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内江市高中2026届第二次模拟考试题数学
本试卷共4页．全卷满分150分，考试时间为120分钟．
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知向量，，若，则（ ）
A. 2 B. 1 C. D.
3. 现有一组数据：1，1，3，7，若在这组数据中添加一个数据3，则不会发生变化的统计量是（ ）
A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差
4. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知过点的直线与圆交于两点，若，且点在圆上，则直线的斜率为（ ）
A. B. 2 C. D.
7. 已知函数在处取得最小值，在处取得最大值，则的值可能为（ ）
A. B. C. D.
8. 定义在的函数满足，其中常数、、均为正数，是的导函数，则的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的有（ ）
A 若事件，相互独立，则
B. 若事件，相互独立，则
C. 若随机变量，则
D. 若随机变量，且，则
10. 在棱长为的正方体中，点是棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，若平面，则（ ）
A. 点的轨迹经过线段的中点
B. 点的轨迹长度为
C. 三棱锥的体积为定值
D. 球面经过，，，四点的球的半径最小值为
11. 已知的面积为，角的对边分别是，，，则（ ）
A. B.
C. D. 边的中线长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 设i为虚数单位，则________．
13. 设位于第一象限的点P在抛物线上，若P到抛物线C焦点的距离为6，则点P的坐标是________．
14. 已知函数，．若不等式恒成立，则a的取值范围为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知是等比数列的前项和．
（1）若，求；
（2）若成等差数列，证明：成等差数列．
16. 已知双曲线经过点，其渐近线方程为．
（1）求双曲线的方程；
（2）过点的直线与双曲线相交于两点，能否是线段的中点？请说明理由．
17. 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班48人进行了问卷调查，得到了如下的列联表：
性别 打篮球 合计
喜爱 不喜爱
男生
6
女生 10
合计
48
已知在全班48人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为．
（1）请将上面列联表补充完整（不用写计算过程）；
（2）能否在犯错误的概率不超过的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；
（3）现从女生中抽取2人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为X，求X的分布列与均值．
附，．
α 005 0.01 0005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
18. 如图，在三棱锥中，平面ABC，平面平面，，．D为BC的中点，E为PD的三等分点（靠近P点）．
（1）请用，，表示；
（2）求直线AE与平面PBC所成角的正弦值；
（3）设F为AB的中点，过EF的平面与射线AC、AP分别交于点G、H，当三棱锥的体积最小时，求平面FGH与平面PBC所成角的余弦值．
19. 已知正整数，且，．
（1）若，为的导函数，求及的值；
（2）若方程恰好表示6个不同的椭圆，求的值；
（3）设，证明：．
【1题答案】
【答案】C
【2题答案】
【答案】D
【3题答案】
【答案】A
【4题答案】
【答案】B
【5题答案】
【答案】B
【6题答案】
【答案】C
【7题答案】
【答案】A
【8题答案】
【答案】D
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
【9题答案】
【答案】BC
【10题答案】
【答案】ACD
【11题答案】
【答案】ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
【15题答案】
【答案】（1）
（2）证明见解析
【16题答案】
【答案】（1）
（2）不能,理由见解析
【17题答案】
【答案】（1）
性别 打篮球 合计
喜爱 不喜爱
男生 22 6 28
女生 10 10 20
合计 32 16 48
（2）能，理由：经计算 （3）的分布列为：
X 0 1 2
P
的期望值.
【18题答案】
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【19题答案】
【答案】（1），.
（2）或.
（3）证明见解析；

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