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2 等腰三角形
第3课时 等腰三角形的判定及含30°
角的直角三角形的判定
第一章 三角形的证明及其应用
1. 学习并掌握等边三角形的判定方法，能够运用等边三角形的性质和判定解决问题.(重点)
2. 理解并掌握含 30° 角直角三角形的性质，能灵活运用其解决有关问题.(难点)
3.通过探究含 30° 角的直角三角形的性质的过程，加深对特殊直角三角形的认识，培养分析问题、解决问题的能力.
如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路 (BC 为小路端点) 和一棵小树 (A 为小树位置). 测得的相关数据为：∠ABC = 60°，∠ACB = 60°，BC = 48 m，则 AC 长多少 m？
探究：一个三角形满足什么条件时是等边三角形
一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形
请证明自己的结论，并与同伴交流.
分析：
三角相等
两角相等(等腰三角形的判定)
三角形
三边相等(等边三角形的定义)
边
角
一角 60°
探究点1：等边三角形的判定
A
B
C
已知：如图，∠A =∠B =∠C.
求证：△ABC 是等边三角形．
证明：∵∠A =∠ B，
【证一证】
∴ AB = AC = BC.
∴ AB = AC.
∵∠B =∠C，
∴ AC = BC.
定理：三个角都相等的三角形是等边三角形.
∴ △ABC 是等边三角形.
探究点1：等边三角形的判定
A
B
C
已知：若 AB＝AC，∠A＝60°.
求证：△ABC 是等边三角形．
证明：∵ AB = AC，∠A = 60°，
证明完整吗？是不是还有另一种情形呢？
∴ AB = AC = BC.
∴∠A =∠B =∠C.
∴∠B =∠C = (180°－∠A) = 60°.
∴ △ABC 是等边三角形.
定理：有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形.
探究点1：等边三角形的判定
证明：∵ AB = AC，∠B = 60° (已知)，
∴∠C =∠B = 60° (等边对等角).
∴∠A = 60° (三角形内角和定理).
∴∠A =∠B =∠C = 60°.
∴△ABC 是等边三角形 (三个角都相等的三角形是等
边三角形).
已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，∠B = 60°．
求证：△ABC 是等边三角形.
第二种情况：有一个底角是 60°.
A
C
B
60°
【验证】
探究点1：等边三角形的判定
等腰三角形(含等边三角形) 性质 判定
等边对等角
等角对等边
“三线合一”，即等腰三角形顶角平分线，底边上的中线、高线互相重合
有一角是 60° 的等腰三角形是等边三角形
等边三角形三个内角都相等，且每个角都是 60°
三个角都相等的三角形是等边三角形
【归纳总结】
探究点1：等边三角形的判定
例1 如图，在等边三角形 ABC 中，DE∥BC，
求证：△ADE 是等边三角形.
A
C
B
D
E
证明：∵△ABC 是等边三角形，
∴∠A =∠B =∠C.
∵ DE∥BC，
∴∠ADE =∠B，∠AED =∠C.
∴∠A =∠ADE =∠AED.
∴△ADE 是等边三角形.
想一想：本题还有其他证法吗？
探究点1：等边三角形的判定
变式：上题中，若将条件 DE∥BC 改为 AD＝AE， △ADE 还是等边三角形吗 试说明理由.
A
C
B
D
E
已知：如图，在等边三角形 ABC 中，AD＝AE.
求证：△ADE 是等边三角形.
证明：
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.
∵ AD＝AE，
∴△ADE 是等腰三角形.
∴△ADE 是等边三角形.
又∵∠A＝60°.
探究点1：等边三角形的判定
【回顾导入】
如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路 (BC 为小路端点)和一棵小树(A 为小树位置). 测得的相关数据为：∠ABC = 60°，∠ACB = 60°，BC = 48 m，
则 AC 长多少米？
AC = 48 m.
探究点1：等边三角形的判定
操作：用两个含有 30° 角的三角板，你能拼成一个怎样的三角形？
30°
30°
30°
30°
想一想：在直角三角形中，30° 角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？
30°
30°
猜想：在直角三角形中，30° 角所对的直角边等于斜边的一半.
探究点2：含30°的直角三角形的性质
求证： BC = AB.
A
30°
B
C
分析：突破如何证明“线段的倍、分”问题
转 化
“线段相等”问题
30°
30°
【猜想验证】已知：如图，△ABC 是直角三角形，∠C = 90°，∠A = 30°.
探究点2：含30°的直角三角形的性质
∵∠ACB＝90°，
30°
A
B
C
D
证明：延长 BC 至点 D，使 CD＝BC，连接 AD.
∴ AB＝AD (全等三角形的对应边相等).
∴△ABC≌△ADC (SAS).
∵ AC＝AC，
∴∠ACD＝90°.
在△ABC 中，∠BAC＋∠B＋∠ACB＝180°
(三角形内角和定理).
探究点2：含30°的直角三角形的性质
30°
A
B
C
D
∴ △ABD 是等边三角形
( 有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形).
∴ BC＝ BD ＝ AB.
∵∠BAC＝30°，∠ACB＝90°.
∴∠B＝180°－30°－90°＝60°.
探究点2：含30°的直角三角形的性质
几何语言：在△ABC 中，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°．
∴ BC ＝ AB．(在直角三角形中， 30° 角所对的直
角边等于斜边的一半)
A
B
C
30°
拓展推论：BC∶AC∶AB ＝
【定义总结】
定理：在直角三角形中，如果有一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
探究点2：含30°的直角三角形的性质
例2 求证：如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰长的一半.
已知：如图，在△ABC 中，AB ＝ AC ，∠B ＝15°， CD 是腰 AB 上的高，
求证：CD ＝ AB.
C
B
A
D
证明：在△ABC 中，
∵AB＝AC，∠B＝15°，
∴∠ACB＝∠B＝15°(等边对等角).
探究点2：含30°的直角三角形的性质
C
B
A
D
∴ CD＝ AC (在直角三角形中，如果有一个锐角等
于 30°， 那么它所对的直角边等于斜边的一半).
∵ CD 是腰 AB 上的高，
∴∠ADC＝90°.
∴ CD＝ AB.
∴∠DAC＝∠B + ∠ACB ＝15° + 15°＝30°
(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).
探究点2：含30°的直角三角形的性质
【练一练】 2.如图，在 △ABC 中，∠ACB = 90°，CD 是高，∠A = 30°，AB = 4．则 BD 的长为 .
A
B
C
D
1
1. 等边三角形的判定：
三个角都相等的三角形是等边三角形．
有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形．
2. 含 30° 角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，如果有一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
3. 数学思想：分类讨论思想，数形结合思想，转化思想.
1. 在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，AB＝6，则
AC的长为(　B　)
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
B
2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，
BC＝2，则AB的长为(　A　)
草图通关
AB＝ BC.
A
2　
A. 4 　　B.
3. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，∠BAC＝120°，则底边上的中线AD＝ .
6　
4. 下列三角形：①有两个内角是60°的三角形；
②有两边相等且是轴对称的三角形；③有一个角是60°且是轴对称的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中是等边三角形的有 .
①③④　
5. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD平分∠ABC. 若AD＝6，求CD的长.
书写通关
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝ °.
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠ ＝30°.
∴∠ABD＝∠A. ∴AD＝ ＝6.
又∵∠DBC＝30°.
∴CD＝ BD＝ .
60　
DBC　
BD　
　
3　
6. 如图，△ABC是等边三角形，D为AC上任一点，∠ABD＝∠ACE，BD＝CE. 求证：△ADE是等边三角形.
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°.
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE(SAS).
∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°.
∴△ADE是等边三角形.

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