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2025-2026 沈阳市数学中考模拟卷
一．选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分）
1．（3 分）大于﹣2.9 而小于 2.1 的所有整数和等于（ ）
A．﹣6 B．6 C．﹣1 D．0
2．（3 分）如图所示的几何体的主视图为（ ）
A． B． C． D．
3．（3 分）交通运输部发布数据显示，2025 年国庆中秋假期全社会跨区域人员流动量累计 24.33 亿人次，
创历史新高，24.33 亿用科学记数法表示为（ ）
A．2.433×108 B．2.433×109
C．2.433×1010 D．0.2433×1010
4．（3 分）下列运算中结果正确的是（ ）
A．x2 x3＝x6 B．（﹣x）5÷（﹣x4）＝﹣x
C．（3x）2＝9x2 D．（x+1）2＝x2+x+1
5．（3 分）下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
6．（3 分）下列调查中，适合用普查方式的是（ ）
A．调查聊城市市民的吸烟情况
B．调查中央电视台某节目的收视率
C．调查聊城市市民家庭日常生活支出情况
D．调查聊城市某校某班学生对“聊城市创建文明城市活动”的知晓率
7．（3 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 OABC 的顶点坐标分别是 O（0，0），A（6，0），B（6，
4），C（0，4）．已知矩形 OA′B′C′与矩形 OABC 位似，位似中心是原点 O，且矩形 OA′B′C′的
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面积等于矩形 OABC 的面积的 ，则点 B′的坐标是（ ）
A．（3，2） B．（﹣3，﹣2）
C．（3，2）或（﹣3，﹣2） D．（2，3）或（﹣2，﹣3）
8．（3 分）若点 A（2，y1），B（3，y2），C（﹣1，y3）在反比例函数 的图象上，则 y1，y2 与
y3 的大小关系为（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2
9．（3 分）菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．对角线垂直
C．对角线互相平分 D．对角线垂直且平分
10．（3 分）某项工程甲单独做 4 天能完成，乙单独做 6 天能完成．现计划甲先做 1 天，然后甲、乙合作完
成此项工程．设甲、乙合作做了 x 天，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
二．填空题（共 5 小题，满分 15 分，每小题 3 分）
11．（3 分）若（a﹣1）x＜a﹣1 的解集为 x＞1，那么 a 的取值范围是 ．
12．（3 分）将点 A（﹣3，﹣2）先沿 y 轴向下平移 5 个单位，再沿 x 轴向左平移 4 个单位得到点 A′，则
点 A′的坐标是 ．
13．（3 分）我省普通高考实行“3+1+2”模式，包括 3 门普通高等学校招生全国统一考试科目（以下简称
全国统考科目）和 3 门普通高中学业水平选择性考试科目（以下简称选考科目），其中全国统考科目为
语文、数学、外语 3 门，选考科目由考生从物理和历史 2 门首选科目中任选 1 门，从思想政治、地理、
化学、生物学 4 门再选科目中任选 2 门．开学初，某校对高一新生进行选科操作，若 A，B 两位同学是
该校高一新生，则他们选择同一科再选科目的概率为 ．
14．（3分）如图，四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形，连接CF，DG，则 为 ．
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15．（3 分）如图，点 D 在△ABC 外且满足 BD＝BC，∠ABD 的角平分线交 DC 的延长线于点 E，若∠E＝
50°，则∠ABC 的度数是 °．
三．解答题（共 8 小题，满分 75 分）
16．（10 分）计算： ；
17．（8 分）某玩具店采购人员第一次用 100 元去采购“企鹅牌”玩具，很快售完．第二次去采购时发现现
批发价上涨了 0.5 元，用去了 150 元，所购玩具数量比第一次多了 10 件，问第二次采购玩具多少件？
18．（8 分）第 22 届国际足联世界杯于 2022 年 11 月 20 日在卡塔尔境内举行，某校数学兴趣小组为了解该
校同学对卡塔尔世界杯的关注程度，进行了问卷调查，并从中随机抽取 n 份问卷，将调查结果分为四类：
A 非常关注；B 比较关注；C 偶然关注；D 不感兴趣．将调查结果绘制成如图所示的不完整的统计图．请
根据题中信息，完成下列问题：
（1）n＝ ，a＝ °．
（2）补全条形统计图．
（3）若本校有 3000 名同学，请估计该校对卡塔尔世界杯“非常关注”的人数．
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19．（8 分）在一个长 20dm，宽 15dm，深 10dm 的长方体水槽中已有深 3dm 的水，现在往水槽中注水，注
水后水槽中的水位每分钟上升 0.2dm．
（1）设水槽中的总水量为 y（dm3），注水时间为 x（min），求 y 与 x 的函数表达式．
（2）出于安全原因，当水深达到 9dm 就停止注水，那么需往水槽注水几分钟？注水多少？（单位：dm3）
20．（8 分）腾龙阁（如图 1），位于辽宁省沈阳市康平县，某数学小组为了测量腾龙阁的高度，在 C 处设
立观测点，如图 2，测得楼顶 A 的仰角为 45°，再沿坡比为 7：24 的斜坡 CE 前行 25m 到达平台 E 处，
此时测得楼顶 A 的仰角为 55°．
（1）求平台 DE 与地面的高度；
（2）滕龙阁的高度 AB（结果精确到 0.1m）
（参考数据：sin55°≈0.819，cos55°≈0.574，tan55°≈1.428）
21．（8 分）如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，点 D 为 的中点，连接 AC，BC，AD，AD 与 BC
相交于点 G，过点 D 作直线 DE∥BC，交 AC 的延长线于点 E．
（1）求证：DE 是⊙O 的切线；
（2）若 ，CG＝2，求阴影部分的面积．
22．（12 分）如图 1，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠A＝∠C，点 P 在边 AB 上．
（1）判断四边形 ABCD 的形状并加以证明；
（2）以过点 P 的直线为轴，将四边形 ABCD 折叠，使点 B，C 分别落在点 B'，C'上，且 B'C'经过点 D，
折痕与四边形的另一交点为 Q；
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①在图 2 中作出四边形 PB'C'Q（保留作图痕迹，不必说明作法和理由）；
（提示：为使折叠后 B'C'经过点 D，可以先考虑 BC 边上与点 D 对应的点 D'）；
②如图 3，如果 AB＝AD，∠C＝60°，且 B'P⊥AB，试求 的值；
③如图 4，如果 AB＝AD，∠C＝45°，且 B'P⊥AB，请直接写出 的值．
23．（13 分）若抛物线 y＝ax2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，且△ABC 恰好是直角三角
形并满足 OC2＝OA OB，则称抛物线 y＝ax2+bx+c 是“五有四化抛物线”，其中较短直角边所在直线为
“五有线”，较长直角边所在直线为“四化线”．
（1）若“五有四化抛物线”y＝ax2+bx+c 的“五有线”为 y＝﹣2x﹣1，求抛物线解析式；
（2）已知“五有四化抛物线”y＝﹣x2+bx+c 与 x 轴的一个交点为（﹣2，0），其“四化线”与反比例函
数 仅有一个交点，求反比例函数解析式；
（3）已知“五有四化抛物线” （b＞0）的“五有线”、“四化线”及 x 轴围成的三
角形面积 S 的取值范围是 ，令 P＝﹣b2+2tb+t2，且 P 有最大值 t，求 t 的值．
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2025-2026 沈阳市数学中考模拟卷答案
一．选择题（共 10 小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B B． C D D C A B C
二．填空题（共 5 小题，满分 15 分，每小题 3 分）
11． a＜1．
12． A′（﹣7，﹣7）．
13． ．
14． ．
15． 80．
三．解答题（共 8 小题，满分 75 分）
16．解：（1）
＝2+1
＝3 ；
17．解：设第二次采购玩具 x 件，则第一次采购玩具（x﹣10）件，
由题意得 ，
整理得 x2﹣110x+3000＝0，
解得 x1＝50，x2＝60，
经检验，x1＝50，x2＝60 都是原方程的解．
当 x＝50 时，每件玩具的批发价为 150÷50＝3（元），高于玩具的售价，不合题意，舍去；
当 x＝60 时，每件玩具的批发价为 150÷60＝2.5（元），低于玩具的售价，符合题意，
答：第二次采购玩具 60 件．
18．解：（1）n＝30÷30%＝100，
α＝360° 129.6°；
故答案为：100，129.6；
（2）D 类别人数为 100﹣（18+36+30）＝16（人），
补全图形如下：
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（3）3000 540（名），
答：估计该校对卡塔卡世界杯“非常关注”的人数为 540 名．
19．解：（1）根据题意，得 y＝20×15（0.2x+3）＝60x+900．
答：y 与 x 的函数表达式为 y＝60x+900．
（2）（9﹣3）÷0.2＝30（分钟），
20×15×（9﹣3）＝1800（dm3）．
答：需往水槽注水 30 分钟，注水 1800dm3．
20．解：（1）由题意可知 CE＝25m，
过点 E 作 EF⊥BC，
∵斜坡坡比为 7：24，则设 EF＝7xm，CF＝24xm，
∴ ，
解得：x＝1，
∴EF＝7m，CF＝24m，
即：平台 DE 与地面的高度为 7m；
（2）由题意可知，∠ACB＝45°，∠AED＝55°，则 AB＝BC，ED⊥BD，∠DBE＝90°，EF⊥BC，
∴四边形 DBFE 是矩形，
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由（1）可知，CF＝24m，
则 BF＝DE，BD＝EF，
设 AB＝BC＝am，则 BF＝DE＝BC﹣CF＝（a﹣24）m，
AD＝AB﹣BD＝（a﹣7）m，
在 Rt△ADE 中， ，
可得： ，
故滕龙阁的高度 AB 约为 63.7m．
21．（1）证明：连接 OD 交 BC 于点 F，
∵点 D 为 的中点，
∴OD 垂直平分 BC，
∵DE∥BC，
∴∠ODE＝∠OFC＝90°，
∵OD 是⊙O 的半径，且 DE⊥OD，
∴DE 是⊙O 的切线．
（2）解：连接 OC 交 AD 于点 L，则 OC＝OA，
∵AB 是⊙O 的直径，AD 与 BC 相交于点 G，
∴∠ACG＝90°，
∵ ， ，CG＝2，
∴ ，
∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD 180°＝60°，OC⊥AD，AL＝DL，
∴△AOC 是等边三角形，∠ALC＝90°，
∴∠ACL＝60°，
∴∠ECD＝90°﹣∠ADL＝30°，
∴AG＝2CG＝4，
∴AC 2 ，
∴CL AC ，
∴AL 3，
∴AD＝2AL＝6，
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∵∠E＝∠ACG＝90°，
∴DE AD＝3，
∴AE 3 ，
∴S 阴影＝S△AED﹣S△ACG 3 3 2 ，
∴阴影部分的面积是 ．
22．解：（1）四边形 ABCD 是平行四边形
证明：∵在四边形 ABCD 中，AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠C+∠B＝180°，
∴AB∥CD，
∴四边形 ABCD 是平行四边形；
（2）①四边形 PB′C′Q 如下：
②当 AB＝AD 时，平行四边形 ABCD 是菱形，
由折叠可得，BP＝B′P，CQ＝C′Q，BC＝B′C′，∠C＝∠C′＝60°＝∠A，
当 B′P⊥AB 时，由 B′P∥C′Q，可得 C′Q⊥CD，
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设 AD 与 B'P 交于点 E，
∴∠PEA＝30°＝∠DEB′，∠QDC′＝30°＝∠B′DE，
∴B′D＝B′E，
设 AP＝a，BP＝b，则直角三角形 APE 中，PE a，且 B′P＝b，BC＝B′C′＝CD＝a+b，
∴B′E＝b a＝B′D，
∴C′D＝a+b﹣（b a）＝a a，
∴直角三角形 C′QD 中，C′Q a＝CQ，DQ C′Q a，
∵CD＝DQ+CQ＝a+b，
∴ a a＝a+b，
整理得（ ）a＝b，
∴ ，
即 ；
③当 AB＝AD 时，平行四边形 ABCD 是菱形，
由折叠可得，BP＝B′P，CQ＝C′Q，BC＝B′C′，∠C＝∠C′＝45°＝∠A，
当 B′P⊥AB 时，由 B′P∥C′Q，可得 C′Q⊥CD，
设 AD 与 B'P 交于点 E，
∴∠PEA＝∠QDC′＝45°，
∵∠DB′P＝∠B＝135°，∠PED＝135°，
∴点 B′，E 重合，
∴B′P＝AP＝PB，
即 1．
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23．解：（1）由 y＝﹣2x﹣1 知，该直线和坐标轴的交点坐标为：（0，﹣1）、（ ，0），
即点 C（0，﹣1），
∵OC2＝OA OB，
则 1 |x|，
解得：x＝±2（舍去负值），
即抛物线和 x 轴另外一个交点坐标为：（2，0）
当交点为（2，0）时，
则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）（x ）＝a（x2 x﹣1），
则﹣a＝﹣1，
解得：a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2 x﹣1；
（2）将（﹣2，0）代入函数表达式得：0＝﹣4﹣2b+c，
则 c＝4+2b，
由抛物线的表达式知，其对称轴为直线 x b，则抛物线和 x 轴的另外一个交点为：（b+2，0），
∵OC2＝OA OB，
则 c2＝2|b+2|，
即（4+2b）2＝2|b+2|，
解得：b＝﹣2（舍去）或 或 ，
则抛物线和坐标轴的交点为：（﹣2，0）、（ ，0）、（0，1）或（﹣2，0）、（ ，0）、（0，﹣1）；
当抛物线和坐标轴的交点为：（﹣2，0）、（ ，0）、（0，1）时，
设“四化线”的表达式为：y＝kx+1，
将（﹣2，0）代入上式得：0＝﹣2k+1，
解得：k ，
则“四化线”的表达式为：y x+1；
联立一次函数和反比例函数表达式得： x+1 ，
整理得：x2+2x﹣2k＝0，
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则Δ＝4+8k＝0，
解得：k ，
故反比例函数的表达式为：y ；
（3）令 0，
则 x1+x2 b，x1x2＝﹣3c，
则|x1﹣x2| ，
∵OC2＝OA OB，
则|﹣3c|＝（ c）2，
解得：|c|＝1；
则 S |x1﹣x2|×CO ，
∵ ，
则 ，
解得：3≤b≤5；
当 b＝5 时，P＝﹣b2+2tb+t2＝﹣25+10t+t2，当 b＝t 时，同理可得：P＝2t2，当 b＝3 时，P＝t2+6t﹣9，
当 t≥5 时，
函数 P 在 b＝5 时，取得最大值，即﹣25+10t+t2＝t，
解得：t （舍去）；
当 3＜t＜5 时，
函数 P 在 b＝t 时，取得最大值，即 2t2＝t，
解得：t＝0 或 （均舍去）；
当 t≤3 时，
函数 P 在 b＝3 时，取得最大值，即 t2+6t﹣9＝t，
解得：t ；
综上，t ．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/3/20 9:23:22；用户：喝柠檬水的先生；邮箱：zdmzj@；学号：11074411
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