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(共24张PPT)
☆ 问题解决策略：反思
第一章 三角形的证明及其应用
1. 经历借助“特殊化”策略解决问题的过程，了解“特殊化”策略的意义、运用情境和一般步骤，体会“特殊化”策略在分析问题、解决问题中的价值，发展推理能力。(重点)
2. 积累利用“特殊化”策略解决不同知识领域问题的经验，提高分析问题、解决问题的能力。 (难点)
问题：等腰三角形有哪些基本性质？全等三角形判定定理有哪些？
等腰三角形两腰相等、两底角相等、底边上的高，中线，角平分线三线合一；
全等三角形的判定定理有SSS、SAS、ASA、AAS、HL.
证明：等腰三角形两腰上的中线相等。
已知：如图，在△ABC 中，AB＝AC，BD 和 CE 分别是边 AC，AB 上的中线。
求证：BD＝CE。
问题
理解问题
已知条件是什么？目标是什么？将条件标注到图形中，你发现了哪些相等关系
AE＝ AB
AD＝ AC
新知探究
拟订计划
(1) 证明两条线段相等有哪些常用的方法？
证明两条线段所在的三角形全等、
利用等腰三角形的性质(等角对等边)、利用线段的垂直平分线性质等。
新知探究
(2) 以 BD 为边的三角形有哪些？以 CE 为边的三角形呢？其中哪些三角形有可能全等？
以 BD 为边的三角形：△ABD、△BDC。
以 CE 为边的三角形：△ACE、△BCE。
△ABD 与△ACE 有可能全等。
△BDC 与△BCE 有可能全等。
新知探究
(3) 找出两个有可能全等的三角形，要证明这两个三角形全等，已知哪些边或角相等？还需要证明哪些边或角相等？
△ABD 与△ACE 有可能全等。
已知相等的边或角：
AB＝AC (已知)，∠A＝∠A (公共角)，
AD＝AE (由 AB＝AC 及中线定义可得)
不需要再证明其他边或角相等，可根据“SAS”(边角边) 判定三角形全等。
新知探究
(4) 整理你的思路，并与同伴进行交流。
思路：先根据中线定义和 AB＝AC得出 AD＝AE，
再利用“SAS”证明
△ABD≌△ACE，最后由全等三角形对应边相等得出 BD＝CE。
新知探究
按照下述思路写出证明过程，并说明每一步的理由。
实施计划
(1) 通过△ABD≌△ACE，证明 BD＝CE。
解：∵ BD 是 AC 边上的中线，
∴ AE＝ AB；
∴ AD＝ AC；
∵ CE 是 AB 边上的中线，
又∵ AB＝AC，∴ AD＝AE。
又∵ ∠A＝∠A (公共角)，
∴△ABD≌△ACE (SAS)。
∴BD＝CE。
新知探究
(2) 通过△CBD≌△BCE，证明 BD＝CE。
解：∵ BD 是 AC 边上的中线，
∴ BE＝ AB；
∴ CD＝ AC；
∵ CE 是 AB 边上的中线，
又∵ AB＝AC，
∴ ∠ABC＝∠ACB，BE＝CD。
又∵BC＝BC(公共角)，
∴△CBD≌△BCE (SAS)。
∴BD＝CE。
新知探究
回顾反思
(1) 比较两种证明方法，你更喜欢哪种方法？说说你的理由。
答案不唯一，比如更喜欢第一种方法。
理由：第一种方法直接利用等腰三角形的边相等以及公共角，结合中线定义得到全等条件，步骤相对更简洁直接，从三角形的“上半部分”直接证明全等，思路更清晰。
新知探究
(2) 根据题目的条件，你还能得到哪些结论？与同伴进行交流。
还能得到∠ABD＝∠ACE，
∠ADB＝∠AEC 等结论 (由△ABD≌△ACE，
全等三角形对应角相等)；
也能得到∠CBD＝∠BCE (由△CBD≌△BCE，
全等三角形对应角相等)。
新知探究
(3) 适当改变题目的条件，你还能得到哪些结论？
已知：如图，在△ABC 中，AB＝AC，BD 和 CE 分别是边 AC，AB 上的高。
求证：CE＝BD。
证明如下：∵△ABC 是等腰三角形，
∴∠ABC =∠ACB .
∵ CE⊥AB ，BD⊥AC ，
∴ ∠BEC = ∠CDB = 90°. ∵ BC=CB ，
∴△BEC≌△CDB (AAS).
∴CE = BD.
新知探究
(4) 本题证明了等腰三角形两腰上的中线相等。反过来，如果一个三角形两边上的中线相等，那么这个三角形是等腰三角形吗？你能证明自己结论的正确性吗
已知：如图在△ABC 中，BD、CE 分别是边 AC 和 AB 上的中线，CE＝BD，
求证：△ABC 是等腰三角形。
新知探究
∵ CE 是边 AB 上的中线，
∴ AE = BE.
∵ DE = FE，∠AED = ∠BEF，AE = BE，
∴△AED≌△BEF (SAS).
∴∠A = ∠FBE，AD = BF.
∵ BD 是边 AC 上的中线，
∴AD = DC = BF.
∵∠BDC =∠A +∠ABD，∠DBF =∠FBE +∠ABD.
∴∠BDC =∠DBF.
证明：连接 DE 延长至 F，使 DE = FE，连接BF .
F
新知探究
∵ DC = BF，∠BDC =∠DBF，BD = DB，
∴△BDC≌△DBF (SAS).
∴∠CBD =∠FDB. ∴FD∥BC.
延长 BC 至点 G，使 CG = DE，
∵FD∥BG，∴∠EDC =∠GCD.
∴△EDC≌△GCD(SAS).
∴ EC = GD=BD，∠ECD =∠GDC.
∴ EC∥DG.∴∠ECB =∠G =∠DBC.
∵ EC = DB，BC = CB，∴△EBC≌△DCB (SAS).
∴∠EBC =∠DCB. ∴△ABC 是等腰三角形.
F
G
新知探究
相等. 理由：设 BD，CE 相交与点 O.
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.
∵ BD、CE 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线,
∴∠EBO＝∠CBO＝∠OCB＝∠OCD.
∴OB＝OC.
∵∠EOD＝∠DOC， ∴△EOB≌△DOC.
∴EO＝DO. ∵EO＋OC＝DO＋OB，
∴CE＝BD.
拓展：如果把原题中的 BD、CE 分别是边 AC 和 AB 上的中线换成 BD、CE 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，CE 和 BD 还相等吗？
新知探究
例1 证明命题“全等三角形对应边上的中线相等”.
已知：如图，△ABC≌△A'B'C'，AD 和 A'D' 分别是边 BC，B'C' 上的中线. 求证：AD = A'D'.
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
证明：∵△ABC≌△A'B'C'，
∴AB = A'B'，∠B =∠B'，BC = B'C'.
∵AD，A'D′ 是 BC 和 B'C'上的中线，
∴BD = BC，B'D' = B'C'.
在△ABD 与△A'B'D' 中，
∴BD = B'D'.
∴△ABD≌△△A'B'D'.
∴AD = A'D'.
AB = A'B'，
∠B =∠B'，
BD = B'D'，
新知探究
例2 将 0 ~ 9 这 10 个数字填写到图中 10 个圆圈内，使得相邻两数差的绝对值的和最大.
解：如图所示(答案不唯一).
0
8
2
6
4
5
3
7
1
9
新知探究
问题解决策略：反思
结论逆向反思
拓展反思
方法反思
反推“两边中线相等一三角形等腰”，深化性质与判定关联
比较两种全等证法，积累思路
延伸至高、角平分线及等边三角形，构建知识网
课堂小结
1. 如图，△ABC 是等边三角形，BD⊥AC，点 E 在 BC的延长线上，且∠EDC＝30°.
求证：△BDE 是等腰三角形。
解：∵△ABC 是等边三角形，BD⊥AC，
∴根据等边三角形的性质，∠ABC =∠BCA = 60°，
∠DBC = ∠ABC = 30°.
∵∠EDC = 30°，
∴∠E = ∠ACB－∠EDC = 60°－30° = 30°.
∴∠DBC = ∠E = 30°.
∴BD = DE. ∴△BDE 是等腰三角形.
当堂反馈
2. 如图，在△ABC 中，AB = AC，D 是 BC 边的中点，DE⊥AB，DF⊥AC ，垂足分别为 E 、F.
求证：DE = DF .
证明： ∵ DE⊥AB ，DF⊥AC ，
∴ ∠DEB = ∠DFC = 90°.
又 ∵ AB = AC ，
∴ △ABC 是等腰三角形，∴∠B =∠C .
∵ D 是 BC 边的中点，
∴ DB = DC. ∴△EBD≌△FCD (AAS) ，
∴ DE = DF.
当堂反馈
变式1：在上图中，若点 D ，E ，F 分别是 BC ，AB ，AC 边的中点．DE 与 DF 依然相等吗？
证明： ∵ E 、F 分别为 AB ，AC 的中点 ，
∴AE = AB AF= AC.
又 ∵ AB = AC ，∴ AE = AF .
∵ D 是 BC 边的中点，而△ABC为等腰三角形
∴ AD 为∠BAC 的角平分线.
∴△AED≌△AFD (SAS) ，
∴ DE = DF .
当堂反馈
变式2：在上图中，如果 DE ，DF 分别是 ∠ADB，∠ADC 的平分线 ，DE 与 DF 还有相等的数量关系吗？
证明： ∵ AB = AC ，D 为 BC 的中点 .
∴ AD⊥BC ，AD 平分∠BAC.
而 DE ，DF 分别是 ∠ADB，∠ADC 的平分线.
∴ ∠ ADE = ∠ADF ，∠DAE = ∠DAF .
在 △ AED 和△ AFD 中，
∴△AED ≌ △AFD (ASA) ，∴ DE = DF .
当堂反馈

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