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广西柳州市2025年中考第2次模拟数学试题
一、单选题（36分，每题3分）
1．（2025·柳州模拟）教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志手，开展安全教育，下列安全图标是中心对称图形的是（　　）
A．注意安全 B．禁止追逐 C．急救中心 D．禁止攀爬
【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．是轴对称图形而不是中心对称图形，故选项A不合题意；
B．不是中心对称图形，故选项B不合题意；
C．是中心对称图形，故选项C符合合题意；
D．不是中心对称图形，故选项D不合题意．
故选：C．
【分析】一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
2．（2025·柳州模拟）下列说法中，正确的是（　　）
A．“打开电视，正在播放河南新闻节目”是必然事件
B．某种彩票中奖概率为10%是指买十张一定有一张中奖
C．神舟飞船发射前要对各部件进行抽样检查
D．了解某种节能灯的使用寿命适合抽样调查
【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查；事件发生的可能性
【解析】【解答】解：A、“打开电视，正在播放河南新闻节目”是随机事件，故A选项错误；
B、某种彩票中奖概率为10%是指买十张可能中奖，也可能不中奖，故B选项错误；
C、神舟飞船发射前需要对零部件进行全面调查，故C选项错误；
D、了解某种节能灯的使用寿命，具有破坏性适合抽样调查，故D选项正确.
故答案为：D.
【分析】必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件，是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，据此即可判断A、B；数量众多，不易采集到数据的调查要采用抽样调查的方式，依此分别判断C、D.
3．（2025·柳州模拟）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠ABD的度数为(　　)
A．60° B．72° C．78° D．144°
【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，连接OA、OE、OD
由正五边形的性质得：
由圆周角定理得：（一条弧所对圆周角等于其所对圆心角的一半）
故选：B.
【分析】连接OA、OE、OD，根据正多边形性质可得∠AOE，根据角之间的关系可得∠AOD，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求出答案.
4．（2025·柳州模拟）如图是反比例函数的图象在第二象限内的一个分支，则下列说法错误的是（　　）
A．另一个分支在第四象限内
B．常数
C．在每个象限内，y随x的增大而增大
D．若A(-1，h），B(2，k) 在图象上，则hk
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：A．另一个分支在第四象限内，正确，不符合题意；
B．图象在二、四象限，常数，正确，不符合题意；
C．在每个象限内，y随x的增大而增大，正确，不符合题意；
D．函数图象上的点A(-1，h）在第二象限，h>0，B(2，k)在第四象限，k<0，所以h> k，该选项错误，符合题意；
故选：D．
【分析】根据反比例函数图象，性质与系数的关系逐项进行判断即可求出答案.
5．（2025·柳州模拟）半径为1的圆中，扇形的圆心角为，则扇形的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：扇形的面积，
故选：B．
【分析】根据扇形面积即可求出答案.
6．（2025·柳州模拟）如图，点M是内一点，过点M分别作直线平行于的各边，所形成的三个小三角形（图中阴影部分）的面积分别是4，和，则的面积是（　　）
A．81 B．121 C．124 D．144
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：如图所示标注字母，由题意可得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵的面积分别为，
∴对应边的比为，
∵四边形，四边形是平行四边形，
∴，
设，则，，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为．
故选：D ．
【分析】由题意可得，，根据相似三角形判定定理可得，则，再根据相似三角形判定定理可得，则对应边的比为，根据平行四边形性质可得，设，则，，根据边之间的关系可得BC，再根据相似三角形性质即可求出答案.
7．（2025·柳州模拟）如图，在直角坐标系中，和位似，位似中心为点O，点、点，若的面积为4，则的面积是（　　）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】D
【知识点】坐标与图形变化﹣位似；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵和位似，位似中心为点O，点、点，
∴和的相似比为，
∴和的面积比为，
∵的面积为4，
∴的面积是16．
故选：D．
【分析】根据位似图形性质即可求出答案.
8．（2025·柳州模拟）若关于x的方程有实数根，则实数m的取值范围是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】关于x的方程有实数根，
，
解得，
故答案为：C．
【分析】根据一元二次方程有实数根可知b2-4ac≥0，据此可得到关于m的不等式，解不等式求出m的取值范围.
9．（2025·柳州模拟）某工厂2019年治理污水花费成本144万元，经技术革新，计划到2021年治理污水花费成本降到100万元，若设每年成本的下降率是x，则可得方程（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：由题意，可列方程为 ，
故答案为：A.
【分析】根据“2021年成本=2019年成本 （1-每年成本的下降率）2”即可得.
10．（2025·柳州模拟）如图，在中，的垂直平分线交于，交于，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：连接BD，
∵在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，
∵AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，
∴AD=BD，DE⊥AB，
∴∠ABD=∠A=30°，
∴∠DBC=90°-∠A-∠ABD=30°，
∵CD=2，
∴BD=2CD=4，
∴AD=4，
∴AC=AD+CD=4+2=6.
故选择：D．
【分析】连接BD，根据直角三角形两锐角互余可得∠ABC，根据垂直平分线性质可得AD=BD，DE⊥AB，则∠ABD=∠A=30°，根据角之间的关系可得∠DBC，根据含30°角的直角三角形性质可得BD，再根据边之间的关系即可求出答案.
11．（2025·柳州模拟）如图，是的角平分线，，，，则的面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：过点作，垂足为，
平分，，，
，
，，，
，
的面积的面积的面积，
，
，
，
解得：，
的面积，
故选：C．
【分析】过点作，垂足为，根据角平分线性质可得，根据勾股定理可得AB，再根据三角形面积即可求出答案.
12．（2025·柳州模拟）如图，已知抛物线过点与轴交点的横坐标分别为，，且，，则下列结论：①；②方程有两个不相等的实数根；③；④．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：①由图象可得，当时，，故①正确；
②由图象可得，直线与抛物线有两个交点，则方程有两个不相等的实数根，即有两个不相等的实数根，故②正确；
③∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线过点与轴交点的横坐标分别为，，
∴对称轴为直线，
∵，，
∴，
∴，则，
∴，
故③错误；
④抛物线过点，
∴，
∵当时，，即，
当时，，
∴，即，
解得，
故④正确；
综上所述，正确的结论有①②④共3个，
故答案为：C．
【分析】根据x=-1时的抛物线上点的位置判断①；借助图象可得y=-1时对应两个x值判断②；确定对称轴的位置即可判断③；根据抛物线过点C得到，再根据和时的函数值为正数得到，代入计算判断④解题即可．
二、填空题（12分，每题3分）
13．（2025·柳州模拟）点在直线上，则点关于原点对称点的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点在直线上，
∴，
∴点，
∴点关于原点对称点的坐标为．
故答案为：．
【分析】将点A坐标代入解析式可得，再根据关于原点对称的点的坐标特征即可求出答案.
14．（2025·柳州模拟）一个米高的人，站在距离路灯杆米的地方，他在人行道上的影子是米长，则路灯杆的高度是　 　米．
【答案】5.4
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：如图所示，设路灯杆的高度是米，
米，米，米，
∵，，
∴，
∴，
即，
解得米．
故答案为：．
【分析】设路灯杆的高度是米，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
15．（2025·柳州模拟）点M是反比例函数 的图象上一点，垂直于轴，垂足是点N，若的面积，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：由题意得： ，解得.
故答案为：
【分析】根据反比例函数k的几何意义即可求出答案.
16．（2025·柳州模拟）等边ABC的周长为12cm，则它的面积为　 　cm2．
【答案】4
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥BC，
∵AD⊥BC，
∴D为BC的中点，
∴BD=DC=2cm，
在Rt△ABD中，AB=4cm，BD=2cm，
∴AD=（cm），
∴△ABC的面积=BC AD=×4×2=4cm2．
故答案为：4．
【分析】过点A作AD⊥BC，根据等腰三角形三线合一性质可得BD=DC=2cm，根据勾股定理可得AD，再根据三角形面积即可求出答案.
三、解答题（共72分）
17．（2025·柳州模拟）在平面直角坐标系中，是抛物线上的两点．
（1）求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；
（2）对于，，都有，求m的取值范围．
【答案】（1）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线；
（2）解∶∵抛物线对称轴为直线，
∴点关于对称轴对称点为，
当时，则，
∵，
∴
∵抛物线开口向上，当时，y随x增大而增大，
∴，
这与相矛盾，故不符合题意，舍去；
当时，，
∵，
∴，
∵抛物线开口向上，当时，y随x增大而增大，
∴，
与相矛盾，故不符合题意，舍去；
当时，则，
∵抛物线开口向上，当时，y随x增大而增大，
∴，
∴，
当时，
∵抛物线开口向上，当时，y随x增大而增大，
∴
∴，
∴，
综上，

【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）将解析式转换为顶点式，即可求出答案.
（2）根据对称性质可得点关于对称轴对称点为，分情况讨论：当时，，当时，结合二次函数性质即可求出答案.
（1）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线；
（2）解∶∵抛物线对称轴为直线，
∴点关于对称轴对称点为，
当时，则，
∵，
∴
∵抛物线开口向上，当时，y随x增大而增大，
∴，
这与相矛盾，故不符合题意，舍去；
当时，，
∵，
∴，
∵抛物线开口向上，当时，y随x增大而增大，
∴，
与相矛盾，故不符合题意，舍去；
当时，则，
∵抛物线开口向上，当时，y随x增大而增大，
∴，
∴，
当时，
∵抛物线开口向上，当时，y随x增大而增大，
∴
∴，
∴，
综上，
18．（2025·柳州模拟）某水果商店销售一种进价为30元/千克的优质水果，若售价为40元/千克，则一个月可售出400千克．若售价在40元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．
（1）当售价为45元/千克时，每月销售水果______千克；
（2）当每月利润为5250元时，这种水果的售价为多少？
（3）当这种水果的售价定为多少时，获得的月利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）350
（2）解：设这种水果的售价为x元/千克，
则由题意，得：，
解得，
故这种水果的售价为45元/千克或65元/千克
（3）解：设这种水果的售价为m元/千克，获得的月利润为y元，则由题意，得：
又由可知抛物线的开口向下，
∴当时，
故水果的售价为55元/千克时，获得的月利润最大，最大利润为6250元
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（1）解：若售价为40元/千克，则一个月可售出400千克．
若售价在40元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克，
故当售价为45元/千克时，每月销售水果：（千克）
故答案为：350.
【分析】（1）抓住关键已知条件： 若售价在40元/千克的基础上每涨价1元 ，根据题意列出算式即可求解；
（2）设这种水果的售价为x元/千克，可根据每月利润为5250元，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，即可求解.
（3）设这种水果的售价为m元/千克，获得的月利润为y元，利用已知条件可得到y关于m的函数解析式，再利用二次函数的性质求得最值即可求解．
（1）解：若售价为40元/千克，则一个月可售出400千克．
若售价在40元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克，
故当售价为45元/千克时，每月销售水果：（千克）
（2）设这种水果的售价为x元/千克，
则由题意，得：，
解得，
故这种水果的售价为45元/千克或65元/千克
（3）设这种水果的售价为m元/千克，获得的月利润为y元，
则由题意，得：
又由可知抛物线的开口向下，
∴当时，
故水果的售价为55元/千克时，获得的月利润最大，最大利润为6250元
19．（2025·柳州模拟）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A（1，6），B两点，轴于点D．轴于点C，．
（1）求该一次函数和反比例函数的解析式；
（2）点P是DC上一点，△PAB的面积为8，求点P的坐标．
【答案】（1）解：∵A点在反比例函数图象上，
∴把A(1，6)代入得：
，
∴反比例函数的解析为，
由题意得：，，
∴B(6，1) ，
把A(1，6)，B(6，1)代入得，
解得，
故一次函数的解析式为：；
（2）解：如图，设点P(0，m)，连接PA，PB，
∵，
∴ ，
解得：，
∴点P的坐标为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点A坐标代入反比例函数解析式可得反比例函数的解析为，由题意得：，，根据点的坐标可得B(6，1) ，再根据待定系数法将点A，B坐标代入一次函数解析式即可求出答案.
（2）设点P(0，m)，连接PA，PB，根据割补法，结合梯形，三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：∵A点在反比例函数图象上，
∴把A(1，6)代入得：
，
∴反比例函数的解析为，
由题意得：，，
∴B(6，1) ，
把A(1，6)，B(6，1)代入得，
解得，
故一次函数的解析式为：；
（2）如图，设点P(0，m)，连接PA，PB，
∵，
∴ ，
解得：，
∴点P的坐标为．
20．（2025·柳州模拟）将分别标有数字1，2，3的三张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上．随机地抽取一张作为十位上的数字（不放回），再抽取一张作为个位上的数字，求恰好这个两位数是奇数的概率．
【答案】解：随机地抽取一张作为十位上的数字（不放回），再抽取一张作为个位上的数字能组成的两位数有
12，13，21，23，31，32，共6个两位数，其中是奇数的有4个，
∴恰好这个两位数是奇数的概率的概率为．

【知识点】概率公式
【解析】【分析】根据题意列举出所有等可能的结果，再求出恰好这个两位数是奇数的结果，再根据概率公式即可求出答案.
21．（2025·柳州模拟）从2020年开始，越来越多的商家向线上转型发展，“直播带货”已经成为商家的一种促销的重要手段．某商家在直播间销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）满足，设销售这种商品每天的利润为（元）．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）该商家每天想获得1250元的利润，又要减少库存，应将销售单价定为多少元？
【答案】（1）解：由题意得，；
（2）解：由题意得，，
整理得：，
解得或，
∵销售量（件）与销售单价（元）满足，
∴销售单价越高，销售量越低，
又∵要减少库存，
∴，
∴应将销售单价定为15元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；用关系式表示变量间的关系
【解析】【分析】（1）根据利润（售价进价）销售量建立函数关系式即可求出答案.
（2）根据题意建立方程，解方程可得或，结合一次函数性质即可求出答案.
（1）解：由题意得，；
（2）解：由题意得，，
整理得：，
解得或，
∵销售量（件）与销售单价（元）满足，
∴销售单价越高，销售量越低，
又∵要减少库存，
∴，
∴应将销售单价定为15元．
22．（2025·柳州模拟）如图，在中，，以为直径的与边、分别交于D、E两点，于F．
（1）求证：为的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：连接，，
∵是的直径，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
又∵为的半径，
∴为的切线；
（2）解：连接交于M，过O作于N，
则，
∵，，
∴，
∴，
∵是直径，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，，
即，
同理四边形是矩形，
∴，
∵为半径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设的半径为R，
则在中，由勾股定理得：，
解得：，
则，
∴．
【知识点】勾股定理；切线的判定；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）连接，，根据圆周角定理的推论可得，根据边之间的关系可得，再根据直线平行判定定理可得，则，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）连接交于M，过O作于N，则，根据余弦定义可得DC，根据勾股定理可得DF，根据圆周角定理的推论可得，再根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，，，同理四边形是矩形，则，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得EF，设的半径为R，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（1）连接，，
∵是的直径，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
又∵为的半径，
∴为的切线；
（2）连接交于M，过O作于N，
则，
∵，，
∴，
∴，
∵是直径，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，，
即，
同理四边形是矩形，
∴，
∵为半径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设的半径为R，
则在中，由勾股定理得：，
解得：，
则，
∴．
23．（2025·柳州模拟）如图，在中，，，正方形的边长为2，将正方形绕点旋转一周，连接、、．
（1）猜想：的值是__________，直线与直线相交所成的锐角度数是__________；
（2）探究：直线与垂直时，求线段的长；
（3）拓展：取的中点，连接，直接写出线段长的取值范围．
【答案】解：（1），；
（2）∵是腰长为4的等腰直角三角形，四边形的边长为2的正方形，
∴，，，
∴，，
∴．
∴，
∴．
∵，
∴当时，、、三点在一直线上时，
在中，∵，
∴．
如图2，当点在线段上时，
，
∴；
如图3，当点在线段延长线上时，
，
∴．
综上所述，当时，线段的长为或；
（3）．
【知识点】三角形三边关系；勾股定理；旋转的性质；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）由题意得，△ABC， △EBD都是等腰直角三角形，
∴，
∴
∴△CBD∽△ABE
∴，△ABE可以看做△CBD绕点B逆时针旋转45°后放大得到，
故直线与直线相交所成的锐角度数是45°；
故答案为：，；
（3）延长EF到G使得FG=EF，连接AG，BG，
则△BFG为等腰直角三角形，
∴BG=BF=，
∵M为AE中点，F为EG中点，
∴MF为△EAG中位线，
∴MF=，
在△ABG中，
∵AB-BG≤AG≤AB+BG，
∴≤AG≤，
∴≤MF≤ ．
【分析】（1）△ABC， △EBD都是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形性质可得，，根据相似三角形判定定理可得△CBD∽△ABE，则，再根据旋转性质即可求出答案.
（2）根据等腰直角三角形，正方形性质可得，，，则，，根据相似三角形判定定理可得，则，即，当时，、、三点在一直线上时，根据勾股定理可得AF，分情况讨论：当点在线段上时，当点在线段延长线上时，结合边之间的关系即可求出答案.
（3）延长EF到G使得FG=EF，连接AG，BG，则△BFG为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形性质可得BG=BF=，根据三角形中位线定理可得MF=，再根据三角形三边关系即可求出答案.
1 / 1广西柳州市2025年中考第2次模拟数学试题
一、单选题（36分，每题3分）
1．（2025·柳州模拟）教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志手，开展安全教育，下列安全图标是中心对称图形的是（　　）
A．注意安全 B．禁止追逐 C．急救中心 D．禁止攀爬
2．（2025·柳州模拟）下列说法中，正确的是（　　）
A．“打开电视，正在播放河南新闻节目”是必然事件
B．某种彩票中奖概率为10%是指买十张一定有一张中奖
C．神舟飞船发射前要对各部件进行抽样检查
D．了解某种节能灯的使用寿命适合抽样调查
3．（2025·柳州模拟）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠ABD的度数为(　　)
A．60° B．72° C．78° D．144°
4．（2025·柳州模拟）如图是反比例函数的图象在第二象限内的一个分支，则下列说法错误的是（　　）
A．另一个分支在第四象限内
B．常数
C．在每个象限内，y随x的增大而增大
D．若A(-1，h），B(2，k) 在图象上，则hk
5．（2025·柳州模拟）半径为1的圆中，扇形的圆心角为，则扇形的面积为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·柳州模拟）如图，点M是内一点，过点M分别作直线平行于的各边，所形成的三个小三角形（图中阴影部分）的面积分别是4，和，则的面积是（　　）
A．81 B．121 C．124 D．144
7．（2025·柳州模拟）如图，在直角坐标系中，和位似，位似中心为点O，点、点，若的面积为4，则的面积是（　　）
A．2 B．4 C．8 D．16
8．（2025·柳州模拟）若关于x的方程有实数根，则实数m的取值范围是（　　）．
A． B． C． D．
9．（2025·柳州模拟）某工厂2019年治理污水花费成本144万元，经技术革新，计划到2021年治理污水花费成本降到100万元，若设每年成本的下降率是x，则可得方程（　　）
A． B．
C． D．
10．（2025·柳州模拟）如图，在中，的垂直平分线交于，交于，则的长为（　　）
A． B． C． D．
11．（2025·柳州模拟）如图，是的角平分线，，，，则的面积是（　　）
A． B． C． D．
12．（2025·柳州模拟）如图，已知抛物线过点与轴交点的横坐标分别为，，且，，则下列结论：①；②方程有两个不相等的实数根；③；④．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（12分，每题3分）
13．（2025·柳州模拟）点在直线上，则点关于原点对称点的坐标是　 　．
14．（2025·柳州模拟）一个米高的人，站在距离路灯杆米的地方，他在人行道上的影子是米长，则路灯杆的高度是　 　米．
15．（2025·柳州模拟）点M是反比例函数 的图象上一点，垂直于轴，垂足是点N，若的面积，则的值为　 　．
16．（2025·柳州模拟）等边ABC的周长为12cm，则它的面积为　 　cm2．
三、解答题（共72分）
17．（2025·柳州模拟）在平面直角坐标系中，是抛物线上的两点．
（1）求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；
（2）对于，，都有，求m的取值范围．
18．（2025·柳州模拟）某水果商店销售一种进价为30元/千克的优质水果，若售价为40元/千克，则一个月可售出400千克．若售价在40元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．
（1）当售价为45元/千克时，每月销售水果______千克；
（2）当每月利润为5250元时，这种水果的售价为多少？
（3）当这种水果的售价定为多少时，获得的月利润最大？最大利润是多少元？
19．（2025·柳州模拟）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A（1，6），B两点，轴于点D．轴于点C，．
（1）求该一次函数和反比例函数的解析式；
（2）点P是DC上一点，△PAB的面积为8，求点P的坐标．
20．（2025·柳州模拟）将分别标有数字1，2，3的三张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上．随机地抽取一张作为十位上的数字（不放回），再抽取一张作为个位上的数字，求恰好这个两位数是奇数的概率．
21．（2025·柳州模拟）从2020年开始，越来越多的商家向线上转型发展，“直播带货”已经成为商家的一种促销的重要手段．某商家在直播间销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）满足，设销售这种商品每天的利润为（元）．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）该商家每天想获得1250元的利润，又要减少库存，应将销售单价定为多少元？
22．（2025·柳州模拟）如图，在中，，以为直径的与边、分别交于D、E两点，于F．
（1）求证：为的切线；
（2）若，，求的长．
23．（2025·柳州模拟）如图，在中，，，正方形的边长为2，将正方形绕点旋转一周，连接、、．
（1）猜想：的值是__________，直线与直线相交所成的锐角度数是__________；
（2）探究：直线与垂直时，求线段的长；
（3）拓展：取的中点，连接，直接写出线段长的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．是轴对称图形而不是中心对称图形，故选项A不合题意；
B．不是中心对称图形，故选项B不合题意；
C．是中心对称图形，故选项C符合合题意；
D．不是中心对称图形，故选项D不合题意．
故选：C．
【分析】一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
2．【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查；事件发生的可能性
【解析】【解答】解：A、“打开电视，正在播放河南新闻节目”是随机事件，故A选项错误；
B、某种彩票中奖概率为10%是指买十张可能中奖，也可能不中奖，故B选项错误；
C、神舟飞船发射前需要对零部件进行全面调查，故C选项错误；
D、了解某种节能灯的使用寿命，具有破坏性适合抽样调查，故D选项正确.
故答案为：D.
【分析】必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件，是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，据此即可判断A、B；数量众多，不易采集到数据的调查要采用抽样调查的方式，依此分别判断C、D.
3．【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，连接OA、OE、OD
由正五边形的性质得：
由圆周角定理得：（一条弧所对圆周角等于其所对圆心角的一半）
故选：B.
【分析】连接OA、OE、OD，根据正多边形性质可得∠AOE，根据角之间的关系可得∠AOD，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求出答案.
4．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：A．另一个分支在第四象限内，正确，不符合题意；
B．图象在二、四象限，常数，正确，不符合题意；
C．在每个象限内，y随x的增大而增大，正确，不符合题意；
D．函数图象上的点A(-1，h）在第二象限，h>0，B(2，k)在第四象限，k<0，所以h> k，该选项错误，符合题意；
故选：D．
【分析】根据反比例函数图象，性质与系数的关系逐项进行判断即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：扇形的面积，
故选：B．
【分析】根据扇形面积即可求出答案.
6．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：如图所示标注字母，由题意可得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵的面积分别为，
∴对应边的比为，
∵四边形，四边形是平行四边形，
∴，
设，则，，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为．
故选：D ．
【分析】由题意可得，，根据相似三角形判定定理可得，则，再根据相似三角形判定定理可得，则对应边的比为，根据平行四边形性质可得，设，则，，根据边之间的关系可得BC，再根据相似三角形性质即可求出答案.
7．【答案】D
【知识点】坐标与图形变化﹣位似；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵和位似，位似中心为点O，点、点，
∴和的相似比为，
∴和的面积比为，
∵的面积为4，
∴的面积是16．
故选：D．
【分析】根据位似图形性质即可求出答案.
8．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】关于x的方程有实数根，
，
解得，
故答案为：C．
【分析】根据一元二次方程有实数根可知b2-4ac≥0，据此可得到关于m的不等式，解不等式求出m的取值范围.
9．【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：由题意，可列方程为 ，
故答案为：A.
【分析】根据“2021年成本=2019年成本 （1-每年成本的下降率）2”即可得.
10．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：连接BD，
∵在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，
∵AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，
∴AD=BD，DE⊥AB，
∴∠ABD=∠A=30°，
∴∠DBC=90°-∠A-∠ABD=30°，
∵CD=2，
∴BD=2CD=4，
∴AD=4，
∴AC=AD+CD=4+2=6.
故选择：D．
【分析】连接BD，根据直角三角形两锐角互余可得∠ABC，根据垂直平分线性质可得AD=BD，DE⊥AB，则∠ABD=∠A=30°，根据角之间的关系可得∠DBC，根据含30°角的直角三角形性质可得BD，再根据边之间的关系即可求出答案.
11．【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：过点作，垂足为，
平分，，，
，
，，，
，
的面积的面积的面积，
，
，
，
解得：，
的面积，
故选：C．
【分析】过点作，垂足为，根据角平分线性质可得，根据勾股定理可得AB，再根据三角形面积即可求出答案.
12．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：①由图象可得，当时，，故①正确；
②由图象可得，直线与抛物线有两个交点，则方程有两个不相等的实数根，即有两个不相等的实数根，故②正确；
③∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线过点与轴交点的横坐标分别为，，
∴对称轴为直线，
∵，，
∴，
∴，则，
∴，
故③错误；
④抛物线过点，
∴，
∵当时，，即，
当时，，
∴，即，
解得，
故④正确；
综上所述，正确的结论有①②④共3个，
故答案为：C．
【分析】根据x=-1时的抛物线上点的位置判断①；借助图象可得y=-1时对应两个x值判断②；确定对称轴的位置即可判断③；根据抛物线过点C得到，再根据和时的函数值为正数得到，代入计算判断④解题即可．
13．【答案】
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点在直线上，
∴，
∴点，
∴点关于原点对称点的坐标为．
故答案为：．
【分析】将点A坐标代入解析式可得，再根据关于原点对称的点的坐标特征即可求出答案.
14．【答案】5.4
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：如图所示，设路灯杆的高度是米，
米，米，米，
∵，，
∴，
∴，
即，
解得米．
故答案为：．
【分析】设路灯杆的高度是米，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：由题意得： ，解得.
故答案为：
【分析】根据反比例函数k的几何意义即可求出答案.
16．【答案】4
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥BC，
∵AD⊥BC，
∴D为BC的中点，
∴BD=DC=2cm，
在Rt△ABD中，AB=4cm，BD=2cm，
∴AD=（cm），
∴△ABC的面积=BC AD=×4×2=4cm2．
故答案为：4．
【分析】过点A作AD⊥BC，根据等腰三角形三线合一性质可得BD=DC=2cm，根据勾股定理可得AD，再根据三角形面积即可求出答案.
17．【答案】（1）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线；
（2）解∶∵抛物线对称轴为直线，
∴点关于对称轴对称点为，
当时，则，
∵，
∴
∵抛物线开口向上，当时，y随x增大而增大，
∴，
这与相矛盾，故不符合题意，舍去；
当时，，
∵，
∴，
∵抛物线开口向上，当时，y随x增大而增大，
∴，
与相矛盾，故不符合题意，舍去；
当时，则，
∵抛物线开口向上，当时，y随x增大而增大，
∴，
∴，
当时，
∵抛物线开口向上，当时，y随x增大而增大，
∴
∴，
∴，
综上，

【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）将解析式转换为顶点式，即可求出答案.
（2）根据对称性质可得点关于对称轴对称点为，分情况讨论：当时，，当时，结合二次函数性质即可求出答案.
（1）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线；
（2）解∶∵抛物线对称轴为直线，
∴点关于对称轴对称点为，
当时，则，
∵，
∴
∵抛物线开口向上，当时，y随x增大而增大，
∴，
这与相矛盾，故不符合题意，舍去；
当时，，
∵，
∴，
∵抛物线开口向上，当时，y随x增大而增大，
∴，
与相矛盾，故不符合题意，舍去；
当时，则，
∵抛物线开口向上，当时，y随x增大而增大，
∴，
∴，
当时，
∵抛物线开口向上，当时，y随x增大而增大，
∴
∴，
∴，
综上，
18．【答案】（1）350
（2）解：设这种水果的售价为x元/千克，
则由题意，得：，
解得，
故这种水果的售价为45元/千克或65元/千克
（3）解：设这种水果的售价为m元/千克，获得的月利润为y元，则由题意，得：
又由可知抛物线的开口向下，
∴当时，
故水果的售价为55元/千克时，获得的月利润最大，最大利润为6250元
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（1）解：若售价为40元/千克，则一个月可售出400千克．
若售价在40元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克，
故当售价为45元/千克时，每月销售水果：（千克）
故答案为：350.
【分析】（1）抓住关键已知条件： 若售价在40元/千克的基础上每涨价1元 ，根据题意列出算式即可求解；
（2）设这种水果的售价为x元/千克，可根据每月利润为5250元，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，即可求解.
（3）设这种水果的售价为m元/千克，获得的月利润为y元，利用已知条件可得到y关于m的函数解析式，再利用二次函数的性质求得最值即可求解．
（1）解：若售价为40元/千克，则一个月可售出400千克．
若售价在40元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克，
故当售价为45元/千克时，每月销售水果：（千克）
（2）设这种水果的售价为x元/千克，
则由题意，得：，
解得，
故这种水果的售价为45元/千克或65元/千克
（3）设这种水果的售价为m元/千克，获得的月利润为y元，
则由题意，得：
又由可知抛物线的开口向下，
∴当时，
故水果的售价为55元/千克时，获得的月利润最大，最大利润为6250元
19．【答案】（1）解：∵A点在反比例函数图象上，
∴把A(1，6)代入得：
，
∴反比例函数的解析为，
由题意得：，，
∴B(6，1) ，
把A(1，6)，B(6，1)代入得，
解得，
故一次函数的解析式为：；
（2）解：如图，设点P(0，m)，连接PA，PB，
∵，
∴ ，
解得：，
∴点P的坐标为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点A坐标代入反比例函数解析式可得反比例函数的解析为，由题意得：，，根据点的坐标可得B(6，1) ，再根据待定系数法将点A，B坐标代入一次函数解析式即可求出答案.
（2）设点P(0，m)，连接PA，PB，根据割补法，结合梯形，三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：∵A点在反比例函数图象上，
∴把A(1，6)代入得：
，
∴反比例函数的解析为，
由题意得：，，
∴B(6，1) ，
把A(1，6)，B(6，1)代入得，
解得，
故一次函数的解析式为：；
（2）如图，设点P(0，m)，连接PA，PB，
∵，
∴ ，
解得：，
∴点P的坐标为．
20．【答案】解：随机地抽取一张作为十位上的数字（不放回），再抽取一张作为个位上的数字能组成的两位数有
12，13，21，23，31，32，共6个两位数，其中是奇数的有4个，
∴恰好这个两位数是奇数的概率的概率为．

【知识点】概率公式
【解析】【分析】根据题意列举出所有等可能的结果，再求出恰好这个两位数是奇数的结果，再根据概率公式即可求出答案.
21．【答案】（1）解：由题意得，；
（2）解：由题意得，，
整理得：，
解得或，
∵销售量（件）与销售单价（元）满足，
∴销售单价越高，销售量越低，
又∵要减少库存，
∴，
∴应将销售单价定为15元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；用关系式表示变量间的关系
【解析】【分析】（1）根据利润（售价进价）销售量建立函数关系式即可求出答案.
（2）根据题意建立方程，解方程可得或，结合一次函数性质即可求出答案.
（1）解：由题意得，；
（2）解：由题意得，，
整理得：，
解得或，
∵销售量（件）与销售单价（元）满足，
∴销售单价越高，销售量越低，
又∵要减少库存，
∴，
∴应将销售单价定为15元．
22．【答案】（1）证明：连接，，
∵是的直径，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
又∵为的半径，
∴为的切线；
（2）解：连接交于M，过O作于N，
则，
∵，，
∴，
∴，
∵是直径，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，，
即，
同理四边形是矩形，
∴，
∵为半径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设的半径为R，
则在中，由勾股定理得：，
解得：，
则，
∴．
【知识点】勾股定理；切线的判定；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）连接，，根据圆周角定理的推论可得，根据边之间的关系可得，再根据直线平行判定定理可得，则，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）连接交于M，过O作于N，则，根据余弦定义可得DC，根据勾股定理可得DF，根据圆周角定理的推论可得，再根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，，，同理四边形是矩形，则，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得EF，设的半径为R，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（1）连接，，
∵是的直径，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
又∵为的半径，
∴为的切线；
（2）连接交于M，过O作于N，
则，
∵，，
∴，
∴，
∵是直径，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，，
即，
同理四边形是矩形，
∴，
∵为半径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设的半径为R，
则在中，由勾股定理得：，
解得：，
则，
∴．
23．【答案】解：（1），；
（2）∵是腰长为4的等腰直角三角形，四边形的边长为2的正方形，
∴，，，
∴，，
∴．
∴，
∴．
∵，
∴当时，、、三点在一直线上时，
在中，∵，
∴．
如图2，当点在线段上时，
，
∴；
如图3，当点在线段延长线上时，
，
∴．
综上所述，当时，线段的长为或；
（3）．
【知识点】三角形三边关系；勾股定理；旋转的性质；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）由题意得，△ABC， △EBD都是等腰直角三角形，
∴，
∴
∴△CBD∽△ABE
∴，△ABE可以看做△CBD绕点B逆时针旋转45°后放大得到，
故直线与直线相交所成的锐角度数是45°；
故答案为：，；
（3）延长EF到G使得FG=EF，连接AG，BG，
则△BFG为等腰直角三角形，
∴BG=BF=，
∵M为AE中点，F为EG中点，
∴MF为△EAG中位线，
∴MF=，
在△ABG中，
∵AB-BG≤AG≤AB+BG，
∴≤AG≤，
∴≤MF≤ ．
【分析】（1）△ABC， △EBD都是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形性质可得，，根据相似三角形判定定理可得△CBD∽△ABE，则，再根据旋转性质即可求出答案.
（2）根据等腰直角三角形，正方形性质可得，，，则，，根据相似三角形判定定理可得，则，即，当时，、、三点在一直线上时，根据勾股定理可得AF，分情况讨论：当点在线段上时，当点在线段延长线上时，结合边之间的关系即可求出答案.
（3）延长EF到G使得FG=EF，连接AG，BG，则△BFG为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形性质可得BG=BF=，根据三角形中位线定理可得MF=，再根据三角形三边关系即可求出答案.
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