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课前自主学习
课堂合作探究
课堂学业达标
6.3.5　平面向量数量积的坐标表示
素养目标 思维导图
1.掌握数量积的坐标表示及运算.(数学运算) 2.能应用数量积表示两个向量的夹角. (数学运算) 3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.(数学运算)
课前自主学习
问题1.已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2).
(1)若i,j分别是与x轴,y轴的正向同向的单位向量,则如何用i,j表示向量a,b
提示:a=x1i+y1j,b=x2i+y2j.
(2)在(1)的基础上,计算a·b.
提示:a·b=(x1i+y1j)·(x2i+y2j)=x1x2i2+(x1y2+x2y1)i·j+y1y2j2=x1x2+y1y2.
问题2.(1)若a=(x,y),怎样利用平面向量数量积的坐标表示|a|
提示:|a|=.
(2)若已知表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则|a|如
何表示
提示:a=(x2-x1,y2-y1),则|a|=.
问题3.(1)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),若a⊥b,则向量a,b的坐标能建立什么样的关系式
提示:由a⊥b得a·b=0,即x1x2+y1y2=0.
(2)设a,b都是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是a与b的夹角,那么cos θ如何用坐标表
示
提示:由cos θ=,再将模及数量积分别用坐标表示即可.
【核心概念】
1.平面向量数量积的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),
(1)坐标表示:a·b=_________.
(2)语言表述:两个向量的数量积等于它们___________________.
对应坐标的乘积的和
x1x2+y1y2
2.平面向量模的坐标表示
x2+y2
3.平面向量垂直与夹角余弦值的坐标表示
(1)向量垂直的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b ___________.
(2)两向量夹角的坐标表示
设a,b都是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是a与b的夹角,则cos θ=.
x1x2+y1y2=0
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√
【类题通法】
数量积运算的途径及注意点
(1)两条途径:一是先将各向量用坐标表示,直接进行数量积运算;二是先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知计算.
(2)注意点:对于以图形为背景的向量数量积运算的题目,只需把握图形的特征,并写出相应点的坐标即可求解.
【定向训练】
已知向量a=(-1,-2),向量b=(-3,4),则向量a在b向上的投影向量为　　　　.
【思维导引】先求出向量a在b向上的投影,再求出与b同向的单位向量,进而求出
向量a在b向上的投影向量.
【解析】由题意,向量a在b向上的投影为==-1,|b|=5,则与b同向的单位向
量为(-,),所以向量a在b向上的投影向量为-1×(-,)=(,-).
答案:(,-)
探究点二　平面向量的模、夹角与垂直问题
【典例2】(一题多问)
已知向量a,b,c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,-1),解决下列问题.
(1)若|c|=3,且c∥a,求向量c的坐标;
(2)若向量b=(2x+3,-x),且a⊥b,求x的值;
(3)若b是单位向量,且a⊥(a-2b),求a与b的夹角θ;
(4)若c是单位向量,且a∥c,求|a-c|.
【问题解读】(1)设c=(x,y),由|c|=3,且c∥a,列出组,求得x,y的值,即可得解;
(2)运用两向量垂直坐标公式计算即可.
(3)由a⊥(a-2b),求得a·b,利用向量的夹角公式,求得cos θ,即可得解.
(4)运用两向量平行坐标公式及单位向量求出向量c的坐标,结合模的坐标公式计算即可.
【解析】(1)设c=(x,y),因为|c|=3,且c∥a,
可得,解得x=-3,y=3或x=3,y=-3,
所以c=(-3,3)或c=(3,-3).
(2)若a⊥b,则a·b=(1,-1)·(2x+3,-x)=1×(2x+3)-1(-x)=0,
整理得3x+3=0,解得x=-1,故x的值为-1.
(3)因为a=(1,-1),且b为单位向量,
可得|a|=,|b|=1,
又因为a⊥(a-2b),可得a·(a-2b)=a2-2a·b=0,所以a·b=1,
则cos θ===,因为θ∈[0,π],所以θ=.
(4)设c=(x,y),由a∥c,则有x+y=0,又c是单位向量,所以x2+y2=1,解得x=或x=-.
当x=时,a=(1,-1),c=(,-),所以a-c=(,-),所以|a-c|==1.
当x=-时,a=(1,-1),c=(-,),所以a-c=(,-),
所以|a-c|==3.
综上,|a-c|的值为1或3.
【类题通法】
1.利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤
(1)求向量的数量积.利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积.
(2)求模.利用|a|=计算两向量的模.
(3)求夹角余弦值.由公式cos θ=
求夹角余弦值.
(4)求角.由向量夹角的范围及cos θ求θ的值.
2.涉及非零向量a,b垂直问题时,一般借助a⊥b
a·b=x1x2+y1y2=0来解决.
【定向训练】
1.已知向量a=(,1),向量a-b=(+1,+1),则a与b的夹角大小为(　　)
A.30° B.60° C.120° D.150°
【思维导引】计算可得b=(-1,-),利用数量积公式计算即可得出结果.
【解析】选D.因为向量a=(,1),向量a-b=(+1,+1),所以b=
(-1,-),cos==-,且0≤≤π,所以a,b的夹角为=150°.
√
2.(2024·新高考Ⅰ卷)已知向量a=(0,1),b=(2,x), 若b⊥(b-4a),则x= (　　)
A. -2 B.-1 C. 1 D. 2
【解析】选D.因为b⊥(b-4a), 所以b·(b-4a)=0,则4+x(x-4)=0, 解得x=2.
√
【类题通法】
利用数量积求向量中参数问题的四个步骤
(1)找关系:根据题目条件,得出含参数向量所满足的等量或不等量关系.
(2)写坐标:写出各向量的坐标.
(3)定关系的坐标形式:利用向量数量积的坐标表示把等量或不等量关系表示出来.
(4)列关系式:通过解(组)或不等式(组)求出参数的值或范围.
√
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1.设x∈R,向量a=(x,1),b=(1,-2),且a⊥b,则
|a+b|=(　　)
A. B. C.2 D.10
【解析】选B.由a⊥b得a·b=0,
所以x×1+1×(-2)=0,即x=2,所以a+b=(3,-1),所以|a+b|==.
√
2.a,b为平面向量,已知a=(4,3),2a+b=(3,18),则a,b夹角θ的余弦值等于 (　　)
A. B.- C. D.-
【解析】选C.设b=(x,y),则2a+b=(8+x,6+y)=(3,18),
所以
解得故b=(-5,12),
所以cos θ==.
√
4.已知向量m=(2λ,-1),n=(2,λ-5)且|m+2n|=|m-2n|,则λ=　　　　.
【解析】由题意:m+2n=(2λ,-1)+2(2,λ-5)=(2λ+4,2λ-11),m-2n=(2λ,-1)-2(2,λ-5)=
(2λ-4,-2λ+9),又|m+2n|=|m-2n|,所以8λ2-28λ+137=8λ2-52λ+97,解得λ=-.
答案:-6.3.5　平面向量数量积的坐标表示
素养目标 思维导图
1.掌握数量积的坐标表示及运算.(数学运算) 2.能应用数量积表示两个向量的夹角.(数学运算) 3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.(数学运算)
课前自主学习
问题1.已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2).
(1)若i,j分别是与x轴,y轴的正向同向的单位向量,则如何用i,j表示向量a,b
提示:a=x1i+y1j,b=x2i+y2j.
(2)在(1)的基础上,计算a·b.
提示:a·b=(x1i+y1j)·(x2i+y2j)=x1x2i2+(x1y2+x2y1)i·j+y1y2j2=x1x2+y1y2.
问题2.(1)若a=(x,y),怎样利用平面向量数量积的坐标表示|a|
提示:|a|=.
(2)若已知表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则|a|如何表示
提示:a=(x2-x1,y2-y1),则|a|=.
问题3.(1)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),若a⊥b,则向量a,b的坐标能建立什么样的关系式
提示:由a⊥b得a·b=0,即x1x2+y1y2=0.
(2)设a,b都是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是a与b的夹角,那么cos θ如何用坐标表示
提示:由cos θ=,再将模及数量积分别用坐标表示即可.
【核心概念】
1.平面向量数量积的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),
(1)坐标表示:a·b=x1x2+y1y2.
(2)语言表述:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
2.平面向量模的坐标表示
长度公式 向量a=(x,y),则|a|=或|a|2=x2+y2
距离公式 P1=(x1,y1),P2=(x2,y2),则|=
3.平面向量垂直与夹角余弦值的坐标表示
(1)向量垂直的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b x1x2+y1y2=0.
(2)两向量夹角的坐标表示
设a,b都是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是a与b的夹角,则cos θ=.
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探究点一　平面向量的数量积的坐标运算
【典例1】(1)在△ABC中,BC=6,AB=4,∠CBA=,设点D为AC的中点,点E在BC上,且·=0,则·= (　　)
A.16 B.12 C.8 D.-4
(2)(一题多解)
若等边△ABC的边长为2,平面内一点M满足=+,则·=　　　　　.
【思维导引】
(1)以B为原点,建立平面直角坐标系,结合向量的坐标运算即可.
(2)法一:建立平面直角坐标系,将问题转化为向量的坐标运算即可;
法二:将,用,表示,然后用数量积的定义计算.
【解析】(1)选A.在△ABC中,BC=6,AB=4,∠CBA=,以B为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,
则A(4,0),B(0,0),C(0,6),D(2,3),设E(0,b),则=(-4,b),=(2,3),=(0,6),
由题意可知·=0,即-8+3b=0,解得b=.则=(-4,),所以·=-4×0+×6=16.
(2)法一:以BC的中点为原点,BC所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系,根据题设条件可知A(0,3),B(-,0),C(,0),设M(x,y),则=(x-,y),=(-2,0),=(-,3),
由=+得:(x-,y)=(-2,0)+(-,3)=(-,2),
所以x=0,y=2,所以点M的坐标为(0,2),所以=(0,1),=(-,-2),所以·=-2.
法二:由于=-=-(+)=-,
=-=-(+)=-+,
所以·=(-)·(-+)=-+·-,
又△ABC是边长为2的等边三角形,所以==12,·=6,
所以·=-×12+×6-×12=-2.
答案:-2
【类题通法】
数量积运算的途径及注意点
(1)两条途径:一是先将各向量用坐标表示,直接进行数量积运算;二是先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知计算.
(2)注意点:对于以图形为背景的向量数量积运算的题目,只需把握图形的特征,并写出相应点的坐标即可求解.
【定向训练】
已知向量a=(-1,-2),向量b=(-3,4),则向量a在b向上的投影向量为　　　　.
【思维导引】先求出向量a在b向上的投影,再求出与b同向的单位向量,进而求出向量a在b向上的投影向量.
【解析】由题意,向量a在b向上的投影为==-1,|b|=5,则与b同向的单位向量为(-,),所以向量a在b向上的投影向量为-1×(-,)=(,-).
答案:(,-)
探究点二　平面向量的模、夹角与垂直问题
【典例2】(一题多问)
已知向量a,b,c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,-1),解决下列问题.
(1)若|c|=3,且c∥a,求向量c的坐标;
(2)若向量b=(2x+3,-x),且a⊥b,求x的值;
(3)若b是单位向量,且a⊥(a-2b),求a与b的夹角θ;
(4)若c是单位向量,且a∥c,求|a-c|.
【问题解读】(1)设c=(x,y),由|c|=3,且c∥a,列出组,求得x,y的值,即可得解;
(2)运用两向量垂直坐标公式计算即可.
(3)由a⊥(a-2b),求得a·b,利用向量的夹角公式,求得cos θ,即可得解.
(4)运用两向量平行坐标公式及单位向量求出向量c的坐标,结合模的坐标公式计算即可.
【解析】(1)设c=(x,y),因为|c|=3,且c∥a,
可得,解得x=-3,y=3或x=3,y=-3,
所以c=(-3,3)或c=(3,-3).
(2)若a⊥b,则a·b=(1,-1)·(2x+3,-x)=1×(2x+3)-1(-x)=0,
整理得3x+3=0,解得x=-1,故x的值为-1.
(3)因为a=(1,-1),且b为单位向量,
可得|a|=,|b|=1,
又因为a⊥(a-2b),可得a·(a-2b)=a2-2a·b=0,所以a·b=1,
则cos θ===,
因为θ∈[0,π],所以θ=.
(4)设c=(x,y),由a∥c,则有x+y=0,又c是单位向量,所以x2+y2=1,解得x=或x=-.
当x=时,a=(1,-1),c=(,-),
所以a-c=(,-),
所以|a-c|==1.
当x=-时,a=(1,-1),c=(-,),
所以a-c=(,-),
所以|a-c|==3.
综上,|a-c|的值为1或3.
【类题通法】
1.利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤
(1)求向量的数量积.利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积.
(2)求模.利用|a|=计算两向量的模.
(3)求夹角余弦值.由公式cos θ=
求夹角余弦值.
(4)求角.由向量夹角的范围及cos θ求θ的值.
2.涉及非零向量a,b垂直问题时,一般借助a⊥b
a·b=x1x2+y1y2=0来解决.
【定向训练】
1.已知向量a=(,1),向量a-b=(+1,+1),则a与b的夹角大小为 (　　)
A.30° B.60° C.120° D.150°
【思维导引】计算可得b=(-1,-),利用数量积公式计算即可得出结果.
【解析】选D.因为向量a=(,1),向量a-b=(+1,+1),所以b=(-1,-),cos==-,且0≤≤π,所以a,b的夹角为=150°.
2.(2024·新高考Ⅰ卷)已知向量a=(0,1),b=(2,x), 若b⊥(b-4a),则x= (　　)
A. -2 B.-1 C. 1 D. 2
【解析】选D.因为b⊥(b-4a), 所以b·(b-4a)=0,则4+x(x-4)=0, 解得x=2.
探究点三　平面向量数量积的综合应用
【典例3】如图,在平面四边形ABCD中,·=32.
(1)若与的夹角为30°,求△ABC的面积S△ABC;
(2)若||=4,O为AC的中点,G为△ABC的重心(三条中线的交点),且与互为相反向量,求·的值.
【思维导引】(1)首先利用向量的夹角公式求得
||·||的值,然后利用三角形面积公式求解即可.
(2)以O为原点建立平面直角坐标系,设D(x,y),然后用x,y表示出,,,,从而根据题意求得·的值.
【解析】(1)因为·=32,且与的夹角为30°,
所以·=||||cos 30°=32,所以||·||==.
过A作AE⊥BC于E(图),所以S△ABC=|AE||BC|=||·sin 30°·||
=||||·sin 30°==.
(2)以O为原点,AC所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(-2,0),C(2,0).
设D(x,y),则=(x,y),因为与互为相反向量,所以=(-x,-y).
因为G为△ABC的重心,所以=3=(-3x,-3y),
故B(-3x,-3y),所以=(3x-2,3y),=(3x+2,3y),因此·=9x2-4+9y2.
由题意,9x2-4+9y2=32,即x2+y2=4.
所以·=(x+2,y)·(x-2,y)=x2+y2-4=0.
【类题通法】
利用数量积求向量中参数问题的四个步骤
(1)找关系:根据题目条件,得出含参数向量所满足的等量或不等量关系.
(2)写坐标:写出各向量的坐标.
(3)定关系的坐标形式:利用向量数量积的坐标表示把等量或不等量关系表示出来.
(4)列关系式:通过解(组)或不等式(组)求出参数的值或范围.
【定向训练】
1.(2020·新高考Ⅰ卷)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则·的取值范围是 (　　)
A.(-2,6) B.(-6,2)
C.(-2,4) D.(-4,6)
【解析】选A.设P(x,y),建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),=(x,y),=(2,0),所以·=2x,由题意可得点C的横坐标为3,点F的横坐标为-1,所以-12.如图所示,设Ox,Oy是平面内相交成60°角的两条数轴,e1,e2分别是与x轴、y轴正向同向的单位向量,若向量=xe1+ye2(x,y∈R),则把有序数对(x,y)叫做向量在坐标系xOy中的坐标.
(1)设=(0,3),=(4,0),求·的值;
(2)若=(3,4),求||的大小.
【思维导引】(1)根据平面向量数量积的定义进行求解即可;
(2)根据平面向量数量积的运算性质进行求解即可.
【解析】(1)因为=3e2,=4e1,
所以·=12e1·e2=12cos 60°=6;
(2)因为==9+24e1·e2+16=25+24cos 60°=37,
所以||=.
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1.设x∈R,向量a=(x,1),b=(1,-2),且a⊥b,则
|a+b|= (　　)
A. B. C.2 D.10
【解析】选B.由a⊥b得a·b=0,
所以x×1+1×(-2)=0,即x=2,所以a+b=(3,-1),所以|a+b|==.
2.a,b为平面向量,已知a=(4,3),2a+b=(3,18),则a,b夹角θ的余弦值等于 (　　)
A. B.- C. D.-
【解析】选C.设b=(x,y),则2a+b=(8+x,6+y)=(3,18),
所以
解得故b=(-5,12),
所以cos θ==.
3.在△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,点P是AB的中点,则·=　　　　.
【解析】如图建立平面直角坐标系,
则A(4,0),B(0,3),C(0,0),P(2,).
所以=(0,3),=(2,),所以·=0×2+3×=.
答案:
4.已知向量m=(2λ,-1),n=(2,λ-5)且|m+2n|=|m-2n|,则λ=　　　　.
【解析】由题意:m+2n=(2λ,-1)+2(2,λ-5)=(2λ+4,2λ-11),m-2n=(2λ,-1)-2(2,λ-5)=(2λ-4,-2λ+9),
又|m+2n|=|m-2n|,所以8λ2-28λ+137=8λ2-52λ+97,解得λ=-.
答案:-
5.在△ABC中,∠ABC=,AB=4,AC=8,=2,=λ.
(1)若∥,求实数λ的值及||;
(2)若⊥,求四边形ABDE的面积.
【解析】(1)由=2,可知D为BC的中点,若∥,则E为AC的中点,即λ=,
又∠ABC=,所以||=||=4;
(2)以B为坐标原点,BC,BA所在的直线为x,y轴建立平面直角坐标系,
则A(0,4),C(4,0),D(2,0),所以=λ=λ(4,-4)=(4λ,-4λ),=-=(0,-4)-(4λ,-4λ)=(-4λ,4λ-4),又=(2,-4),⊥,则·=-24λ-4(4λ-4)=16-40λ=0,解得λ=,则=(-,-),则||==,||==2,
因此,四边形ABDE的面积为S=||·||=×2=.
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