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广西壮族自治区柳州市2025年一模数学试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1．（2025·柳州模拟）如果将“收入200元记作元”，那么“支出60元”应记作（　　）
A．元 B．元 C．元 D．元
2．（2025·柳州模拟）剪纸艺术是中国最具特色的民间艺术之一，其中蕴含着极致的数学美．下列剪纸图案是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·柳州模拟）中国古代的数学研究成果辉煌，产生的一些数学名词，颇有趣味．如《九章算术》中的“刍童”，原指上、下底面都是长方形的草垛．如图是一个“刍童”形状的几何体，它的主视图和左视图如图所示，则其俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·柳州模拟）若分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·柳州模拟）如图所示的电路中，当随机闭合开关、、中的两个时，能够让灯泡发光的概率为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·柳州模拟）泉州某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”（如图）可抽象为如图所示模型．已知垂直于水平地面．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段将绕点B缓慢向上抬高，段则一直保持水平状态上升（即与始终平行），在该运动过程中的度数始终等于（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·柳州模拟）如图，若在象棋盘上建立平面直角坐标系，使棋子“车”的坐标为（﹣2，2），“马”的坐标为（1，2），则棋子“炮”的坐标为（　　）
A．（3，2） B．（3，1） C．（2，2） D．（﹣2，2）
8．（2025·柳州模拟）不等式组，的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025·柳州模拟）下列计算正确的是(　　)
A． B．
C． D．
10．（2025·柳州模拟）“云南十八怪，草帽当锅盖”，如图草锅盖下宽上窄，呈圆锥状．已知圆锥的底面半径为，母线长为，则此草锅盖的侧面积约是（　　）
A． B． C． D．
11．（2025·柳州模拟）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数．例如图1表示的是孩子出生后30天时打绳结的情况（因为：），那么由图2可知，孩子出生后的天数是（　　）天
A．510 B．511 C．513 D．520
12．（2025·柳州模拟）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，A是函数（，k是不等于0的常数）图象上的一点，的延长线交函数的图象于点C，点A关于y轴的对称点为，点C关于x轴的对称点为、关于原点的对称点是，连接，交x轴于点B，连接，，．若的面积等于2，则四边形的面积等于（　　）
A．7 B．8 C．3 D．4
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（2025·柳州模拟）若，，则的值为　 　．
14．（2025·柳州模拟）2024年嫦娥6号成功在相距约的地月之间完成月壤样品的“空间接力”，最终实现世界首次月球背面采样返回．数据380000用科学记数法表示为　 　．
15．（2025·柳州模拟）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代．细胞在n次分裂后的数量可用数学模型来表示，即：，，，，，…．请你推算的个位数字是　 　．
16．（2025·柳州模拟）量角器和三角板是我们平常数学学习中常用的工具．有一天，爱思考的小聪拿着量角器和三角板拼成了如图1所示的样子，计划让三角板的直角顶点始终在量角器的半圆弧上运动．紧接着小聪根据自己的想法画出了示意图（如图2）．已知C是量角器半圆弧的中点，P为三角板的直角顶点，两直角边，PF分别过点A，B，连接，过点O作于点M，交于点N．若，则的最小值为　 　．
三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（2025·柳州模拟）（1）计算：．
（2）解不等式：．
18．（2025·柳州模拟）如图，已知，，请你从以下条件中选择一个，使得．
①；②；③；④．
（1）你添加的条件是________．（填序号，只填一个）
（2）请利用你所添加的条件证明：．
19．（2025·柳州模拟）随着新能源汽车的普及，我国新能源汽车的保有量已经处于世界第一，解决汽车快速充电技术已经成为新能源汽车发展的主要研究方向，从2023年开始，甚至的快速充电方案已经开始逐步落地．据测试数据显示，使用充电技术，每分钟充电量的续航里程（汽车所能行驶的路程）比采用技术提高了50%，若采用充电技术，续航里程480公里的充电时间，比采用充电技术续航里程400公里的充电时间节省2分钟，求采用充电技术，每分钟充电量的续航里程为多少公里？
20．（2025·柳州模拟）如图，在菱形中，对角线，相交于点O；
（1）尺规作图：过点C作的垂线，垂足为E；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若，，求的值．
21．（2025·柳州模拟）某校组织全校学生参加了“解放思想、创新求变，向海图强、开放发展”主题知识竞赛，为了解竞赛成绩，随机抽样调查了七、八年级各10名学生的成绩（单位：分），过程如下：
【收集数据】八年级10名学生竞赛成绩：75，84，88，98，88，92，88，92，95，100．
七年级10名学生竞赛成绩在范围的是：88，87，87．
【整理数据】
年级
八年级 1 1 m 2 3
七年级 1 2 3 1 3
【分析数据】
年级 平均数 众数 中位数 方差
八年级 90 90 47
七年级 90 87 50.2
根据以上信息，解答下列问题．
（1）填空： ______， ______， ______．
（2）该校七年级学生有800人，八年级学生有1000人，假设七、八年级学生全部参加此次竞赛，请估计两个年级成绩不少于90分的学生总人数．
（3）根据以上信息，你认为该校七、八年级哪个年级的学生知识竞赛成绩更好？请说明理由．
22．（2025·柳州模拟）钱塘江涌潮为世界一大自然奇观，它是天体引力和地球自转的离心作用，加上钱塘江州湾喇叭口的特殊地形所造成的特大涌潮．某日钱塘江的观测信息如下：
×年×月×日 天气：阴 能见度：1.8千米
11：40时，甲地“交叉潮”形成，潮水匀速奔向乙地；
12：10时，潮头到达乙地，形成“一线潮”，开始均匀加速，继续奔向丙地；
12：35时，潮头到达丙地，遇到堤坝阻挡后回头，形成“回头潮”．
按上述信息，小红将“交叉潮”形成后潮头与乙地之间的距离s（单位：千米）与时间t（单位：分钟）的函数关系用图3表示．其中，“11：40时，甲地‘交叉潮’的潮头离乙地12千米”记为点A（0，12），点B的坐标为（m，0），曲线BC可用二次函数：（b，c是常数）刻画．
（1）求m的值，并求出潮头从甲地到乙地的速度．
（2）11：59时，小红骑单车从乙地出发，沿江边公路以0.48千米/分钟的速度往甲地方向行驶，问她几分钟后与潮头相遇？
（3）小红与潮头相遇后，立即调转车头，沿江边公路按潮头速度与潮头并行，但潮头过乙地后均匀加速，而单车的最高速度为0.48千米/分钟，小红逐渐落后．求潮头从开始加速到刚好超过小红时离乙地的距离．（潮水加速阶段的速度，是加速前的速度）
23．（2025·柳州模拟）如图，是的外接圆，过点作于点，交的延长线于点，连接并延长，交的延长线于点，与交于点．已知，，．
（1）求证：是等腰直角三角形．
（2）求的半径．
（3）取线段的两个端点和线段上的一点，若以这三点为顶点的三角形是直角三角形，求的值．
（4）在内取一点，使四边形为平行四边形，连接，，直接写出的面积．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：如果收入200元记作元，那么支出60元应记作元，
故选：B．
【分析】根据正负数表示具有相反意义的量即可求出答案.
2．【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：选项A、B、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：C．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.
3．【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：俯视图是
，
故答案为：D ．
【分析】俯视图就是从几何体的上面看得到的平面图形，能看见的轮廓线画成实线，看不见但又存在的轮廓线画成虚线，从而可得该结合体的俯视图是一个大矩形中套一个虚线矩形，且两矩形相邻顶点用虚线相连.
4．【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵分式有意义，
∴，
解得．
故选：A．
【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：由电路图可知，当同时闭合开关和，和时，灯泡能发光，
画树状图如下：
共有6种等可能结果，其中灯泡能发光的有4种，
∴灯泡能发光的概率为，
故选：C．
【分析】画出树状图，求出所以等可能的结果，再求出能够让灯泡发光的结果，再根据概率公式即可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【解答】解：如图，过点B作，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【分析】过点B作，根据直线平行性质，结合角之间的关系即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：如图所示：
棋子“炮”的坐标为（3，1）．
故选：B．
【分析】本题主要考查点的坐标，根据“车”和“马”的坐标，得到坐标系的原点，建立平面直角坐标系，直接写出棋子“炮”的坐标，得到答案.
8．【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式得：，
解不等式得：，
在数轴上表示如图：
，
故答案为：B。
【分析】先分别求出不等式组中每一个不等式的解集，然后再根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解的原则，即可求解。
9．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘多项式；完全平方公式及运用；去括号法则及应用
【解析】【解答】解：A、原式=a2+3=a5≠a6，此选项不符合题意；
B、原式=-a+b，此选项符合题意；
C、原式=a2+a=≠a2+1，此选项不符合题意；
D、原式=a2+2ab+b2≠a2+b2，此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】A、根据同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”可求解；
B、根据去括号法则"括号前面是“+”号，去掉括号不变号；括号前面是“-”号，去掉括号全变号。"可求解；
C、根据单项式乘以多项式法则"单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加."可求解；
D、根据完全平方公式“（a+b）2=a2+2ab+b2”可求解.
10．【答案】C
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：此草锅盖的侧面积为：．
故选：C．
【分析】根据圆锥的侧面积公式即可求出答案.
11．【答案】A
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；有理数乘方的实际应用
【解析】【解答】解：（天），
答：孩子自出生后的天数是510天．
故答案为：A．
【分析】根据数中各个数位上的数字所表示的实际意义，类比于十进制“满十进一，可以表示满七进一的数为：千位上的数百位上的数十位上的数个位上的数，从而列式计算即可．
12．【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；坐标与图形变化﹣对称；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；中心对称的性质
【解析】【解答】解：如图，延长，交于点E，
令，与y轴的交点分别为M，N．
∵，，
∴
∴．
又∵，
∴．
∵点A关于y轴的对称点为，点C关于x轴的对称点为、关于原点的对称点为，
∴，，．
∵轴，轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【分析】延长，交于点E，令，与y轴的交点分别为M，N，根据三角形面积可得，则，根据边之间的关系可得，根据对称性质可得，，，根据直线平行判定定理可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得MN，再根据梯形面积即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法；求代数式的值-整体代入求值；因式分解的应用-简便运算
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故答案为：．
【分析】提公因式进行化简，再整体代入即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数.
15．【答案】0
【知识点】探索数与式的规律；有理数的乘方法则；探索规律-末尾数字规律
【解析】【解答】解：∵，，，，，…，
∴尾数每4个一循环，
∵，
又∵，
∴每一组的4个数相加以后个位数字为0，
∴51组相加后个位数字为0，
∴的个位数字为0．
故答案为：0．
【分析】根据前5个等式的变换，总结规律，结合有理数的乘方即可求出答案.
16．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；垂径定理；圆周角定理；等腰直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：当点P在上时，点N在线段的右侧，如图，连接，．
是半圆的中点，
，
即，
，
是等腰直角三角形，
作的外接圆，连接，，则圆心T为的中点，
，
，
，
，
，
，
点N在上，运动轨迹是，
过点T作于点H，
，
∴，
，，
，
，
∴．
在中，
，
，
，
，
．
在中，
．
∵，
∴，
的最小值为；
当点P在上时，如图，
在线段的右侧，此时显然大于；
综上所述：的最小值为．
【分析】分情况讨论：当点P在上时，点N在线段的右侧，连接，，根据垂径定理可得，则，根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，作的外接圆，连接，，则圆心T为的中点，根据垂径定理可得，根据等边对等角可得，根据三角形内角和定理可得∠CNP，则点N在上，运动轨迹是，过点T作于点H，根据等腰直角三角形性质可得，，BH，根据勾股定理可得BT，根据边之间的关系即可求出答案；当点P在上时，N在线段的右侧，此时显然大于，即可求出答案.
17．【答案】解：（1）
．
（2）去分母，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
【知识点】零指数幂；解一元一次不等式；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）根据有理数的乘方，0指数幂化简，再根据有理数的混合运算即可求出答案.
（2）去分母，移项，合并同类项，系数化为1即可求出答案.
18．【答案】（1）①（或③或④）
（2）解：∵，
∴，
即，
∵，
∴添加的条件①时，
∵在和中，
∴；
添加的条件③时，
∵在和中，
∴；
添加的条件④时，
∵在和中，
∴．
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：（1）解：可以添加的条件是①或③或④；
故答案为：①（或③或④）．
【分析】（1）根据全等三角形的判定方法求解即可；
（2）根据全等三角形的判定方法证明求解即可。
（1）解：可以添加的条件是①或③或④；
故答案为：①（或③或④）．
（2）解：∵，
∴，
即，
∵，
∴添加的条件①时，
∵在和中，
∴；
添加的条件③时，
∵在和中，
∴；
添加的条件④时，
∵在和中，
∴．
19．【答案】解：设采用充电技术，每分钟充电量的续航里程为公里，则采用充电技术的续航里程为公里，
根据题意，得，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
当时，，
答：采用充电技术，每分钟充电量的续航里程为60公里．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】设采用充电技术，每分钟充电量的续航里程为公里，则采用充电技术的续航里程为公里，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
20．【答案】（1）解：如图，为所作；
（2）解：四边形为菱形，
，，，，
在中，
，
，
，
，
．
【知识点】菱形的性质；尺规作图-垂线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；求余弦值；等积变换
【解析】【分析】（1）根据垂线定义作图即可.
（2）根据菱形性质可得，，，，根据勾股定理可得AB，再根据三角形面积可得CE，再根据余弦定义即可求出答案.
21．【答案】（1）
（2）解：根据题意得（人）．
答：估计两个年级成绩不少于90分的学生总人数为；
（3）解：根据以上数据，我认为该校八年级的学生知识竞赛成绩更好．
理由：八年级的众数、中位数高于七年级，说明八年级的学生知识竞赛成绩更好．
【知识点】中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：，
八年级10名学生竞赛成绩中出现了次，出现次数最多，
众数，
七年级10名学生竞赛成绩中，排在第五、六位的是，
中位数，
故答案为：；
【分析】（1）根据众数，中位数的定义即可求出答案.
（2）根据总人数乘以不少于90分的占比即可求出答案.
（3）根据各统计量的意义进行分析即可求出答案.
（1）解：，
八年级10名学生竞赛成绩中出现了次，出现次数最多，
众数，
七年级10名学生竞赛成绩中，排在第五、六位的是，
中位数，
故答案为：；
（2）解：根据题意得（人）．
答：估计两个年级成绩不少于90分的学生总人数为；
（3）解：根据以上数据，我认为该校八年级的学生知识竞赛成绩更好．
理由：八年级的众数、中位数高于七年级，说明八年级的学生知识竞赛成绩更好．
22．【答案】（1）解：∵到经过的时间是30分钟，
∴点，即，
∴潮头从甲地到乙地的速度为（千米/分钟）．
（2）解：∵潮头的速度为0.4千米/分钟，
时，潮头已前进（千米）．
此时潮头与乙地之间的距离为（千米）．
设小红出发x分钟后与潮头相遇．
依题意，得，
解得，
∴小红5分钟后与潮头相遇．
（3）解：把点，代入，
得，
解得，，
∴．
又∴，
∴．
当潮头的速度达到单车最高速度0.48千米/分钟，即时，
，
解得，
则当时，，
即潮头从开始加速到刚好超过小红时离乙地的距离为千米．
【知识点】一元一次方程的其他应用；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）由图可得点，即，再根据速度=路程÷时间即可求出答案.
（2）设小红出发x分钟后与潮头相遇，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（3）根据待定系数法将点B，C坐标代入解析式可得，则，再将v=0.48代入解析式，可得t值，再将t值代入解析式即可求出答案.
（1）解：∵到经过的时间是30分钟，
∴点，即，
∴潮头从甲地到乙地的速度为（千米/分钟）．
（2）解：∵潮头的速度为0.4千米/分钟，
时，潮头已前进（千米）．
此时潮头与乙地之间的距离为（千米）．
设小红出发x分钟后与潮头相遇．
依题意，得，
解得，
∴小红5分钟后与潮头相遇．
（3）解：把点，代入，
得，
解得，，
∴．
又∴，
∴．
当潮头的速度达到单车最高速度0.48千米/分钟，即时，
，
解得，
则当时，，
即潮头从开始加速到刚好超过小红时离乙地的距离为千米．
23．【答案】（1）解：∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴是等腰直角三角形；
（2）解：设的半径为，
∵，
∴是线段的中垂线，
∵，
∴为等腰直角三角形，即，
∴，
∴，则，
∴，
∵，
∴，
∴，，，
则，
（3）解：如图，连接，则，
∵，，，
∴，，
如图，当时，
在中，，，
则，
过点作于点，
则，
同理，
则，
∴，
∴，
过点作于点，
则，
则，，
故的值为或；
（4）．
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；三角形的外接圆与外心；解直角三角形；等腰直角三角形
【解析】【解答】（4）解：如图，作平行四边形，连接，延长，交于点，过点作于点，
则，，
∴，
在中，，，
过点作，则，则，
过点作直线的垂线于点，
设，
由勾股定理，得，
解得，
则，，
则．
【分析】（1）根据角之间的关系可得，再根据等腰直角三角形判定定理即可求出答案.
（2）设的半径为，根据垂径定理可得是线段的中垂线，根据等腰直角三角形判定定理可得为等腰直角三角形，即，根据直角三角形斜边上的中线可得，根据勾股定理可得BE，再根据三角形面积即可求出答案.
（3）连接，则，解直角三角形可得，，当时，过点作于点，解直角三角形可得EN，AN，根据边之间的关系可得ON，解直角三角形可得，，过点作于点，解直角三角形可得OQ，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴是等腰直角三角形；
（2）解：设的半径为，
∵，
∴是线段的中垂线，
∵，
∴为等腰直角三角形，即，
∴，
∴，则，
∴，
∵，
∴，
∴，，，
则，
（3）如图，连接，则，
∵，，，
∴，，
如图，当时，
在中，，，
则，
过点作于点，
则，
同理，
则，
∴，
∴，
过点作于点，
则，
则，，
故的值为或；
（4）解：如图，作平行四边形，连接，延长，交于点，过点作于点，
则，，
∴，
在中，，，
过点作，则，则，
过点作直线的垂线于点，
设，
由勾股定理，得，
解得，
则，，
则．
1 / 1广西壮族自治区柳州市2025年一模数学试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1．（2025·柳州模拟）如果将“收入200元记作元”，那么“支出60元”应记作（　　）
A．元 B．元 C．元 D．元
【答案】B
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：如果收入200元记作元，那么支出60元应记作元，
故选：B．
【分析】根据正负数表示具有相反意义的量即可求出答案.
2．（2025·柳州模拟）剪纸艺术是中国最具特色的民间艺术之一，其中蕴含着极致的数学美．下列剪纸图案是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：选项A、B、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：C．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.
3．（2025·柳州模拟）中国古代的数学研究成果辉煌，产生的一些数学名词，颇有趣味．如《九章算术》中的“刍童”，原指上、下底面都是长方形的草垛．如图是一个“刍童”形状的几何体，它的主视图和左视图如图所示，则其俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：俯视图是
，
故答案为：D ．
【分析】俯视图就是从几何体的上面看得到的平面图形，能看见的轮廓线画成实线，看不见但又存在的轮廓线画成虚线，从而可得该结合体的俯视图是一个大矩形中套一个虚线矩形，且两矩形相邻顶点用虚线相连.
4．（2025·柳州模拟）若分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵分式有意义，
∴，
解得．
故选：A．
【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案.
5．（2025·柳州模拟）如图所示的电路中，当随机闭合开关、、中的两个时，能够让灯泡发光的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：由电路图可知，当同时闭合开关和，和时，灯泡能发光，
画树状图如下：
共有6种等可能结果，其中灯泡能发光的有4种，
∴灯泡能发光的概率为，
故选：C．
【分析】画出树状图，求出所以等可能的结果，再求出能够让灯泡发光的结果，再根据概率公式即可求出答案.
6．（2025·柳州模拟）泉州某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”（如图）可抽象为如图所示模型．已知垂直于水平地面．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段将绕点B缓慢向上抬高，段则一直保持水平状态上升（即与始终平行），在该运动过程中的度数始终等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【解答】解：如图，过点B作，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【分析】过点B作，根据直线平行性质，结合角之间的关系即可求出答案.
7．（2025·柳州模拟）如图，若在象棋盘上建立平面直角坐标系，使棋子“车”的坐标为（﹣2，2），“马”的坐标为（1，2），则棋子“炮”的坐标为（　　）
A．（3，2） B．（3，1） C．（2，2） D．（﹣2，2）
【答案】B
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：如图所示：
棋子“炮”的坐标为（3，1）．
故选：B．
【分析】本题主要考查点的坐标，根据“车”和“马”的坐标，得到坐标系的原点，建立平面直角坐标系，直接写出棋子“炮”的坐标，得到答案.
8．（2025·柳州模拟）不等式组，的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式得：，
解不等式得：，
在数轴上表示如图：
，
故答案为：B。
【分析】先分别求出不等式组中每一个不等式的解集，然后再根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解的原则，即可求解。
9．（2025·柳州模拟）下列计算正确的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘多项式；完全平方公式及运用；去括号法则及应用
【解析】【解答】解：A、原式=a2+3=a5≠a6，此选项不符合题意；
B、原式=-a+b，此选项符合题意；
C、原式=a2+a=≠a2+1，此选项不符合题意；
D、原式=a2+2ab+b2≠a2+b2，此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】A、根据同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”可求解；
B、根据去括号法则"括号前面是“+”号，去掉括号不变号；括号前面是“-”号，去掉括号全变号。"可求解；
C、根据单项式乘以多项式法则"单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加."可求解；
D、根据完全平方公式“（a+b）2=a2+2ab+b2”可求解.
10．（2025·柳州模拟）“云南十八怪，草帽当锅盖”，如图草锅盖下宽上窄，呈圆锥状．已知圆锥的底面半径为，母线长为，则此草锅盖的侧面积约是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：此草锅盖的侧面积为：．
故选：C．
【分析】根据圆锥的侧面积公式即可求出答案.
11．（2025·柳州模拟）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数．例如图1表示的是孩子出生后30天时打绳结的情况（因为：），那么由图2可知，孩子出生后的天数是（　　）天
A．510 B．511 C．513 D．520
【答案】A
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；有理数乘方的实际应用
【解析】【解答】解：（天），
答：孩子自出生后的天数是510天．
故答案为：A．
【分析】根据数中各个数位上的数字所表示的实际意义，类比于十进制“满十进一，可以表示满七进一的数为：千位上的数百位上的数十位上的数个位上的数，从而列式计算即可．
12．（2025·柳州模拟）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，A是函数（，k是不等于0的常数）图象上的一点，的延长线交函数的图象于点C，点A关于y轴的对称点为，点C关于x轴的对称点为、关于原点的对称点是，连接，交x轴于点B，连接，，．若的面积等于2，则四边形的面积等于（　　）
A．7 B．8 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；坐标与图形变化﹣对称；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；中心对称的性质
【解析】【解答】解：如图，延长，交于点E，
令，与y轴的交点分别为M，N．
∵，，
∴
∴．
又∵，
∴．
∵点A关于y轴的对称点为，点C关于x轴的对称点为、关于原点的对称点为，
∴，，．
∵轴，轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【分析】延长，交于点E，令，与y轴的交点分别为M，N，根据三角形面积可得，则，根据边之间的关系可得，根据对称性质可得，，，根据直线平行判定定理可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得MN，再根据梯形面积即可求出答案.
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（2025·柳州模拟）若，，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法；求代数式的值-整体代入求值；因式分解的应用-简便运算
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故答案为：．
【分析】提公因式进行化简，再整体代入即可求出答案.
14．（2025·柳州模拟）2024年嫦娥6号成功在相距约的地月之间完成月壤样品的“空间接力”，最终实现世界首次月球背面采样返回．数据380000用科学记数法表示为　 　．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数.
15．（2025·柳州模拟）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代．细胞在n次分裂后的数量可用数学模型来表示，即：，，，，，…．请你推算的个位数字是　 　．
【答案】0
【知识点】探索数与式的规律；有理数的乘方法则；探索规律-末尾数字规律
【解析】【解答】解：∵，，，，，…，
∴尾数每4个一循环，
∵，
又∵，
∴每一组的4个数相加以后个位数字为0，
∴51组相加后个位数字为0，
∴的个位数字为0．
故答案为：0．
【分析】根据前5个等式的变换，总结规律，结合有理数的乘方即可求出答案.
16．（2025·柳州模拟）量角器和三角板是我们平常数学学习中常用的工具．有一天，爱思考的小聪拿着量角器和三角板拼成了如图1所示的样子，计划让三角板的直角顶点始终在量角器的半圆弧上运动．紧接着小聪根据自己的想法画出了示意图（如图2）．已知C是量角器半圆弧的中点，P为三角板的直角顶点，两直角边，PF分别过点A，B，连接，过点O作于点M，交于点N．若，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；垂径定理；圆周角定理；等腰直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：当点P在上时，点N在线段的右侧，如图，连接，．
是半圆的中点，
，
即，
，
是等腰直角三角形，
作的外接圆，连接，，则圆心T为的中点，
，
，
，
，
，
，
点N在上，运动轨迹是，
过点T作于点H，
，
∴，
，，
，
，
∴．
在中，
，
，
，
，
．
在中，
．
∵，
∴，
的最小值为；
当点P在上时，如图，
在线段的右侧，此时显然大于；
综上所述：的最小值为．
【分析】分情况讨论：当点P在上时，点N在线段的右侧，连接，，根据垂径定理可得，则，根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，作的外接圆，连接，，则圆心T为的中点，根据垂径定理可得，根据等边对等角可得，根据三角形内角和定理可得∠CNP，则点N在上，运动轨迹是，过点T作于点H，根据等腰直角三角形性质可得，，BH，根据勾股定理可得BT，根据边之间的关系即可求出答案；当点P在上时，N在线段的右侧，此时显然大于，即可求出答案.
三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（2025·柳州模拟）（1）计算：．
（2）解不等式：．
【答案】解：（1）
．
（2）去分母，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
【知识点】零指数幂；解一元一次不等式；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）根据有理数的乘方，0指数幂化简，再根据有理数的混合运算即可求出答案.
（2）去分母，移项，合并同类项，系数化为1即可求出答案.
18．（2025·柳州模拟）如图，已知，，请你从以下条件中选择一个，使得．
①；②；③；④．
（1）你添加的条件是________．（填序号，只填一个）
（2）请利用你所添加的条件证明：．
【答案】（1）①（或③或④）
（2）解：∵，
∴，
即，
∵，
∴添加的条件①时，
∵在和中，
∴；
添加的条件③时，
∵在和中，
∴；
添加的条件④时，
∵在和中，
∴．
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：（1）解：可以添加的条件是①或③或④；
故答案为：①（或③或④）．
【分析】（1）根据全等三角形的判定方法求解即可；
（2）根据全等三角形的判定方法证明求解即可。
（1）解：可以添加的条件是①或③或④；
故答案为：①（或③或④）．
（2）解：∵，
∴，
即，
∵，
∴添加的条件①时，
∵在和中，
∴；
添加的条件③时，
∵在和中，
∴；
添加的条件④时，
∵在和中，
∴．
19．（2025·柳州模拟）随着新能源汽车的普及，我国新能源汽车的保有量已经处于世界第一，解决汽车快速充电技术已经成为新能源汽车发展的主要研究方向，从2023年开始，甚至的快速充电方案已经开始逐步落地．据测试数据显示，使用充电技术，每分钟充电量的续航里程（汽车所能行驶的路程）比采用技术提高了50%，若采用充电技术，续航里程480公里的充电时间，比采用充电技术续航里程400公里的充电时间节省2分钟，求采用充电技术，每分钟充电量的续航里程为多少公里？
【答案】解：设采用充电技术，每分钟充电量的续航里程为公里，则采用充电技术的续航里程为公里，
根据题意，得，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
当时，，
答：采用充电技术，每分钟充电量的续航里程为60公里．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】设采用充电技术，每分钟充电量的续航里程为公里，则采用充电技术的续航里程为公里，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
20．（2025·柳州模拟）如图，在菱形中，对角线，相交于点O；
（1）尺规作图：过点C作的垂线，垂足为E；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若，，求的值．
【答案】（1）解：如图，为所作；
（2）解：四边形为菱形，
，，，，
在中，
，
，
，
，
．
【知识点】菱形的性质；尺规作图-垂线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；求余弦值；等积变换
【解析】【分析】（1）根据垂线定义作图即可.
（2）根据菱形性质可得，，，，根据勾股定理可得AB，再根据三角形面积可得CE，再根据余弦定义即可求出答案.
21．（2025·柳州模拟）某校组织全校学生参加了“解放思想、创新求变，向海图强、开放发展”主题知识竞赛，为了解竞赛成绩，随机抽样调查了七、八年级各10名学生的成绩（单位：分），过程如下：
【收集数据】八年级10名学生竞赛成绩：75，84，88，98，88，92，88，92，95，100．
七年级10名学生竞赛成绩在范围的是：88，87，87．
【整理数据】
年级
八年级 1 1 m 2 3
七年级 1 2 3 1 3
【分析数据】
年级 平均数 众数 中位数 方差
八年级 90 90 47
七年级 90 87 50.2
根据以上信息，解答下列问题．
（1）填空： ______， ______， ______．
（2）该校七年级学生有800人，八年级学生有1000人，假设七、八年级学生全部参加此次竞赛，请估计两个年级成绩不少于90分的学生总人数．
（3）根据以上信息，你认为该校七、八年级哪个年级的学生知识竞赛成绩更好？请说明理由．
【答案】（1）
（2）解：根据题意得（人）．
答：估计两个年级成绩不少于90分的学生总人数为；
（3）解：根据以上数据，我认为该校八年级的学生知识竞赛成绩更好．
理由：八年级的众数、中位数高于七年级，说明八年级的学生知识竞赛成绩更好．
【知识点】中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：，
八年级10名学生竞赛成绩中出现了次，出现次数最多，
众数，
七年级10名学生竞赛成绩中，排在第五、六位的是，
中位数，
故答案为：；
【分析】（1）根据众数，中位数的定义即可求出答案.
（2）根据总人数乘以不少于90分的占比即可求出答案.
（3）根据各统计量的意义进行分析即可求出答案.
（1）解：，
八年级10名学生竞赛成绩中出现了次，出现次数最多，
众数，
七年级10名学生竞赛成绩中，排在第五、六位的是，
中位数，
故答案为：；
（2）解：根据题意得（人）．
答：估计两个年级成绩不少于90分的学生总人数为；
（3）解：根据以上数据，我认为该校八年级的学生知识竞赛成绩更好．
理由：八年级的众数、中位数高于七年级，说明八年级的学生知识竞赛成绩更好．
22．（2025·柳州模拟）钱塘江涌潮为世界一大自然奇观，它是天体引力和地球自转的离心作用，加上钱塘江州湾喇叭口的特殊地形所造成的特大涌潮．某日钱塘江的观测信息如下：
×年×月×日 天气：阴 能见度：1.8千米
11：40时，甲地“交叉潮”形成，潮水匀速奔向乙地；
12：10时，潮头到达乙地，形成“一线潮”，开始均匀加速，继续奔向丙地；
12：35时，潮头到达丙地，遇到堤坝阻挡后回头，形成“回头潮”．
按上述信息，小红将“交叉潮”形成后潮头与乙地之间的距离s（单位：千米）与时间t（单位：分钟）的函数关系用图3表示．其中，“11：40时，甲地‘交叉潮’的潮头离乙地12千米”记为点A（0，12），点B的坐标为（m，0），曲线BC可用二次函数：（b，c是常数）刻画．
（1）求m的值，并求出潮头从甲地到乙地的速度．
（2）11：59时，小红骑单车从乙地出发，沿江边公路以0.48千米/分钟的速度往甲地方向行驶，问她几分钟后与潮头相遇？
（3）小红与潮头相遇后，立即调转车头，沿江边公路按潮头速度与潮头并行，但潮头过乙地后均匀加速，而单车的最高速度为0.48千米/分钟，小红逐渐落后．求潮头从开始加速到刚好超过小红时离乙地的距离．（潮水加速阶段的速度，是加速前的速度）
【答案】（1）解：∵到经过的时间是30分钟，
∴点，即，
∴潮头从甲地到乙地的速度为（千米/分钟）．
（2）解：∵潮头的速度为0.4千米/分钟，
时，潮头已前进（千米）．
此时潮头与乙地之间的距离为（千米）．
设小红出发x分钟后与潮头相遇．
依题意，得，
解得，
∴小红5分钟后与潮头相遇．
（3）解：把点，代入，
得，
解得，，
∴．
又∴，
∴．
当潮头的速度达到单车最高速度0.48千米/分钟，即时，
，
解得，
则当时，，
即潮头从开始加速到刚好超过小红时离乙地的距离为千米．
【知识点】一元一次方程的其他应用；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）由图可得点，即，再根据速度=路程÷时间即可求出答案.
（2）设小红出发x分钟后与潮头相遇，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（3）根据待定系数法将点B，C坐标代入解析式可得，则，再将v=0.48代入解析式，可得t值，再将t值代入解析式即可求出答案.
（1）解：∵到经过的时间是30分钟，
∴点，即，
∴潮头从甲地到乙地的速度为（千米/分钟）．
（2）解：∵潮头的速度为0.4千米/分钟，
时，潮头已前进（千米）．
此时潮头与乙地之间的距离为（千米）．
设小红出发x分钟后与潮头相遇．
依题意，得，
解得，
∴小红5分钟后与潮头相遇．
（3）解：把点，代入，
得，
解得，，
∴．
又∴，
∴．
当潮头的速度达到单车最高速度0.48千米/分钟，即时，
，
解得，
则当时，，
即潮头从开始加速到刚好超过小红时离乙地的距离为千米．
23．（2025·柳州模拟）如图，是的外接圆，过点作于点，交的延长线于点，连接并延长，交的延长线于点，与交于点．已知，，．
（1）求证：是等腰直角三角形．
（2）求的半径．
（3）取线段的两个端点和线段上的一点，若以这三点为顶点的三角形是直角三角形，求的值．
（4）在内取一点，使四边形为平行四边形，连接，，直接写出的面积．
【答案】（1）解：∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴是等腰直角三角形；
（2）解：设的半径为，
∵，
∴是线段的中垂线，
∵，
∴为等腰直角三角形，即，
∴，
∴，则，
∴，
∵，
∴，
∴，，，
则，
（3）解：如图，连接，则，
∵，，，
∴，，
如图，当时，
在中，，，
则，
过点作于点，
则，
同理，
则，
∴，
∴，
过点作于点，
则，
则，，
故的值为或；
（4）．
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；三角形的外接圆与外心；解直角三角形；等腰直角三角形
【解析】【解答】（4）解：如图，作平行四边形，连接，延长，交于点，过点作于点，
则，，
∴，
在中，，，
过点作，则，则，
过点作直线的垂线于点，
设，
由勾股定理，得，
解得，
则，，
则．
【分析】（1）根据角之间的关系可得，再根据等腰直角三角形判定定理即可求出答案.
（2）设的半径为，根据垂径定理可得是线段的中垂线，根据等腰直角三角形判定定理可得为等腰直角三角形，即，根据直角三角形斜边上的中线可得，根据勾股定理可得BE，再根据三角形面积即可求出答案.
（3）连接，则，解直角三角形可得，，当时，过点作于点，解直角三角形可得EN，AN，根据边之间的关系可得ON，解直角三角形可得，，过点作于点，解直角三角形可得OQ，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴是等腰直角三角形；
（2）解：设的半径为，
∵，
∴是线段的中垂线，
∵，
∴为等腰直角三角形，即，
∴，
∴，则，
∴，
∵，
∴，
∴，，，
则，
（3）如图，连接，则，
∵，，，
∴，，
如图，当时，
在中，，，
则，
过点作于点，
则，
同理，
则，
∴，
∴，
过点作于点，
则，
则，，
故的值为或；
（4）解：如图，作平行四边形，连接，延长，交于点，过点作于点，
则，，
∴，
在中，，，
过点作，则，则，
过点作直线的垂线于点，
设，
由勾股定理，得，
解得，
则，，
则．
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