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4 线段的垂直平分线
第2课时 三角形三边的垂直平分线与作图
第一章 三角形的证明及其应用
1. 理解并掌握三角形三边的垂直平分线的性质，能够运用其解决实际问题。(重点)
2. 能够利用尺规作出三角形的垂直平分线。(难点)
某学校为了方便学生生活，计划在三个宿舍楼 A、B、C 之间修建一个食堂，试问该食堂 P 应建于何处，才能使得它到宿舍楼的距离相等？
B
C
A
P
在三个宿舍楼 A、B、C 之间修建一个食堂，试问该食堂应建于何处，才能使得它到宿舍楼的距离相等？
在△ABC 中，如何找到一点 P 使得它到三角形三个顶点距离相等？
数学建模
分析：
先探究某点到一边
证明该点特殊位置
解决实际问题
做一做： (1) 已知三角形的一条边及这条边上的高，你能画出满足条件的三角形吗
已知：三角形的一条边 a 和这边上的高 h.
求作：△ABC，使 BC = a，BC 边上的高为 h.
Al
D
C
B
A
a
h
(D)
C
B
A
a
h
Al
D
C
B
A
a
h
Al
提示：能作出无数个这样的三角形，它们并不全等.
探究点1：尺规作等腰三角形
(2) 已知等腰三角形的底及底边上的高，你能用尺规作出满足条件的等腰三角形吗？能作几个？
这样的等腰三角形只有 1 个
想一想：如何作出一个已知底及底边上的高的等腰三角形呢？
探究点1：尺规作等腰三角形
如图，已知线段 a，h，用尺规作△ABC，使 AB = AC，BC = a，高 AD = h.
l
D
C
B
a
h
A
作法：1. 作线段，使 BC = a；
2. 作线段 BC 的垂直平分线 l ，交 BC 于点 D；
3. 在 l 上作线段 DA，使 DA＝h .
4. 连接 AB，AC.
△ABC 为所要作的等腰三角形.
【作图】
探究点1：尺规作等腰三角形
【做一做】 还记得用尺规过直线 l 上一点 P 作 l 的垂线的方法吗？
这种方法将作直线的垂线问题转化为作线段的垂直平分线问题.
B
P
A
l
N
M
探究点2：经过已知直线外一点作这条直线的垂线
3. 作线段 AB 的垂直平分线 m.
2. 以点 P 为圆心，以 PQ 的长为半径作弧，交直线 l 于 A，B.
B
A
作法：
【做一做】 如果点 P 在直线 l 外呢？此时，还能运用这种转化的方法吗？
● P
C
D
l
m
1. 任取一点 Q，使点 Q 与点 P 在直线 l 两旁.
直线 m 就是所要作的直线.
Q
探究点2：经过已知直线外一点作这条直线的垂线
探究点2：经过已知直线外一点作这条直线的垂线
例1 过点 A 作三角形 BC 边上的高 AD（要求：尺规作图并保留痕迹，不写作法，标明字母）。
A
B
C
解：如图所示，线段 AD 即为所求.
A
B
C
D
【回顾导入】试问该食堂 P 应建于何处，才能使得它到宿舍楼的距离相等？
B
C
A
P
问题1：P 到 A 和 P 到 B 的距离相等，那点 P 所在的直线和 AB 有什么关系？
点 P 所在的直线是 AB 的垂直平分线.
探究点3：三角形三边的垂直平分线的性质的应用
问题2：P 到 A 和 P 到 C 的距离相等，那点 P 所在的直线和 AB 有什么关系？
点 P 所在的直线是 AC 的垂直平分线.
P 在 BC 的垂直平分线上，P 是 AB，AC，BC三条线段的垂直平分线的交点.
探究点3：三角形三边的垂直平分线的性质的应用
操作：根据问题1 和问题2 画出相应的垂直平分线，并思考 P 在 BC 的垂直平分线上吗？
B
C
A
P
例2 已知：如图，在△ABC 中，边 AB 的垂直平分线 PD 与边 BC 的垂直平分线 PE 相交于点 P。
求证：边 AC 的垂直平分线经过点 P。
B
C
A
P
D
E
分析：要证明点 P 在边 AC 的垂直平分线上，需要什么条件？
已知的两条垂直平分线相交于点 P，由此你能得到哪些相关的结论？
探究点3：三角形三边的垂直平分线的性质的应用
试试看，你会写出证明过程吗？
PD是 AB 的垂直平分线
PE 是 BC 的垂直平分线
PA=PB
PB=PC
PA=PC
点 P 在 AC 的垂直平分线上
B
C
A
P
D
E
探究点3：三角形三边的垂直平分线的性质的应用
证明：如图，连接 PA，PB，PC。
∴点 P 在 BC 的垂直平分线上 (到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上)，
∴ PA = PB = PC。
∴PA = PB，( 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 )。
同理，PB = PC。
∵点 P 在 AB 的垂直平分线上，
B
C
A
P
D
E
即边 AC 的垂直平分线经过点 P。
探究点3：三角形三边的垂直平分线的性质的应用
应用格式：
∵ 点 P 为 △ABC 三边垂直平分线的交点，
∴ PA = PB = PC．
A
B
C
P
【归纳总结】
定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.
探究点3：三角形三边的垂直平分线的性质的应用
【画一画】1.分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三边的垂直平分线，说明交点分别在什么位置.
锐角三角形三边的垂直平分线交点在三角形内；
直角三角形三边的垂直平分线交点在斜边中点处；
钝角三角形三边的垂直平分线交点在三角形外.
探究点3：三角形三边的垂直平分线的性质的应用
1. 定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.
A
B
C
P
l1
l2
l3
2. 已知等腰三角形的底边和底边上的高作等腰三角形.
1.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，AC于D，E两点，且AC＝10，BE＝6，则CE的长
为(　　　)
A.2 B.4 C.6 D.8
C
2. 某等腰三角形的顶角为100°，其中两边的垂直
平分线交于点P，则点P在(　C　)
A. 三角形底边上 B. 三角形内
C. 三角形外 D. 无法确定
C
3. 在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线相交于点P，则PA，PB，PC的大小关系
是 .
PA＝PB＝PC
解：如图所示，点P即为所求.
解：如图所示，点P即为所求.
4. 在△ABC中，∠C＝90°，用直尺和圆规在AC
上作点P，使P到A，B的距离相等.(保留作图痕
迹，不写作法和证明)

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