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2026年全市高三（3月）模拟考试数学试卷
本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
2. 若复数（为虚数单位），则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
3. 已知向量，则向量与夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
4. 已知平面，两条不重合的直线，则“存在直线，使”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
5. 某次考试有10000人参加，若他们的成绩近似服从正态分布，则分数在100-120之间的考生约有（ ）（参考数据：若，则有）
A. 1360人 B. 1570人 C. 2720人 D. 3410人
【答案】A
6. 若实数满足，则的最小值是（ ）
A. 0 B. C. D.
【答案】C
7. 已知等比数列的首项为1，前项和为，若，则（ ）
A. 1或2 B. 1或4 C. 2或4 D. 4
【答案】B
8. 已知曲线，将绕坐标原点逆时针旋转后所得的曲线是某个函数的图像，则正实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数，则下列命题正确的有（ ）
A. 函数的图象关于点对称
B. 函数的最大值是2
C. 若实数使得方程在上恰好有三个实数解，则
D. 是函数的单调递减区间
【答案】BC
10. 如图，在正方体中，记各面的对角线为它的面对角线，为它的体对角线.设分别为的中点，则（ ）
A. 存在面对角线与平面平行
B. 存在面对角线与平面垂直
C. 存在体对角线与平面平行
D. 存在体对角线与平面垂直
【答案】AD
11. 如图所示为杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，第行的第个数可以表示为时）.在欧洲，这个表被认为是帕斯卡（1623-1662）首先发现的.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就已经出现了这个表，这是我国数学史上的一个伟大成就.同学们开展了数学探究，则下列命题正确的有（ ）
A. 第2026行共有2026个数
B. 从第4行起到第19行，每一行第4个数字之和为
C. 第48行的所有数字之和被7除的余数为1
D. 去除所有为1的项，依次构成数列，则此数列前135项的和为
【答案】BCD
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若a，b∈R＋，满足a＋b＋3＝ab，则a＋b的取值范围是________.
【答案】
13. 已知一个圆柱和一个圆锥的底面半径相等，高相等，侧面积相等，若圆锥的体积为，则圆柱的底面半径为__________.
【答案】
14. 已知点在轴上，其既是椭圆的焦点，也是双曲线的焦点.设椭圆和双曲线在第二象限的交点为，点在第一象限的双曲线上，且，若为等轴双曲线，则椭圆的离心率为__________.
【答案】##
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15. 在中，角的对边分别，已知.
（1）求角的大小；
（2）若，求的面积.
解（1）由，
得，
即，因为，
所以，
即，
故（舍）或，
由于，所以.
（2），由，
得，又，
所以，
解得或（负值舍），故，
又由（1）知，
故的面积为.
16. 已知数列满足.
（1）设，证明是等比数列，并求的通项公式；
（2）判断数列的单调性.
解（1）由，得：
，
故，即，
又，
故是以为首项，为公比的等比数列，且.
（2）由，解得
，
即，故数列为递增数列.
17. 袋中有5个除了颜色外完全相同的小球，其中有1个红球，2个黑球，2个白球.现从中不放回地取球，每次取一个球，当三种颜色的球都有取到时停止，记停止时取出的球的个数为随机变量.
（1）求第二次取出的是黑球的情况下第三次取出的是红球的概率；
（2）求的分布列和期望.
解（1）记事件“第二次取出的是黑球”，事件“第三次取出的是红球”，
事件可分为“第一次取出的是黑球”和“第一次取出的不是黑球”两种情况，
故，
事件“第二次取出的是黑球，第三次取出的是红球“，
可分为”第一次取出的是黑球“和”第一次取出的是白球"两种情况，
故，
故所求.
（2）易知随机变量可能的取值为，
当时，前三次分别取出1个红球 1个黑球和1个白球，
，
当时，前四次分别取出2个黑球和2个白球，
，
当时，，
故随机变量的分布列为：
3 4 5
期望为.
18. 设函数为自然对数的底数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，记，证明：
①；（注：）
②.
解（1）由，得，
易知，当且仅当，即时取等号，
故当时，，此时在上单调递增；
当时，令，
解得，易知，
当或时，，当时，，
故此时和上单调递增，
在上单调递减.
（2）由（1）知，当时，在上单调递增，
故当时，，即有.
①令，则有，即，即，
赋值代入，可得，
累加可得：
②令，则有，
即，化简得，
当时，由，
累加可得：
，
即
即有，而当时，
故有.
19. 如图1所示，用一个截面去截圆锥，记圆锥的母线与圆锥的轴线的夹角为，截面与圆锥的轴线的夹角为，当时，截线是圆；当时，截线是椭圆；当时，截线是抛物线；当时，截线为双曲线. 如图2所示，为圆锥的顶点，为底面圆心，为圆的一条直径，且为弧的中点，点满足，点为线段的中点；
（1）求直线与平面所成角的大小；
（2）平面与圆锥的截线记为曲线，在平面内，以所在的直线为轴（设以的方向为轴正方向），以线段的中垂线为轴（设以逆时针旋转后的方向为轴正方向），建立平面直角坐标系.
①求出曲线的标准方程；
②设为曲线上两动点，若的平分线与轴垂直，求证：直线的斜率是定值，并求出这个定值.
解（1）由题设以为原点，分别以所在直线和正方向为轴 轴 轴，建立空间直角坐标系，
则，
故，
设平面的一个法向量为，
则，令，则
故，则，
故直线与平面所成角的大小为.
（2）①由（1）知，直线与圆锥母线所成的角为，且，故曲线为椭圆，
设该椭圆的方程为，故；
由（1）可得，设与的交点为，
则，
易得，即，且，
设的中点为，易得，故，
故点在平面内的坐标为，
因为点在曲线上，故有，
故曲线的标准方程为.
②易知直线的斜率存在，设其方程为，
联立得，
设点，由韦达定理与点坐标，则，
的平分线与轴垂直，故直线与直线的斜率互为相反数，
设直线的方程为，
设点，同理可得，
故直线的斜率为，是一个定值.2026年全市高三（3月）模拟考试数学试卷
本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若复数（为虚数单位），则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量，则向量与夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知平面，两条不重合的直线，则“存在直线，使”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 某次考试有10000人参加，若他们的成绩近似服从正态分布，则分数在100-120之间的考生约有（ ）（参考数据：若，则有）
A. 1360人 B. 1570人 C. 2720人 D. 3410人
6. 若实数满足，则的最小值是（ ）
A. 0 B. C. D.
7. 已知等比数列的首项为1，前项和为，若，则（ ）
A. 1或2 B. 1或4 C. 2或4 D. 4
8. 已知曲线，将绕坐标原点逆时针旋转后所得的曲线是某个函数的图像，则正实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数，则下列命题正确的有（ ）
A. 函数的图象关于点对称
B. 函数的最大值是2
C. 若实数使得方程在上恰好有三个实数解，则
D. 是函数的单调递减区间
10. 如图，在正方体中，记各面的对角线为它的面对角线，为它的体对角线.设分别为的中点，则（ ）
A. 存在面对角线与平面平行
B. 存在面对角线与平面垂直
C. 存在体对角线与平面平行
D. 存在体对角线与平面垂直
11. 如图所示为杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，第行的第个数可以表示为时）.在欧洲，这个表被认为是帕斯卡（1623-1662）首先发现的.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就已经出现了这个表，这是我国数学史上的一个伟大成就.同学们开展了数学探究，则下列命题正确的有（ ）
A. 第2026行共有2026个数
B. 从第4行起到第19行，每一行第4个数字之和为
C. 第48行的所有数字之和被7除的余数为1
D. 去除所有为1的项，依次构成数列，则此数列前135项的和为
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若a，b∈R＋，满足a＋b＋3＝ab，则a＋b的取值范围是________.
【答案】
13. 已知一个圆柱和一个圆锥的底面半径相等，高相等，侧面积相等，若圆锥的体积为，则圆柱的底面半径为__________.
14. 已知点在轴上，其既是椭圆的焦点，也是双曲线的焦点.设椭圆和双曲线在第二象限的交点为，点在第一象限的双曲线上，且，若为等轴双曲线，则椭圆的离心率为__________.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15. 在中，角的对边分别，已知.
（1）求角的大小；
（2）若，求的面积.
16. 已知数列满足.
（1）设，证明是等比数列，并求的通项公式；
（2）判断数列的单调性.
17. 袋中有5个除了颜色外完全相同的小球，其中有1个红球，2个黑球，2个白球.现从中不放回地取球，每次取一个球，当三种颜色的球都有取到时停止，记停止时取出的球的个数为随机变量.
（1）求第二次取出的是黑球的情况下第三次取出的是红球的概率；
（2）求的分布列和期望.
18. 设函数为自然对数的底数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，记，证明：
①；（注：）
②.
19. 如图1所示，用一个截面去截圆锥，记圆锥的母线与圆锥的轴线的夹角为，截面与圆锥的轴线的夹角为，当时，截线是圆；当时，截线是椭圆；当时，截线是抛物线；当时，截线为双曲线. 如图2所示，为圆锥的顶点，为底面圆心，为圆的一条直径，且为弧的中点，点满足，点为线段的中点；
（1）求直线与平面所成角的大小；
（2）平面与圆锥的截线记为曲线，在平面内，以所在的直线为轴（设以的方向为轴正方向），以线段的中垂线为轴（设以逆时针旋转后的方向为轴正方向），建立平面直角坐标系.
①求出曲线的标准方程；
②设为曲线上两动点，若的平分线与轴垂直，求证：直线的斜率是定值，并求出这个定值.

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