资源简介

(共37张PPT)
　圆的基本性质
知识归纳 夯基础
知识点1
圆的相关性质
弦 连接圆上任意两点间的线段叫做弦(线段AD)；经过① 的弦叫做直径(线段AB)，直径是圆中最长的弦
圆心
弧 圆上任意
两点间的
部分叫做
圆弧，简
称弧 (1)圆的任意一条直径的两个端点把圆分成
两条弧，每一条弧都叫做半圆； (2)大于半圆的弧叫做优弧(如 )，小于
半圆的弧叫做劣弧(如 )； (3)在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫
做等弧
圆心角 顶点在② 的角(如∠AOC)
圆周角 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角(如
∠ADC) 圆的对 称性 圆是轴对称图形，任何一条③ 所在直线都是圆的对
称轴；圆是中心对称图形，对称中心为④ ；圆绕着
圆心旋转任意角度都能与自身重合 圆心
直径
圆心
知识点2
垂径定理及其推论
定理 垂直于弦的直径⑤ 弦，并且⑥ 弦所对的两条弧
推论 平分弦(不是直径)的直径⑦ 于弦，并且⑧ 弦所
对的两条弧
平分
平分
垂直
平分
知识点3
弧、弦、圆心角的关系
定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧⑨ ，所对
的弦也⑩
推论 (1)在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心
角 ，所对的弦也 ；
(2)在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心
角 ，所对的优弧和劣弧分别
相等
相等
相等
相等
相等
相等
知识点4
圆周角定理及其推论
定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 常见 图形
结论 ∠APB＝ ∠AOB 推论 (1)同弧或等弧所对的圆周角 ； (2)半圆(或直径)所对的圆周角是 ，90°的圆周角所
对的弦是 一半
相等
直角
直径
知识点5
三角形的外接圆
定义 经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外
接圆 圆心 三角形三边 的交点，也叫三角形的外心 性质 三角形的外心到三角形 的距离相等 边、角
关系 如图，∠ACB＝ ∠AOB，∠ABC＝ ∠AOC，
∠BAC＝ ∠BOC；OA＝OB＝OC
垂直平分线
三个顶点
知识点6
圆内接四边形的性质
(1)圆内接四边形的对角 .即∠A＋
∠BCD＝180°，∠B＋∠D＝180°； (2)圆内接四边形的任何一个外角等于它的 (和它相邻的内角的对角).即∠DCE＝
互补
内对角
∠A
核心考点 明方向
分点突破
垂径定理及其应用(宜宾、南充3年2考)
核心考点1
例1　已知AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D.
(1)(2025 宜宾7题改编)如图①，若AB＝8，OC＝5，则OD的长为 .
例1题图①
3
(2)(2023 南充13题改编)如图②，连接AO并延长，交⊙O于点E，连接
BE. 若CD＝4，AB＝12，则BE的长为 .
例1题图②
5
(3)(2025 德阳绵竹一诊改编)如图③是一个底部呈球形的烧瓶的截面图，
⊙O的半径为5 cm，CD＝2 cm，则截面圆中弦AB的长为 cm.
例1题图③
8
例2　(2025 宜宾15题改编)如图，已知∠BAC是⊙O的圆周角，∠BAC
＝45°，则∠BOC的度数为 ；∠OBC的度数为 ；若
OB＝3，则BC的长为 .
例2题图
90°
45°
3
圆周角定理及其推论(成都3年2考，绵阳2年1考，宜宾、德阳
核心考点2
3年3考，南充3年1考)
【变式2－1】(2024 南充13题改编)如图，AB是⊙O的直径，位于AB两
侧的点C，D均在⊙O上，连接AD，BD，OC，CD. 已知∠BOC＝
30°，∠A＝60°，则∠ADC的度数为 ；∠B的度数
为 ；若AB＝8，则△ABD的面积为 .
变式2－1题图
75°
30°
8
【变式2－2】(2025 成都郫都区模拟改编)
如图，AB是⊙O的直径，D是 的中点，∠AOC＝60°，连接BC，
AD，CD，则∠ADC的度数为 ， sin ∠BAD的值为 ，
∠OCD的度数为 .
变式2－2题图
30°
15°

三角形的外接圆(宜宾3年1考)
核心考点3
例3　已知△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径.
(1)(2025 成都双流区二诊改编)如图①，半径OD∥BC，连接OC，AD.
若∠BAC＝20°，则∠BAD的度数为 .
例3题图①
35°
(2)(2025 成都金牛区二诊改编)如图②，∠ACB的平分线交AB于点E，
交⊙O于点D，连接AD，BD. 若AB＝4，则BD的长为 .
例3题图②
2
(3)(2024 宜宾9题考法)如图③，CD平分∠ACB交⊙O于点D，则
的值为 .
③
例3题图

综合提升
1. (2025 绵阳安州区三模)如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为
H，E是⊙O上的点.若∠BEC＝27°，则∠ADC的度数为(　C　)
A. 67° B. 65° C. 63° D. 73°
第1题图
C
2. (2025 南充顺庆区二模改编)如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，
D，E分别为AC，BC的中点，延长ED交⊙O于点F. 若⊙O的半径为
，则DF的长为 　 　.
第2题图

3. (2023 成都17题10分)如图，以△ABC的边AC为直径作⊙O，交BC边
于点D，过点C作CE∥AB，交⊙O于点E，连接AD，DE，∠B＝
∠ADE.
(1)求证：AC＝BC；
第3题图
(1)证明：∵∠ADE＝∠ACE，∠ADE＝∠B，
∴∠B＝∠ACE.
∵CE∥AB，
∴∠BAC＝∠ACE，
∴∠B＝∠BAC，
∴AC＝BC.
基础巩固
1. (2025 重庆)如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOB＝100°，则∠C的
度数是(　B　)
A. 40° B. 50° C. 80° D. 100°
第1题图
B
2. (2024 宜宾4题4分)如图，AB是⊙O的直径，∠CDB＝60°，则
∠ABC的度数为(　A　)
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
第2题图
A
3. (人教九上P85练习T2改编)如图，AB是⊙O的直径， ＝ ＝
，∠COD＝34°，则∠AEO的度数为(　A　)
A. 51° B. 56° C. 68° D. 78°
第3题图
A
4. (2025 成都青羊区三诊)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，
OA∥CB，∠ACB＝22°，则∠CAB＝(　C　)
A. 22° B. 40° C. 46° D. 50°
第4题图
C
5. (2025 泸州)如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD为⊙O的直径.若
AB＝AC，∠ACB＝70°，则∠CBD＝(　B　)
A. 40° B. 50° C. 60° D. 70°
第5题图
B
6. (2025 广元)如图，CD是⊙O的弦，过圆心O作OA⊥CD于点H，交
⊙O于点A，OH∶HA＝3∶2，M是 上异于C，D的一点，连接
CM，DM，则 sin∠CMD的值是(　B　)
A. B. C. D.
第6题图
B
7. (北师大九下P82想一想改编)如图，∠DCE是⊙O的内接四边形ABCD
的一个外角.若∠A＝150°，则∠DCE的度数为 .
第7题图
150°
8. (2025 内江)如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB＝
8，OC＝5，则DC的长是 .
第8题图
2
9. (2026 原创)如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂
足为E，连接AC. 若CE＝2，BE＝1，则AC的长为 .
第9题图
2
10. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，B是劣弧CD的中
点，连接AC，AD.
(1)求证：AC＝AD；
第10题图
证明：∵B是劣弧CD的中点，CD是⊙O的弦，AB是⊙O的直径，
∴CE＝ED，AB⊥CD，
∴AC＝AD.
(2)若∠CAD＝60°，⊙O的半径为1，求弦CD的长.
第10题图
解：如答图，连接OC.
∵AC＝AD，AE⊥CD，∠CAD＝60°，
∴∠CAB＝ ∠CAD＝30°，
∴∠COB＝2∠OAB＝60°.
∵OC＝1，
∴CE＝ OC＝ ，
∴CD＝2CE＝ .
第10题答图
能力提升
11. (2025 成都外国语适应性试卷)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为
⊙O的直径，BD平分∠ABC交⊙O于点D，交AC于点E，连接OD交
AC于点F，连接AD，CD.
(1)求证：OD⊥AC；
第11题图
证明：如答图，连接OC.
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠AOD＝∠COD，
∴CD＝AD.
∵OC＝OA，
∴OD垂直平分AC，
即OD⊥AC.
第11题答图
(2)若OF＝2， cos ∠ABD＝ ，求EF和CD的长.
解：∵OD⊥AC，∴AF＝CF.
∵AO＝BO，
∴OF是△ABC的中位线，
∴OF∥BC，OF＝ BC，
∴BC＝2OF＝2×2＝4.
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
第11题图
∵∠ABD＝∠CBD，
∴ cos ∠CBD＝ ＝ cos ∠ABD＝ ，
∴BE＝ BC＝5.
∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠EDF，
∴∠EDF＝∠CBE，
∴ cos ∠EDF＝ ＝ cos ∠CBE＝ ，
∴设DF＝4x，则DE＝5x，
∴BD＝5＋5x，OD＝OF＋DF＝2＋4x，
∴AB＝2OD＝2(2＋4x)＝4＋8x.
∵ cos ∠ABD＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
解得x＝ ，
∴DE＝ ，DF＝ ，BD＝5＋ ＝ ，AB＝4＋ ＝ ，
∴EF＝ ＝ ，CD＝AD＝ ＝ .

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