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5 角平分线
第2课时 三角形三条内角的平分线
第一章 三角形的证明及其应用
1. 在角平分线的基础上归纳出三角形三条内角的平分线的相关性质。(重点)
2. 能够运用三角形三条内角的平分线的性质解决实际问题。 (难点)
在一个三角形居住区内修有一个学校 P，P 到 AB、BC、CA 三边的距离都相等，请在三角形居住区内标出学校 P 的位置，P 在何处？
A
B
C
问题：角平分线的性质和判定是什么？
性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
判定：在一个角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上.
例1 如图，在△ABC 中，已知 AC = BC，∠C = 90°， AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E.
(1) 如果 CD = 4 cm，求 AC 的长；
E
D
A
B
C
解：∵ AD 是△ABC 的角平分线，
DC⊥AC，DE⊥AB，
∴ DE = CD = 4 cm ( 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 )。
∵ AC = BC，
∴∠B =∠BAC ( 等边对等角 ).
∵∠C = 90°，
探究点：三角形的角平分线
∴∠B = ×90° = 45°.
(2) 求证：AB＝AC＋CD.
证明：由 (1) 的求解过程易知，
Rt△ACD≌Rt△AED (HL).
∴ AC＝AE.
∵ BE＝DE＝CD，
∴ AB＝AE＋BE＝AC＋CD.
E
D
A
B
C
在等腰 Rt△BDE 中，
∴ BE = DE ( 等角对等边 )。
探究点：三角形的角平分线
【练一练】 1. 如图，已知 BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为 E，F，BE，CF 相交于点 D. 若 BD = CD，求证：AD 是∠BAC 的平分线.
证明：∵ BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠BFD =∠CED = 90°.
在 △BDF 和 △CDE 中，
∠BFD = ∠CED，
∠BDF = ∠CDE，
BD = CD，
∴△BDF≌△CDE (AAS).
∴ DF = DE.
又 DF⊥AB，DE⊥AC，
∴AD 是∠BAC 的平分线.
探究点：三角形的角平分线
活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？
结论：三角形的三条角平分线相交于一点.
探究点：三角形的角平分线
活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量每组垂线段，你发现了什么？
结论：过交点作三角形三边的垂线段相等.
你能证明以上两个结论吗？
探究点：三角形的角平分线
点拨：要证明三角形的三条角平分线相交于一点，只要证明其中两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上即可.思路可表示如下：
试试看，你会写出证明过程吗？
A
B
C
P
F
H
D
E
I
G
AP 是∠BAC 的平分线
BP 是∠ABC 的平分线
PI = PH
PG = PI
PH = PG
点 P 在∠BCA的平分线上
探究点：三角形的角平分线
例3 已知：如图，在△ABC 中，角平分线 BM 与角平分线 CN 相交于点 P.
求证：∠A 的平分线经过点 P.
D
E
F
A
B
C
P
N
M
探究点：三角形的角平分线
∴点 P 在∠A 的平分线上(在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)，
同理 PE = PF.
∴ PD = PE = PF.
即∠A 的平分线经过点 P.
D
E
F
A
B
C
P
N
M
证明：如图，过点 P 分别作 PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足为 D，E，F.
∵BM 是 △ABC 的角平分线，
∴ PD = PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).
探究点：三角形的角平分线
结论：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。
【归纳总结】
探究点：三角形的角平分线
【练一练】 2. 如图，在直角△ABC 中，AC = BC，∠C = 90°，AP 平分∠BAC，BD 平分∠ABC；AP，BD 交于点 O，过点 O 作 OM⊥AC，若 OM＝4，
(1) 点 O 到△ABC 三边的距离和
为 .
M
A
B
C
P
O
D
温馨提示：不存在垂线段——构造应用
12
E
N
探究点：三角形的角平分线
解：如图，过点 O 作 OE⊥AB 于点 E，ON⊥BC 于点 N，连接 OC.
(2) 若 △ABC 的周长为 32，求 △ABC 的面积.
M
E
N
A
B
C
P
O
D
探究点：三角形的角平分线
3. 如图，在△ABC 中，点 O 是△ABC 内一点，且点 O 到△ABC 三边的距离相等．
若∠A＝40°，则∠BOC 的度数为 (　　)
A．110° B．120°
C．130° D．140°
A
解析：O 到△ABC 三边的距离相等，所以 O 是内心，即三条角平分线的交点，故 BO，CO 都是内角平分线，
则∠CBO＝∠ABO＝ ∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝ ∠ACB，
∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°，
∠CBO＋∠BCO＝70°，∠BOC＝180° － 70°＝110°.
探究点：三角形的角平分线
三角形内角
平分线的性质
性质：三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等
应用：位置的选择问题
1. 如图，BO与CO分别是△ABC中∠ABC与
∠ACB的平分线.若∠BAC＝52°，
则∠BAO＝(　B　)
A. 25° B. 26°
C. 30° D. 32°
第1题图　　
B
2. 如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB平分线的
交点P恰好在BC边的高AD上，则△ABC一定
是(　C　)
A. 直角三角形
B. 等边三角形
C. 等腰三角形
D. 等腰直角三角形
C
第2题图
3. 如图，△ABC的三条角平分线交于点O，且三
边AB，BC，CA的比为4∶6∶7，S△ABO＝8，则
S△CAO＝ .
14　
4. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝7，
BC＝24，AC＝25.点P是△ABC三个内角平分线
的交点，PD⊥BC于点D，求线段PD的长.
解：如图，过点P作PE⊥AB于E，作PF⊥AC于F.
∵点P是△ABC三个内角平分线的交点，且PD⊥BC，
∴PE＝PF＝PD.
设PD＝x，
则S△ABC＝ BC PD＋ AB PE＋AC PF＝ AB BC，
即×24x＋×7x＋×25x＝×7×24，解得x＝3，
∴PD＝3.

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