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广西壮族自治区柳州市2025年中考二模数学试题
一、选择题（每题3分，共36分）
1．（2025·柳州模拟）如图，实数，，，在数轴上表示如下，则最大的实数为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·柳州模拟）右图是我们生活中常用的“空心卷纸”，其主视图为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·柳州模拟）近几年来，中国已成为全球机器人产业发展的中坚力量．据统计，中国年上半年的服务机器人产量为套．数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·柳州模拟）不等式组的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025·柳州模拟）在下列天气符号中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·柳州模拟）下列运算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·柳州模拟）如图，一辆货车，为了方便装运货物，使用了三角形钢架，已知，，，则的长为（　　）．
A． B． C． D．
8．（2025·柳州模拟）如图所示，在洞孔成像问题中，已知玻璃棒与它的物像平行，已知玻璃棒厘米，根据图中给定的尺寸，那么它的物像的长是（　　）厘米．
A． B． C． D．
9．（2025·柳州模拟）已知反比例函数的图象经过点，则a的值为（　　）
A．3 B． C．12 D．
10．（2025·柳州模拟）《孙子算经》是中国古代最重要的数学著作，约成书于四、五世纪．现在的传本共三卷，卷上叙述算筹记数的纵横相间制度和筹算乘除法；卷中举例说明筹算分数算法和筹算开平方法；卷下记录算题，不但提供了答案，而且还给出了解法．其中记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺．木长几何？”译文：“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？”设绳子长x尺，木长y尺，可列方程组为(　　)
A． B．
C． D．
11．（2025·柳州模拟）某款纯电动汽车采取智能快速充电模式进行充电，当充电量达到电池容量的时，为保护电池，充电速度会明显降低．如图是该款电动汽车某次充电时，汽车电池含电率y（电池含电率=）随充电时间x(分钟)变化的函数图象，下列说法错误的是（ ）
A．本次充电开始时汽车电池内仅剩的电量
B．本次充电40分钟，汽车电池含电率达到
C．本次充电持续时间是120分钟
D．若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电70千瓦时，则本次充电耗电63千瓦时
12．（2025·柳州模拟）我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，即通过圆内接正多边形割圆，从正六边形开始，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形，…．边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”来计算圆周率．设圆的半径为R，图1中圆内接正六边形的周长，则．再利用图2圆的内接正十二边形计算圆周率，首先要计算它的周长，下列结果正确的是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题3分，共12分．）
13．（2025·柳州模拟）因式分解：　 　．
14．（2025·柳州模拟）在学校的卫生检查中，规定各班的教室卫生成绩占，环境卫生成绩占，个人卫生成绩占，七年级三班这三项成绩分别为分，分和分，则该班卫生检查的总成绩为　 　分．
15．（2025·柳州模拟）随着“低碳”生活方式已融入人们的日常生活，越来越多的人们采用骑行共享单车这种出行方式．如图是共享单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为　 　．
16．（2025·柳州模拟）直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（a，2），则关于x的不等式x+1≥mx+n的解集为　 　．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（2025·柳州模拟）先化简，再求值：，其中．
18．（2025·柳州模拟）近日，国产AI大模型DeepSeek的爆火引发了全球科技界的广泛关注．人工智能（AI）是一种模拟人类智能行为的科学和技术．它通过计算机系统模拟、延伸和扩展人类的感知、推理、学习和决策等智能能力，使机器能够像人一样进行思考和处理问题．现有四场网络直播，这四场直播分别以A．机器人技术，B．计算机视觉，C．自然语言处理，D．专家系统为主题，对这四类人工智能分别进行讲解，这四场直播同时开始．晓玲和梅梅准备各自听一场网络直播然后两人互相分享，晓玲先从这四类中随机选择一类进直播间听讲解，然后梅梅从剩下的三类中随机选择一类进直播间听讲解．
（1）晓玲选择机器人技术的概率是______；
（2）请用画树状图或列表法，求晓玲和梅梅中有一人选择自然语言处理的概率．
19．（2025·柳州模拟）港珠澳大桥是一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程．根据规定，内地货车载重后总质量超过吨的禁止通行，现有一辆自重吨的货车，要运输若干套某种设备，每套设备由个部件和个部件组成，这种设备必须成套运输，已知个部件和个部件的总质量为吨，个部件和个部件的质量相等．
（1）求个部件和个部件的质量各为多少吨？
（2）该货车要从珠海运输这种成套设备经由港珠澳大桥到香港，一次最多可运输多少套这种设备？
20．（2025·柳州模拟）“水门礼”是民航最高级别的礼仪，寓意接风洗尘，国产大飞机首航抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”．如图1，两辆车向飞机喷射水柱，形成的两条水柱形状相同，均可以看作是抛物线的一部分，当两辆车喷水口的水平距离为60米，两条水柱在抛物线的顶点处相遇．建立直角坐标系，如图2，此时顶点距离地面22米，喷水口，点距地面均为4米．（喷射水柱的动力和角度均保持不变）
（1）请写出经过，，三点的抛物线的函数解析式．
（2）若两辆车同时向后退10米，两条水柱形状及喷水口到地面的距离均保持不变，两条水柱的相遇点距离地面多少米？
21．（2025·柳州模拟）如图，，，，是上的四点，是直径，，的切线交的延长线于点．连接并延长交于，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求的半径．
22．（2025·柳州模拟）综合与探索
【探索发现】如图，等腰直角三角形中，，，过点作交于点，过点作交于点，易得，我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明）
【迁移应用】如图，在直角坐标系中，直线：分别与轴，轴交于点、，
（1）直接写出______，______；
（2）将直线绕点顺时针旋转得直线，求出直线解析式：
小明的解题思路是：在第二象限构造等腰直角，使得，，根据型全等和坐标之间的关系，求出点的坐标为______；通过，两点坐标求出直线的解析式______；
（3）如图，将直线绕点顺时针旋转得到，求的函数解析式．
23．（2025·柳州模拟）在矩形中，，，以点为旋转中心，逆时针旋转矩形，旋转角为，得到矩形，点、点、点的对应点分别为点、点、点．
（1）如图①，当点落在边上时，求线段的长度；
（2）如图②，当点落在线段上时，与相交于点，连接，
①求证：；
②求线段的长度．
（3）如图③设点为边的中点，连接，，在矩形旋转过程中，的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】实数在数轴上表示；有理数的大小比较-数轴比较法
【解析】【解答】解：∵，
∴最大的实数为，
故选：A．
【分析】根据数轴比较法比较大小即可求出答案.
2．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：卷纸的主视图应是：
，
故答案为：C．
【分析】根据简单几何体的三视图即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故选：．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数.
4．【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
∴不等式组的解集为：，
在数轴上表示为：
，
故选：B．
【分析】分别求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集，再将解集在数轴上表示出来即可.
5．【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：选项B、C、D的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项A的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：A ．
【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
6．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故选项不符合题意；
B、，故选项不符合题意；
C、，故选项不符合题意；
D、，计算正确，故选项符合题意；
故选：D．
【分析】根据合并同类项，完全平方公式，积的乘方，幂的乘方，单项式除以单项式逐项进行判断即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：．
【分析】根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
8．【答案】D
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：过作于点，延长，交于点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：．
【分析】过作于点，延长，交于点，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
9．【答案】B
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：把点代入得：
．
故选：B．
【分析】将点代入解析式即可求出答案.
10．【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意可得：
，
故选：B．
【分析】根据绳长-木长=4.5；绳长=木长-1，建立方程组即可求出答案.
11．【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：A、由函数图象可知，本次充电开始时汽车电池内仅剩的电量，正确，不符合题意；
B、由函数图象可知，本次充电40分钟，汽车电池含电率达到，正确，不符合题意；
C、由函数图象可知，本次充电持续时间是120分钟，正确，不符合题意；
D、若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电70千瓦时，那么从到的电量变化对应的耗电量是70千瓦时，
到的电量变化对应的耗电量为千瓦，错误，符合题意，
故选：D
【分析】根据函数图象信息即可求出答案.
12．【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；圆内接正多边形；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵十二边形是正十二边形，
∴，
∵于M，又，
∴，
∵正边形的周长，
∴圆内接正十二边形的周长，
故选：A．
【分析】根据正多边形性质即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：
故答案为：．
【分析】根据提公因式进行因式分解即可求出答案.
14．【答案】86
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：该班卫生检查的总成绩为
，
故答案为：．
【分析】根据加权平均数即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】根据直线平行性质可得，根据角之间的关系可得∠DEF，再根据直线平行性质即可求出答案.
16．【答案】x≥1
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：将点P(a，2)坐标代入直线y＝x+1，得a＝1，
∴P（1，2），
从图中直接看出，在P点右侧时，直线l1：y＝x+1在直线l2：y＝mx+n的上方，
即当x≥1时，x+1≥mx+n，
故答案为：x≥1．
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特点，将P(a，2)代入直线l1：y＝x+1中求出a的值，可得点P的坐标；从图象角度来看，求 关于x的不等式x+1≥mx+n的解集，就是求直线l1在直线l2上方部分相应的自变量的取值范围，结合交点坐标即可得出答案.
17．【答案】解：
，
当时，
原式．
【知识点】分式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算化简，再将x=3代入即可求出答案.
18．【答案】（1）
（2）解：画树状图如下：
由图可得，共有12种等可能的结果，其中晓玲和梅梅中有一人选择自然语言处理的结果有6种，
（晓玲和梅梅中有一人选择自然语言处理）．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）解：共4种等可能结果，其中1种符合题意，
∴晓玲选择机器人技术的概率是；
故答案为：；
【分析】（1）根据概率公式即可求出答案.
（2）画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出其中晓玲和梅梅中有一人选择自然语言处理的结果，再根据概率公式即可求出答案.
（1）解：共4种等可能结果，其中1种符合题意，
∴晓玲选择机器人技术的概率是；
故答案为：；
（2）解：画树状图如下：
由图可得，共有12种等可能的结果，其中晓玲和梅梅中有一人选择自然语言处理的结果有6种，
（晓玲和梅梅中有一人选择自然语言处理）．
19．【答案】（1）解：设个A部件质量为吨，个部件质量为吨
解得
答：个部件质量为吨，个部件质量为吨
（2）解：设一次可以运送套这种设备，
为整数
答：一次最多可以运送套这种设备
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【分析】（1）设个A部件质量为吨，个部件质量为吨，根据个部件和个部件的总质量为吨，个部件和个部件的质量相等列出二元一次方程组，解方程组即可求出答案.
（2）设一次可以运送套这种设备，根据内地货车载重后总质量不超过吨列出不等式，求不等式即可求出答案.
20．【答案】（1）解：设抛物线解析式为：，
又两辆车喷水口的水平距离为60米，即，
将代入解析式，得：，
解得：，
；
（2）解：两辆车同时后退米，即抛物线向右平移后的抛物线解析式为：
，
当时，，
∴两条水柱的相遇点距离地面米．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-喷水问题；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）设抛物线解析式为：，根据待定系数法将点B坐标代入解析式即可求出答案.
（2）根据函数图象的平移规律：上加下减，左加右减可得平移后的抛物线解析式为，再将x=0代入解析式即可求出答案.
（1）解：设抛物线解析式为：，
又两辆车喷水口的水平距离为60米，即，
将代入解析式，得：，
解得：，
；
（2）解：两辆车同时后退米，即抛物线向右平移后的抛物线解析式为：
，
当时，，
∴两条水柱的相遇点距离地面米．
21．【答案】（1）解：∵是直径，
∴，
∵的切线交的延长线于点，
∴，
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵垂直平分，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
设的半径为，则，，
∴，解得：，
∴的半径为．
【知识点】线段垂直平分线的性质；矩形的判定；切线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理的推论可得，根据切线性质可得，根据垂直平分线判定定理可得垂直平分，则，再根据矩形判定定理即可求出答案.
（2）根据垂直平分线性质可得，根据矩形性质可得，设的半径为，则，，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：∵是直径，
∴，
∵的切线交的延长线于点，
∴，
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵垂直平分，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
设的半径为，则，，
∴，解得：，
∴的半径为．
22．【答案】（1），；
（2），；
（3）解：过点作交于点，过点作轴，过点作轴与交于点，与轴交于点，如图，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
∴，解得，
∴，
∴设直线解析式为
，解得，
∴的函数表达式为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等及其性质；一次函数的实际应用-几何问题；同侧一线三垂直全等模型；等腰三角形的概念
【解析】【解答】（1）解：如图，在直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，
令，解得，令，得，解得：，
∴点的坐标为，点的坐标为，
∴，，
故答案为：，；
（2）解：过点作轴于，如图，
则，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴点的坐标为，
设解析式为，
∴，解得：，
∴解析式为，
故答案为：，；
【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标分别将x=0，y=0代入解析式可得点的坐标为，点的坐标为，再根据两点间距离即可求出答案.
（2）过点作轴于，则，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，根据点的坐标可得点的坐标为，设解析式为，再根据待定系数法将点A，E坐标代入解析式即可求出答案.
（3）过点作交于点，过点作轴，过点作轴与交于点，与轴交于点，根据等腰直角三角形性质可得，则，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，设，则，，根据边之间的关系建立方程，解方程可得，则，设直线解析式为，再根据待定系数法将点A，C坐标代入解析式即可求出答案.
（1）解：如图，在直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，
令，解得，令，得，解得：，
∴点的坐标为，点的坐标为，
∴，，
故答案为：，；
（2）解：过点作轴于，如图，
则，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴点的坐标为，
设解析式为，
∴，解得：，
∴解析式为，
故答案为：，；
（3）解：过点作交于点，过点作轴，过点作轴与交于点，与轴交于点，如图，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
∴，解得，
∴，
∴设直线解析式为
，解得，
∴的函数表达式为．
23．【答案】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵矩形是由矩形旋转得到，
∴，
故在中，，
∴．
（2）①证明：∵当点落在线段上，
∴，
又∵，，
在和中，
∴，
∴，
∴．
②解：设，
在中，∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：存在．理由如下：
连接，作于，如图，
当与共线，且时，面积最大，
∵点为边的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
则，
∴的面积的最大值为．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；矩形的性质；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据矩形性质可得，根据旋转性质可得，根据勾股定理即可求出答案.
（2）①根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
②设，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（3）连接，作于，当与共线，且时，面积最大，根据线段中点可得，根据勾股定理可得PA，再根据三角形面积即可求出答案.
（1）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵矩形是由矩形旋转得到，
∴，
故在中，，
∴．
（2）①证明：∵当点落在线段上，
∴，
又∵，，
在和中，
∴，
∴，
∴．
②解：设，
在中，∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：存在．理由如下：
连接，作于，如图，
当与共线，且时，面积最大，
∵点为边的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
则，
∴的面积的最大值为．
1 / 1广西壮族自治区柳州市2025年中考二模数学试题
一、选择题（每题3分，共36分）
1．（2025·柳州模拟）如图，实数，，，在数轴上表示如下，则最大的实数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】实数在数轴上表示；有理数的大小比较-数轴比较法
【解析】【解答】解：∵，
∴最大的实数为，
故选：A．
【分析】根据数轴比较法比较大小即可求出答案.
2．（2025·柳州模拟）右图是我们生活中常用的“空心卷纸”，其主视图为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：卷纸的主视图应是：
，
故答案为：C．
【分析】根据简单几何体的三视图即可求出答案.
3．（2025·柳州模拟）近几年来，中国已成为全球机器人产业发展的中坚力量．据统计，中国年上半年的服务机器人产量为套．数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故选：．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数.
4．（2025·柳州模拟）不等式组的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
∴不等式组的解集为：，
在数轴上表示为：
，
故选：B．
【分析】分别求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集，再将解集在数轴上表示出来即可.
5．（2025·柳州模拟）在下列天气符号中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：选项B、C、D的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项A的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：A ．
【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
6．（2025·柳州模拟）下列运算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故选项不符合题意；
B、，故选项不符合题意；
C、，故选项不符合题意；
D、，计算正确，故选项符合题意；
故选：D．
【分析】根据合并同类项，完全平方公式，积的乘方，幂的乘方，单项式除以单项式逐项进行判断即可求出答案.
7．（2025·柳州模拟）如图，一辆货车，为了方便装运货物，使用了三角形钢架，已知，，，则的长为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：．
【分析】根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
8．（2025·柳州模拟）如图所示，在洞孔成像问题中，已知玻璃棒与它的物像平行，已知玻璃棒厘米，根据图中给定的尺寸，那么它的物像的长是（　　）厘米．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：过作于点，延长，交于点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：．
【分析】过作于点，延长，交于点，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
9．（2025·柳州模拟）已知反比例函数的图象经过点，则a的值为（　　）
A．3 B． C．12 D．
【答案】B
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：把点代入得：
．
故选：B．
【分析】将点代入解析式即可求出答案.
10．（2025·柳州模拟）《孙子算经》是中国古代最重要的数学著作，约成书于四、五世纪．现在的传本共三卷，卷上叙述算筹记数的纵横相间制度和筹算乘除法；卷中举例说明筹算分数算法和筹算开平方法；卷下记录算题，不但提供了答案，而且还给出了解法．其中记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺．木长几何？”译文：“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？”设绳子长x尺，木长y尺，可列方程组为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意可得：
，
故选：B．
【分析】根据绳长-木长=4.5；绳长=木长-1，建立方程组即可求出答案.
11．（2025·柳州模拟）某款纯电动汽车采取智能快速充电模式进行充电，当充电量达到电池容量的时，为保护电池，充电速度会明显降低．如图是该款电动汽车某次充电时，汽车电池含电率y（电池含电率=）随充电时间x(分钟)变化的函数图象，下列说法错误的是（ ）
A．本次充电开始时汽车电池内仅剩的电量
B．本次充电40分钟，汽车电池含电率达到
C．本次充电持续时间是120分钟
D．若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电70千瓦时，则本次充电耗电63千瓦时
【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：A、由函数图象可知，本次充电开始时汽车电池内仅剩的电量，正确，不符合题意；
B、由函数图象可知，本次充电40分钟，汽车电池含电率达到，正确，不符合题意；
C、由函数图象可知，本次充电持续时间是120分钟，正确，不符合题意；
D、若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电70千瓦时，那么从到的电量变化对应的耗电量是70千瓦时，
到的电量变化对应的耗电量为千瓦，错误，符合题意，
故选：D
【分析】根据函数图象信息即可求出答案.
12．（2025·柳州模拟）我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，即通过圆内接正多边形割圆，从正六边形开始，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形，…．边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”来计算圆周率．设圆的半径为R，图1中圆内接正六边形的周长，则．再利用图2圆的内接正十二边形计算圆周率，首先要计算它的周长，下列结果正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；圆内接正多边形；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵十二边形是正十二边形，
∴，
∵于M，又，
∴，
∵正边形的周长，
∴圆内接正十二边形的周长，
故选：A．
【分析】根据正多边形性质即可求出答案.
二、填空题（每小题3分，共12分．）
13．（2025·柳州模拟）因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：
故答案为：．
【分析】根据提公因式进行因式分解即可求出答案.
14．（2025·柳州模拟）在学校的卫生检查中，规定各班的教室卫生成绩占，环境卫生成绩占，个人卫生成绩占，七年级三班这三项成绩分别为分，分和分，则该班卫生检查的总成绩为　 　分．
【答案】86
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：该班卫生检查的总成绩为
，
故答案为：．
【分析】根据加权平均数即可求出答案.
15．（2025·柳州模拟）随着“低碳”生活方式已融入人们的日常生活，越来越多的人们采用骑行共享单车这种出行方式．如图是共享单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】根据直线平行性质可得，根据角之间的关系可得∠DEF，再根据直线平行性质即可求出答案.
16．（2025·柳州模拟）直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（a，2），则关于x的不等式x+1≥mx+n的解集为　 　．
【答案】x≥1
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：将点P(a，2)坐标代入直线y＝x+1，得a＝1，
∴P（1，2），
从图中直接看出，在P点右侧时，直线l1：y＝x+1在直线l2：y＝mx+n的上方，
即当x≥1时，x+1≥mx+n，
故答案为：x≥1．
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特点，将P(a，2)代入直线l1：y＝x+1中求出a的值，可得点P的坐标；从图象角度来看，求 关于x的不等式x+1≥mx+n的解集，就是求直线l1在直线l2上方部分相应的自变量的取值范围，结合交点坐标即可得出答案.
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（2025·柳州模拟）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
，
当时，
原式．
【知识点】分式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算化简，再将x=3代入即可求出答案.
18．（2025·柳州模拟）近日，国产AI大模型DeepSeek的爆火引发了全球科技界的广泛关注．人工智能（AI）是一种模拟人类智能行为的科学和技术．它通过计算机系统模拟、延伸和扩展人类的感知、推理、学习和决策等智能能力，使机器能够像人一样进行思考和处理问题．现有四场网络直播，这四场直播分别以A．机器人技术，B．计算机视觉，C．自然语言处理，D．专家系统为主题，对这四类人工智能分别进行讲解，这四场直播同时开始．晓玲和梅梅准备各自听一场网络直播然后两人互相分享，晓玲先从这四类中随机选择一类进直播间听讲解，然后梅梅从剩下的三类中随机选择一类进直播间听讲解．
（1）晓玲选择机器人技术的概率是______；
（2）请用画树状图或列表法，求晓玲和梅梅中有一人选择自然语言处理的概率．
【答案】（1）
（2）解：画树状图如下：
由图可得，共有12种等可能的结果，其中晓玲和梅梅中有一人选择自然语言处理的结果有6种，
（晓玲和梅梅中有一人选择自然语言处理）．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）解：共4种等可能结果，其中1种符合题意，
∴晓玲选择机器人技术的概率是；
故答案为：；
【分析】（1）根据概率公式即可求出答案.
（2）画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出其中晓玲和梅梅中有一人选择自然语言处理的结果，再根据概率公式即可求出答案.
（1）解：共4种等可能结果，其中1种符合题意，
∴晓玲选择机器人技术的概率是；
故答案为：；
（2）解：画树状图如下：
由图可得，共有12种等可能的结果，其中晓玲和梅梅中有一人选择自然语言处理的结果有6种，
（晓玲和梅梅中有一人选择自然语言处理）．
19．（2025·柳州模拟）港珠澳大桥是一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程．根据规定，内地货车载重后总质量超过吨的禁止通行，现有一辆自重吨的货车，要运输若干套某种设备，每套设备由个部件和个部件组成，这种设备必须成套运输，已知个部件和个部件的总质量为吨，个部件和个部件的质量相等．
（1）求个部件和个部件的质量各为多少吨？
（2）该货车要从珠海运输这种成套设备经由港珠澳大桥到香港，一次最多可运输多少套这种设备？
【答案】（1）解：设个A部件质量为吨，个部件质量为吨
解得
答：个部件质量为吨，个部件质量为吨
（2）解：设一次可以运送套这种设备，
为整数
答：一次最多可以运送套这种设备
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【分析】（1）设个A部件质量为吨，个部件质量为吨，根据个部件和个部件的总质量为吨，个部件和个部件的质量相等列出二元一次方程组，解方程组即可求出答案.
（2）设一次可以运送套这种设备，根据内地货车载重后总质量不超过吨列出不等式，求不等式即可求出答案.
20．（2025·柳州模拟）“水门礼”是民航最高级别的礼仪，寓意接风洗尘，国产大飞机首航抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”．如图1，两辆车向飞机喷射水柱，形成的两条水柱形状相同，均可以看作是抛物线的一部分，当两辆车喷水口的水平距离为60米，两条水柱在抛物线的顶点处相遇．建立直角坐标系，如图2，此时顶点距离地面22米，喷水口，点距地面均为4米．（喷射水柱的动力和角度均保持不变）
（1）请写出经过，，三点的抛物线的函数解析式．
（2）若两辆车同时向后退10米，两条水柱形状及喷水口到地面的距离均保持不变，两条水柱的相遇点距离地面多少米？
【答案】（1）解：设抛物线解析式为：，
又两辆车喷水口的水平距离为60米，即，
将代入解析式，得：，
解得：，
；
（2）解：两辆车同时后退米，即抛物线向右平移后的抛物线解析式为：
，
当时，，
∴两条水柱的相遇点距离地面米．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-喷水问题；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）设抛物线解析式为：，根据待定系数法将点B坐标代入解析式即可求出答案.
（2）根据函数图象的平移规律：上加下减，左加右减可得平移后的抛物线解析式为，再将x=0代入解析式即可求出答案.
（1）解：设抛物线解析式为：，
又两辆车喷水口的水平距离为60米，即，
将代入解析式，得：，
解得：，
；
（2）解：两辆车同时后退米，即抛物线向右平移后的抛物线解析式为：
，
当时，，
∴两条水柱的相遇点距离地面米．
21．（2025·柳州模拟）如图，，，，是上的四点，是直径，，的切线交的延长线于点．连接并延长交于，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）解：∵是直径，
∴，
∵的切线交的延长线于点，
∴，
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵垂直平分，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
设的半径为，则，，
∴，解得：，
∴的半径为．
【知识点】线段垂直平分线的性质；矩形的判定；切线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理的推论可得，根据切线性质可得，根据垂直平分线判定定理可得垂直平分，则，再根据矩形判定定理即可求出答案.
（2）根据垂直平分线性质可得，根据矩形性质可得，设的半径为，则，，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：∵是直径，
∴，
∵的切线交的延长线于点，
∴，
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵垂直平分，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
设的半径为，则，，
∴，解得：，
∴的半径为．
22．（2025·柳州模拟）综合与探索
【探索发现】如图，等腰直角三角形中，，，过点作交于点，过点作交于点，易得，我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明）
【迁移应用】如图，在直角坐标系中，直线：分别与轴，轴交于点、，
（1）直接写出______，______；
（2）将直线绕点顺时针旋转得直线，求出直线解析式：
小明的解题思路是：在第二象限构造等腰直角，使得，，根据型全等和坐标之间的关系，求出点的坐标为______；通过，两点坐标求出直线的解析式______；
（3）如图，将直线绕点顺时针旋转得到，求的函数解析式．
【答案】（1），；
（2），；
（3）解：过点作交于点，过点作轴，过点作轴与交于点，与轴交于点，如图，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
∴，解得，
∴，
∴设直线解析式为
，解得，
∴的函数表达式为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等及其性质；一次函数的实际应用-几何问题；同侧一线三垂直全等模型；等腰三角形的概念
【解析】【解答】（1）解：如图，在直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，
令，解得，令，得，解得：，
∴点的坐标为，点的坐标为，
∴，，
故答案为：，；
（2）解：过点作轴于，如图，
则，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴点的坐标为，
设解析式为，
∴，解得：，
∴解析式为，
故答案为：，；
【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标分别将x=0，y=0代入解析式可得点的坐标为，点的坐标为，再根据两点间距离即可求出答案.
（2）过点作轴于，则，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，根据点的坐标可得点的坐标为，设解析式为，再根据待定系数法将点A，E坐标代入解析式即可求出答案.
（3）过点作交于点，过点作轴，过点作轴与交于点，与轴交于点，根据等腰直角三角形性质可得，则，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，设，则，，根据边之间的关系建立方程，解方程可得，则，设直线解析式为，再根据待定系数法将点A，C坐标代入解析式即可求出答案.
（1）解：如图，在直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，
令，解得，令，得，解得：，
∴点的坐标为，点的坐标为，
∴，，
故答案为：，；
（2）解：过点作轴于，如图，
则，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴点的坐标为，
设解析式为，
∴，解得：，
∴解析式为，
故答案为：，；
（3）解：过点作交于点，过点作轴，过点作轴与交于点，与轴交于点，如图，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
∴，解得，
∴，
∴设直线解析式为
，解得，
∴的函数表达式为．
23．（2025·柳州模拟）在矩形中，，，以点为旋转中心，逆时针旋转矩形，旋转角为，得到矩形，点、点、点的对应点分别为点、点、点．
（1）如图①，当点落在边上时，求线段的长度；
（2）如图②，当点落在线段上时，与相交于点，连接，
①求证：；
②求线段的长度．
（3）如图③设点为边的中点，连接，，在矩形旋转过程中，的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在请说明理由．
【答案】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵矩形是由矩形旋转得到，
∴，
故在中，，
∴．
（2）①证明：∵当点落在线段上，
∴，
又∵，，
在和中，
∴，
∴，
∴．
②解：设，
在中，∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：存在．理由如下：
连接，作于，如图，
当与共线，且时，面积最大，
∵点为边的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
则，
∴的面积的最大值为．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；矩形的性质；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据矩形性质可得，根据旋转性质可得，根据勾股定理即可求出答案.
（2）①根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
②设，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（3）连接，作于，当与共线，且时，面积最大，根据线段中点可得，根据勾股定理可得PA，再根据三角形面积即可求出答案.
（1）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵矩形是由矩形旋转得到，
∴，
故在中，，
∴．
（2）①证明：∵当点落在线段上，
∴，
又∵，，
在和中，
∴，
∴，
∴．
②解：设，
在中，∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：存在．理由如下：
连接，作于，如图，
当与共线，且时，面积最大，
∵点为边的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
则，
∴的面积的最大值为．
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