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临汾一中 2025—2026 学年第二学期高一年级寒假开学考试 数学试题
全卷满分 150 分, 考试时间 120 分钟
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 ()
A. B. C. D.
2. 命题“ ”的否定是( )
A. B.
C. D.
3. 若 ，则 的值为( )
A. B. C. D.
4. 若正实数 满足 ,则 的最小值为( )
A. 6 B. 8 C. 14 D. 18
5. 设函数 的定义域为 ,对 恒成立,则 不可能是( )
A. B. C. D.
6. 设 满足 满足 ,则 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7. 设 ,则 ( )
A. B. C. D.
8. 已知函数 满足当 时, ,且当 时, ; 当 时, . 若函数 的图象上关于原点对称的点恰好有 3 对, 则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知关于 的不等式 的解集为 ,则下列选项中正确的是 ( )
A.
B. 不等式 的解集是
C.
D. 不等式 的解集为
10. 已知函数 ,且相邻对称轴之间的距离为 . 现将函数 的图象向右平移 个单位长度,再把所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 (纵坐标不变),得到函数 的图象,则下列说法正确的是 ( )
A. 函数 相邻的对称轴之间的距离为 B. 函数 是奇函数
C. 函数 在区间 上单调递增 D.
11. 已知函数 则下列结论正确的是( )
A. 若方程 有 3 个不同的实根,则 的值为 3
B. 若方程 有 4 个不同的实根,则 的取值范围为
C. 若方程 有 4 个不同的实根 ,则
D. 若方程 有 4 个不同的实根 ,则 的取值范围是
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 在 中，边 分别为角 的对边，满足 ， 的面积为 ，则 的周长为_____.
13. 若函数 的值域为 ，试确定 的取值范围_____.
14. 已知函数 的最大值是 的图象与 轴的交点坐标为 ,其相邻两个对称中心的距离为 2,则
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程 及演算步骤.
15. 已知 .
(1)解不等式 ；
(2)设 ,求 的值域.
16. 记 的内角 的对边分别为 ，已知 .
(1)求角 ；
(2)若 ，求 面积的最大值.
17. 已知指数函数 满足 ; 定义域为 的函数 是奇函数.
(1)确定 的解析式；
( 2 )若对任意 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
18. 已知函数 的部分图象如图所示.
(1)求函数 的解析式；
(2)求关于 的方程 在 上所有的实数根之和；
(3)当 时，关于 的方程 恰有 3 个不同实根，求实数 的取值范围.
19. 我们知道,函数 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是 为奇函数,推广可得函数 的图象关于点 成中心对称图形的充要条件是 为奇函数. 已知函数
(1) 当 时,直接写出 图象的对称中心;
(2)证明函数 的图象是中心对称图形,并求出对称中心的坐标；
(3)已知函数 ,当 时,若 ,使得 , 求实数 的取值范围.
1. B
由题意可得 .
2. A
由题意可知: 命题“ ”的否定是“ ”.
故选: A.
3. D
故选: D.
4. D
由题知, .
因为 ,所以 ,
所以 ,
当且仅当 ,即 时取等号.
故选: D
5. D
对 : 令 ,则 ,
由 ,当且仅当 时,等号成立,
且 在 上单调递减,
故 ,
故 有可能为 ,故 A 错误;
对 : 令 ,则 ,
由 ,当且仅当 时,等号成立,
故 ,故 有可能为 ,故 错误;
对 : 令 ,则 ,
则 ,
故 ,故 有可能为 ,故 C 错误;
对 : 取 ,则 , 有 ,故存在 ,使得 , 故 不可能为 ,故 正确.
6. B
可化为 ,
则 满足 ,又 满足 ,
故 都是方程 的根,
又函数 在 上单调递增,
故 ,即 .
7. C
如下图, 在单位圆中取圆心角为 0.6 个弧度的扇形,
则该扇形面积 ,
面积 ,
则 ,即 ,即 ,故 ;
由 ,则 ,
由 ,则 ,
故 ,故 ;
综上可得: .
8. C
先作出函数 在 上的部分图象,再作出 关于原点对称的图象, 如图所示,当 时,对称后的图象不可能与 在 的图象有 3 个交点; 当 时,要使函数 关于原点对称后的图象与所作的图象有 3 个交点,
则 解得 .
故选: C.
9. BD
对于 ,因为关于 的不等式 的解集为 ,
所以 -2 和 3 是关于 的方程 的两根,且 ,故 错误;
对于 ,由已知得 -2 和 3 是关于 的方程 的两根,
由韦达定理得 ,解得 ,
对于不等式 ,即化为 ,解得 ,故 正确;
对于 ,可得 ,故 错误;
对于 ,对于不等式 ,可化为 ,
而 ,则化为 ,解得 ,故 正确.
故选: BD
10. ACD
由函数 相邻对称轴之间的距离为 ,
则 ,故 ,即 ,
现将函数 的图象向右平移 个单位长度,
可得 的图象,
再把所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,则 ;
对 A: 函数 相邻的对称轴距离为 ,故 A 正确;
对 B: ,
故函数 是偶函数,故 错误;
对 : 当 时, ,故 单调递增,故 正确;
对 D: ,故 D 正确.
11. BCD
由题得 的大致图象如图所示.
对于 ,若方程 有 3 个不同的实根,则 的值为 3 或 0,故 错误;
对于 ,若方程 有 4 个不同的实根,则 的取值范围为 ,故 正确;
对于 ,若方程 有 4 个不同的实根 ,
则 ,且 ,所以 ,得 ,
则 ,当且仅当 时,等号成立,故 正确;
对于 ,若方程 有 4 个不同的实根, ,则 , ,
因为 ,所以 在 上单调递减,故 ,
所以 ,即 的取值范围为 ,故 正确.
故选: BCD.
12.
,则 ,
化简得 ,解得 (负值舍去),
则 的周长为 .
13.
令 ,则 ,
函数 的值域为 ,
,
解得 或 ,
即 或 ,
解得 或 .
故答案为:
14. 4033
函数 的最大值是 3,
故 ,得 ,则 ,
由于函数 的图象与 轴的交点坐标为 ,
故 ,即 ,
又 ,所以 ,即 ,
函数图象其相邻两个对称中心的距离为 2,
故 ,即 ,
所以 ,
周期 ,又 ,
得: ,
由于 ,
所以 ,
.
15. .
(1) 由题意,函数 ,
因为 ,可得 ,
可得 或 ,解得 或 ,即 ,
所以不等式 的解集为 .
( 2 )当 ，且 时， ，
当 时,可得 ,当且仅当 时等号成立,
所以 ,可得 ,即 ;
当 时, ,所以 ,
当且仅当 时等号成立,所以 ,即 ,
所以 的值域为 .
16.
(2)
1)由正弦定理,得 ,
又 ,所以 ,
即 .
又 ,所以 .
(2)由余弦定理,得 ,
所以 .
由基本不等式知 ,
于是 .
当且仅当 时等号成立.
所以 的面积 ,
当且仅当 时,面积 取得最大值 .
17. (1) ; (2)
(1) 由于 是指数函数,设 ,由 得 ,解得 ,故 . 所以 . 由于 是定义在 上的奇函数,故 ,所以 . 由于 ,所以 ,即 恒成立,则 ,所以 .
(2)由(1)得 ，所以 是在 上递减的奇函数. 由于对任意 ,不等式 恒成立,所以 ,即
,即 ,即 ,由于 ,所以 ,所以 .
18. (1)
(2)
(3)
(1) 由图可得 最大值为 ,则 ,
令 ,则有 ,解得 ,
又 ,故 ,即 ;
( 2 )令 ，则 ，
当 时, ,
由 ,则 ,则 有四个不同的根,
设这四个根从小到大分别为 ,由 有对称轴 与 ,
则 ,
即有 ,故实数根之和为 ;
(3)当 时， ，则 ，
故 ,其中 及 有且仅有一根,
有且有两个不同的根,
令 ,则 ,
则 或 ,
若 ,即 时,有且仅有一根,
则 需要有两根,
则 ,解得 .
19.(1) 当 时, ,定义域为 ,
则 ,
由于 ,故 关于 对称,
因此 图象的对称中心为点 .
(2)令函数 ,
则 ,
所以 为奇函数,所以 图象的对称中心为点 .
(3)当 时， ，
由于函数 在 上单调递减且恒为正,故 在 上单调递增,结合
为增函数,故 在 上单调递增,所以 的最小值为 ,
所以只需满足 恒成立即可,
,即 恒成立,所以 ,
当 时, 单调递增,则 ,
所以 ,即实数 的取值范围是 .

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