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3 直角三角形
第2课时 直角三角形全等的判定
第一章 三角形的证明及其应用
1. 掌握“斜边、直角边”的判定方法.(重点)
2. 能初步应用“斜边、直角边”条件判定两个直角三角形全等.(难点)
3. 经历探索直角三角形全等的过程，体验用操作、归纳得出数学结论的过程，发展数学思维.
问题1 ：我们学过哪些判定三角形全等的方法？
问题2 ：两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等吗 如果其中一组等边所对的角是直角呢
问题：
如果这两个三角形都是直角三
角形，即∠B =∠E = 90°，
且 AC = DF，BC = EF，现在能
判定△ABC≌△DEF 吗？
A
B
C
D
E
F
探究点：直角三角形全等的判定
【画一画】
已知一条直角边和斜边，求作一个直角三角形.
已知：如图，线段 a，c (a＜c)，直角 α.
求作：Rt△ABC，使∠C = ∠α，BC = a，AB = c.
α
a
c
探究点：直角三角形全等的判定
作法：
2. 过点作射线 CN 的垂线 CM .
3. 在射线 CM 上截取 CB＝a.
A
M
C
N
4. 以点 B 为圆心，线段 c 的长为半径作弧，交射线 CN 于点 A.
5. 连接 AB.
B
α
a
c
1. 作射线 CN.
△ABC 就是所要作的直角三角形.
探究点：直角三角形全等的判定
【验证结论】已知：如图，在△ABC 与△A′B′C′ 中，∠C′ =∠C = 90°，AB = A′B′，AC = A′C′.
求证：△ABC≌△A′B′C′
证明：在△ABC中，
A
B
C
A′
B′
C′
∴ △ABC≌△A'B'C'( SSS ) .
∴ BC＝B'C'.
∵AB＝A'B'，AC＝A'C'，
同理，B'C' 2＝A'B' 2－A'C' 2.
∴ BC2＝AB2－AC2 (勾股定理).
∵∠C＝90°
探究点：直角三角形全等的判定
文字语言：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 (简写成“斜边、直角边”或“HL”).
几何语言：
“斜边、直角边”判定方法
在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，
∴ Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ (HL).
AB = A′B′，
BC = B′C′，
A
B
C
A′
B′
C′
【知识要点】
探究点：直角三角形全等的判定
判断：满足下列条件的两个三角形是否全等 为什么
1. 一个锐角及这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形.
全等 (AAS)
探究点：直角三角形全等的判定
2. 一个锐角及这个锐角相邻的直角边对应相等的两个直角三角形.
全等 (ASA)
3. 两直角边对应相等的两个直角三角形.
全等 (SAS)
探究点：直角三角形全等的判定
4. 有两边对应相等的两个直角三角形.
情况 1：全等 (SAS)
情况 2：全等 (HL)
探究点：直角三角形全等的判定
例1 已知：如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC = BD，
求证：BC = AD.
证明：∵ AC⊥BC，BD⊥AD， ∴∠C 与∠D 都是直角.
AB = BA，
AC = BD.
在 Rt△ABC 和 Rt△BAD 中，
∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL).
∴ BC = AD.
A
B
D
C
应用“HL”的前提条件是在直角三角形中
这是应用“HL”判定方法的书写格式.
利用全等证明两条线段相等，这是常见的思路
探究点：直角三角形全等的判定
变式1：如图，∠ACB＝∠ADB＝90°，要证明△ABC ≌△BAD，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由.
(1) ( )
(2) ( )
(3) ( )
(4) ( )
A
B
D
C
AD＝BC
∠DAB＝∠CBA
BD＝AC
∠DBA＝∠CAB
HL
HL
AAS
AAS
探究点：直角三角形全等的判定
如图，AC、BD 相交于点 P，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为 C、D，AD = BC.
求证：AC = BD.
变式 2
HL
AC ＝ BD
Rt△ABD ≌ Rt△BAC
探究点：直角三角形全等的判定
如图，AB⊥AD，CD⊥BC，AB = CD，判断 AD 和 BC 的位置关系.
变式3
HL
∠ADB ＝ ∠CBD
Rt△ABD ≌ Rt△CDB
AD∥BC
探究点：直角三角形全等的判定
方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”定理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．
探究点：直角三角形全等的判定
例2 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度 AC 与右边滑梯水平方向的长度 DF 相等，两个滑梯的倾斜角∠B 和∠F 的大小有什么关系？
BC = EF，AC = DF，
∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL).
∴∠B = ∠DEF (全等三角形的对应角相等).
∵∠DEF +∠F = 90°(直角三角形的两锐角互余)，
∴∠B +∠F = 90°.
解：根据题意，可知
∠CAB = ∠FDE = 90°，
B
A
D
F
C
E
探究点：直角三角形全等的判定
证明：∵ AD，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，且 AD＝AF，AC＝AE，
∴ Rt△ADC ≌ Rt△AFE (HL).
∴ CD ＝ EF.
∵ AD ＝ AF，AB ＝ AB，
∴ Rt△ABD≌Rt△ABF (HL).
∴ BD＝BF.
∴ BD－CD＝BF－EF，即 BC＝BE.
【练一练】 如图，已知 AD，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，若 AD＝AF，AC＝AE，
求证：BC＝BE.
探究点：直角三角形全等的判定
“斜边、直角边”
内容
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
前提条件
在直角三角形中
使用方法
只须找除直角外的两个条件即可 (两个条件中至少有一个条件是一组边相等)
1. 如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，则能
直接判断Rt△ABD≌Rt△CDB的理由是(　A　)
A. HL B. ASA
C. SAS D. SSS
第1题图　　
A
2. 如图，已知AB⊥CD，垂足为B，BC＝BE. 若
直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE，则需要添
加的一个条件是 .
第2题图
AC＝DE　
3. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝
AC，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，
CE. 若BD＝4 cm，CE＝3 cm，则DE＝ cm.
7　
4. 如图，点D是△ABC的边BC的中点，
DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，
且BF＝CE. 求证：△ABC是等腰三角形.
证明：∵D是BC的中点，
∴BD＝CD.
∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴△BDF与△CDE均为直角三角形.
在Rt△BDF和Rt△CDE中，
∴Rt△BDF≌Rt△CDE(HL).
∴∠B＝∠C.
∴AB＝AC.
∴△ABC是等腰三角形.
解：(1)当 P 运动到 AP＝BC 时，
∵∠C＝∠QAP＝90°.
在 Rt△ABC 与 Rt△QPA 中，
∵ PQ＝AB，AP＝BC，
∴ Rt△ABC ≌ Rt△QPA (HL). ∴ AP＝BC＝5 cm.
5. 如图，有一直角三角形 ABC，∠C＝90°，AC＝10 cm，BC＝5 cm，一条线段 PQ＝AB，P、Q 两点分别在 AC 上和过 A 点且垂直于 AC 的射线 AQ 上运动，问 P 点运动到 AC 上什么位置时 △ABC 才能和△APQ 全等？
(2) 当 P 运动到与 C 点重合时，AP＝AC.
在 Rt△ABC 与 Rt△QPA 中，
∵ PQ＝AB，AP＝AC，
∴ Rt△QAP≌Rt△BCA (HL)，
∴ AP＝AC＝10 cm.
∴ 当 AP＝5 cm 或 10 cm 时，△ABC 才能和△APQ 全等.
【方法总结】判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．

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