 中，AB 2 + AC 2 = BC 2.
求证：△ABC 是直角三角形.
例1 证明此命题：
A
B
C
证明：如图，作 Rt△A′B′C′，使∠A′ = 90°，
A′B′ = AB，A′C′ = AC，
则 A′B′ 2 + A′C′ 2 = B′C′ 2 (勾股定理).
∵ AB 2 + AC 2 = BC 2 ，
∴ BC 2 = B′C′ 2.
∴ BC = B′C′ .
∴△ABC≌△A′B′C′ (SSS).
∴∠A =∠A′ = 90°
(全等三角形的对应角相等).
因此，△ABC 是直角三角形.
A
B
C
A′
B′
C′
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．
定理：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
上面两个定理的条件和结论有什么关系？
【知识要点】
③
④
【练一练】1. 如图，在四边形 ABCD 中，AB = 8，BC = 6，AC = 10，AD = CD = ，求四边形 ABCD 的面积.
∴△ABC 是直角三角形且∠B 是直角.
∴△ADC 是直角三角形且∠D 是直角.
∴ S四边形ABCD =
【合作探究】
观察上面第一个定理和第二个定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系
第三个定理和第四个定理呢 与同伴交流.
探究点3：互逆命题与互逆定理
观察上面三组命题，你发现了什么
如果两个角是对顶角，那么它们相等；
如果两个角相等，那么它们是对顶角.
说出下列命题的条件和结论：
如果 a＝b，那么 a ＝b ；
如果 a ＝b ， 那么 a＝b.
一个三角形中相等的边所对的角相等；
一个三角形中相等的角所对的边相等.
在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题.
其中一个命题称为另一个命题的逆命题.
【知识要点】
【想一想】你能写出命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题吗 它们都是真命题吗
逆命题：如果两个有理数的平方相等，那么这两个有理数相等.
举特例：
命题：2 = 2，22 = 22；
逆命题：(2)2 = (-2)2，2 ≠ -2
总结：一个命题是真命题；逆命题不一定是真命题.
真命题
假命题
1. 说出下列命题的逆命题，这些逆命题成立吗？
(1) 两条直线平行，内错角相等；
(2) 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
内错角相等，两条直线平行.
如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等.
成立
不成立
【练一练】
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理. 如：“定理①与定理②” “定理③与定理④” 都为互逆定理.
(1) 命题有真有假，而定理都是真命题；
(2) 每个命题都有逆命题，但不是所有的定理都有逆定理；
(3) 原命题的真假与其逆命题的真假没有关系.
注
意
【归纳总结】
直角三角形的性质与判定
直角三角形的性质
直角三角形的判定
两个锐角互余
勾股定理
有两个角互余的三角形是直角三角形
勾股定理的逆定理
互逆命题与
互逆定理
互逆命题
互逆定理
如果一个定理的逆命题是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理.
第一个命题的条件是第二个命题的结论；
第一个命题的结论是第二个命题的条件.
概念
概念
1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝54°，则
∠A的度数是(　B　)
A. 66° B. 36°
C. 56° D. 46°
B
2. 已知a，b，c是△ABC的三条边长，下列条件
中，不能判断△ABC为直角三角形的是(　D　)
A. a2＝1，b2＝2，c2＝3
B. a∶b∶c＝3∶4∶5
C. ∠A＋∠B＝∠C
D. ∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5
D
3. 写出命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命
题： . .
4. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，EF∥AB.
若∠1＝50°，则∠B＝ °.
有两个角互余的三角形是直角三角形　
40　
5. 如果一个三角形的三边长a，b，c满足
(c－24)2＋｜2a－20｜＋(b－26)2＝0，那么这个三角形的形状是 .
直角三角形　
解：如图，连接AB.
∵∠ACB＝90°，
∴AB＝ ＝5.
∵AD＝13，BD＝12，
∴AB2＋BD2＝132＝AD2.
∴△ABD为直角三角形，且∠ABD＝90°.
∴S阴影＝AB BD－AC BC＝×5×12－×4×3＝24.
6. 如图，已知AC＝4，BC＝3，BD＝12，AD＝13，
∠ACB＝90°，求阴影部分的面积.

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