资源简介

(共21张PPT)
5 角平分线
第1课时 角平分线的性质与判定
第一章 三角形的证明及其应用
1. 复分线的相关知识，探究归纳角平分线的性质和判定定理。(重点)
2. 能够运用角平分线的性质和判定定理解决问题。
(难点)
3. 通过探索角平分线的判定定理的过程，提高综合运用数学知识和方法解决问题的能力。
如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点 M，N 表示大学，OA，OB 表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库 P 应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
O
N
M
A
B
思考：在∠AOB 的角平分线上任意取一点 C，分别折出过点 C 且与∠AOB 的两边垂直的直线，垂足分别为D， E，将∠AOB 再次对折，线段 CD 与 CE 能重合吗
改变点 C 的位置，线段 CD 和 CE 还相等吗
结论：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
探究点1：角平分线的性质
对此你能得出什么结论？动手证一证.
C
A
O
B
C
D
E
【证一证】已知：如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E。
求证：PD = PE。
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E，
∴∠PDO =∠PEO = 90°。
∴△PDO≌△PEO (AAS).
∴ PD = PE(全等三角形的对应边相等).
B
A
D
O
P
E
C
1
2
∵OC 是∠AOB 的平分线，
∴∠1 =∠2.
∵OP = OP，
定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
应用所具备的条件：
(1) 角的平分线；
(2) 点在该平分线上；
(3) 垂直距离.
定理的作用：
证明线段相等.
B
A
D
O
P
E
C
应用格式：
∵ OP 是∠AOB 的平分线，
∴ PD = PE。
PD⊥OA，PE⊥OB，
【知识要点】
例1 如图，AD 为∠BAC 的平分线，DF⊥AC 于点 F，
∠B＝90°，DE＝DC，试说明：BE＝FC。
解：∵∠B＝90°，
∴ BD⊥AB.
∵ AD 为∠BAC 的平分线，且 DF⊥AC，
∴ DB＝DF.
在 Rt△BDE 和 Rt△FDC 中，
∴ Rt△BDE≌Rt△FDC ( HL )。∴ BE＝FC。
DE＝DC，
DB＝DF，
【练一练】 如图，AM 是∠BAC 的平分线，点 P 在 AM 上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是 D、E，PD = 4 cm，则 PE = ______cm.
B
A
C
P
M
D
E
4
温馨提示：存在两条垂线段——直接应用
定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
它是真命题吗？你能证明吗？
在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
逆命题
P
A
O
B
C
D
E
探究点2：角平分线的判定
【证一证】已知：如图，点 P 为∠AOB 内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D、E，且 PD = PE.
求证：点 P 在∠AOB 的平分线上.
∴ OP 平分∠AOB.
∵PD = PE ，OP = OP ，
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E，
∴∠ODP =∠OEP = 90°.
∴ Rt△DOP≌Rt△EOP (HL).
∴∠1 =∠2 (全等三角形的对应角相等).
B
A
D
O
P
E
C
1
2
定理：在一个角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上.
P
A
O
B
C
D
E
应用所具备的条件：
(1) 位置关系：点在角的内部；
(2) 数量关系：该点到角两边的距离相等.
定理的作用：判断点是否在角平分线上.
应用格式：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE，
∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上.
【知识要点】
例2 如图，在△ABC中，∠BAC = 60°，点 D 在 BC 上，AD = 10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且DE = DF，求 DE 的长.
A
B
C
D
E
F
解：∵ DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且 DE = DF，
∴ AD 平分∠BAC (在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上).
又∵∠BAC= 60°，∴∠BAD = 30°.
在 Rt△ADE 中，∠AED = 90°，AD = 10，
A
B
C
D
E
F
∴ DE = AD = ×10 = 5 (在直角三
角形中，如果一个锐角等于30°，那
么它所对的直角边等于斜边的一半) .
例3 如图，已知∠CBD 和∠BCE 的平分线相交于点 F.
求证：点 F 在∠DAE 的平分线上．
证明：
过点 F 作 FG⊥AE 于 G，FH⊥AD 于 H，FM⊥BC 于 M.
∵ 点 F 在∠BCE 的平分线上，
FG⊥AE，FM⊥BC，
∴ FG＝FM.
又∵点 F 在∠CBD 的平分线上， 　　　　FH⊥AD，FM⊥BC，
∴ FM＝FH.
∴ FG＝FH.
∴ 点 F 在∠DAE 的平分线上.　　　
G
H
M
A
B
C
F
E
D
┑
┑
┑
O
N
M
A
B
方法总结：到角两边距离相等的点在角的平分线上，到两点距离相等的点在两点连线的垂直平分线上.
解：如图所示.
P.
【回顾导入】
图形
已知 条件
结论
P
C
P
C
OP 平分∠AOB
PD⊥OA 于 D
PE⊥OB 于 E
PD = PE
OP 平分∠AOB
PD = PE
PD⊥OA 于 D
PE⊥OB 于 E
角的平分线的判定
角的平分线的性质
角平分线
性质定理
一个点：角平分线上的点；
二距离：点到角两边的距离；
两相等：两条垂线段相等
辅助线
添加
过角平分线上一点向两边作垂线段
判定定理
角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上
1. 如图，OC平分∠AOB，P是OC上一点，
PD⊥OA于点D. 若PD＝6，则点P到OB的距离
为 .
6　
2. 如图，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，
PM＝PN. 若∠BOC＝30°，则∠AOB的度数
是 .
第2题图　　　
60°　
3. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的
平分线BD交AC于点D，DC＝2AD，点D到BC
的距离为5，则AC＝ .
第3题图
15　
4. 如图，P为∠MON平分线上一点，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，求证：OP垂直平分AB.
证明：∵P为∠MON平分线上一点，
PA⊥OM，PB⊥ON，
∴PA＝PB，∠PAO＝∠PBO＝90°.
在Rt△PAO和Rt△PBO中，
∴Rt△PAO≌Rt△PBO(HL).
∴OA＝OB.
∵OP平分∠AOB，
∴OP垂直平分AB.

展开更多......

收起↑