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广西柳州市柳南区九年级2025年中考三模数学试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1．（2025·柳南模拟）下列实数中，无理数是（　　）
A． B．0 C． D．
2．（2025·柳南模拟）如图，该纸杯的主视图是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·柳南模拟）“长征是宣言书，长征是宣传队，长征是播种机”，二万五千里长征是中国历史上的伟大壮举，也是人类史上的奇迹，将25000用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·柳南模拟）2025年蛇年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，设计了“巳巳如意纹样”，象征着美好的愿望和幸福．以下四个如意纹样中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025·柳南模拟）下列事件中，必然事件的是（　　）
A．掷一枚硬币，恰好是国徽面朝上
B．某同学投篮球，一定投不中
C．经过红绿灯路口时，一定是绿灯
D．画一个三角形，其内角和为
6．（2025·柳南模拟）如图，一把直尺、两个含的三角尺拼接在一起，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·柳南模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·柳南模拟）在一个不透明的口袋中，装有红色、黑色、白色的小球共60个，除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后，摸到白色小球的频率稳定在，则可估计口袋中白球的个数是（　　）
A．12 B．18 C．24 D．30
9．（2025·柳南模拟）如图，在扇形纸扇中，若，，则的长是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·柳南模拟）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中，，，则高约为（　　）（参考数据：，，）
A．9.98cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm
11．（2025·柳南模拟）如图，在两个大小相同的玻璃瓶中分别装有质量相同且初始温度均为的豆浆和牛奶，同时浸入的热水中加热相同的时间，已知牛奶比豆浆的温度升高得慢，则上述实验的一段时间内，牛奶和豆浆的温度随加热时间变化的图象是（　　）
A． B．
C． D．
12．（2025·柳南模拟）“结绳计数”是远古时代人类智慧的结晶，即人们通过在绳子上打结来记录数量，类似我们现在熟悉的“进位制”，如图所示是一位古人记录的当天采摘果实的个数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满四进一，根据图示可知，这位古人当天采摘果实的个数是（　　）
A．186 B．185 C．184 D．183
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．）
13．（2025·柳南模拟）计算：　 　．
14．（2025·柳南模拟）不等式的解集是　 　．
15．（2025·柳南模拟）二胡是我国一种传统拉弦乐器，演奏二胡时，在同一张力下，它的振动弦的共振频率f（单位：赫兹）与长度l（单位：米）近似成反比例关系，即（k为常数，）．若某一振动频率f为260赫兹，长度l为0.5米，则k的值为　 　．
16．（2025·柳南模拟）如图，在矩形中，已知，P是边上一动点（点P不与点B，C重合），连接，作点B关于直线的对称点M，则线段的最小值为　 　．
三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（2025·柳南模拟）下面是小华同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成任务：
解：方程两边同乘，得 第一步
第二步
第三步
检验，当时，
所以，是分式方程的解 第四步
任务一：上述解题过程从第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______；
任务二：请写出该题的正确解题过程．
18．（2025·柳南模拟）如图，在中，，，．
（1）尺规作图：作线段的垂直平分线，分别与，交于点D，E．（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的基础上，连接，求的周长．
19．（2025·柳南模拟）为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，有20名学生报名参加选拔．报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由五位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出每人的总评成绩．统计如下：请你完成下列任务：
李悦、王芳的三项测试成绩和总评成绩表
选手 测试成绩/分 总评成绩/分
采访 写作 摄影
李悦 86 84 m n
王芳 83 72 80 78
（1）在摄影测试中，五位评委给李悦打出的分数如下：71，68，68，74，69．这组数据的中位数是______分，平均数是______分；
（2）计算李悦的总评成绩n；
（3）学校决定根据总评成绩择优选拔12名小记者．试分析李悦、王芳能否入选，并说明理由．
20．（2025·柳南模拟）在学校开展“劳动创造美好生活”主题活动中，九年级（1）班负责校园某绿化角的设计．种植与养护同学们约定每人养护一盆绿植，计划购买绿萝和吊兰两种绿植共盆，且绿萝盆数不少于吊兰盆数的倍已知绿萝每盆元，吊兰每盆元．
（1）采购组计划将经费元全部用于购买绿萝和吊兰，可购买绿萝和吊兰各多少盆？
（2）请帮规划组找出最省钱的购买方案，并求出购买两种绿植总费用的最小值．
21．（2025·柳南模拟）如图，为半圆的直径，点在半圆上，点在的延长线上，与半圆相切于点，与的延长线相交于点，与相交于点，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
22．（2025·柳南模拟）项目化学习
【项目主题】从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”．
【项目内容】数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后相据所测量的数据进行分析，建立数学模型，并进一步应用．
【实验过程】如图所示，一个黑球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从黑球运动到点A处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间（单位：）、运动速度v（单位：、滑行距离y（单位：）的数据．记录的数据如下：
运动时间
运动速度
滑行距离
【观察分析】数学兴趣小组通过作出v与x的函数图象、y与x的函数图象，并结合已学习过的函数知识，发现v与x的函数关系为一次函数关系，y与x的函数关系为二次函数关系．
【问题解决】
任务一：请你结合表格数据，分别求出v与x的函数关系式和y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）
任务二：
（1）当黑球在水平木板停下来时，求此时黑球的滑行距离；
（2）若黑球到达木板点A处的同时，在点A的前方处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，若黑球不能撞上小车，求n的取值范围．
23．（2025·柳南模拟）实践与探究
杨老师在教学过程中特别重视教材的运用，下面是他以教材课后习题为载体，引导学生进行数学实践操作与拓展探究．
【教材再现】人教版九年级上册数学课本第70页“综合运用”第6题：
已知，能否通过平移、轴对称或旋转，得到另一个三角形，使得这两个三角形能够拼成一个以，为邻边的平行四边形？
【实践操作】
（1）如图1，航天小组同学将绕中点______（填“平移”或“轴对称”或“旋转”）得，就可拼成一个以，为邻边的平行四边形．
【特例探究】
（2）航天小组同学继续探索，若是直角三角形，，，，在（1）的基础上，将绕点C顺时针旋转得到，探索中发现：
①当D，B，点共线时，连接（如图2），四边形是个特殊的四边形，请你判断四边形的形状，并证明你的结论．
②当旋转角度是时，设与交于点E（如图3），求的面积．
③当B，，三点构成直角三角形时，请直接写出线段的长度．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A：是整数，不是无理数，不符合题意；
B：是整数，不是无理数，不符合题意；
C：是分数，不是无理数，不符合题意；
D：符合无理数的定义，符合题意．
故选：D ．
【分析】根据无理数的定义逐项进行判断即可求出答案.
2．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：该纸杯的主视图是选项A，
故选：A．
【分析】根据几何体的三视图即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 25000 =2.5×104.
故答案为：C.
【分析】大于10的数用科学记数法表示为a×10n，1≤a<10，n为原数字从左往右数第一个数后面整数的位数.
4．【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、图案是中心对称图形，
∴此选项符合题意；
B、图案不是中心对称图形，
∴此选项不符合题意；
C、图案是轴对称图形，不是中心对称图形，
∴此选项不符合题意；
D、图案是轴对称图形，不是中心对称图形，
∴此选项不符合题意.
故答案为：A．
【分析】中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据定义并结合各选项即可判断求解．
5．【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、掷一枚硬币，恰好是国徽面朝上，是随机事件，不符合题意；
B、某同学投篮球，一定投不中，是随机事件，不符合题意；
C、经过红绿灯路口时，一定是绿灯，是随机事件，不符合题意；
D、画一个三角形，其内角和为，是必然事件，符合题意；
故选：D．
【分析】根据事件的分类逐项进行判断即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：由题意知，，
∴，
故选：C．
【分析】根据直线平行性质即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；二次根式的性质与化简；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、与不是同类项，不能合并，选项错误，不符合题意；
B、，选项错误，不符合题意；
C、，选项正确，符合题意；
D、当时，，当时，，选项错误，不符合题意；
故选：C
【分析】根据合并同类项可判断A；根据同底数幂的除法可判断B；根据积的乘方运算可判断C；根据二次根式的化简可判断D.
8．【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：根据题意得：个，
即估计口袋中白球的个数是18个．
故选：B
【分析】用球的总个数分别乘以摸到白球频率即可求出答案.
9．【答案】B
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：∵，，
∴的长是．
故选：B．
【分析】根据弧长公式即可求出答案.
10．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：∵，为高，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】根据等腰三角形性质可得，再解直角三角形即可求出答案.
11．【答案】D
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：根据豆浆和牛奶初始温度均为且牛奶比豆浆的温度升高得慢，即可得出牛奶和豆浆的温度随加热时间变化的图象是D．
故选：D．
【分析】根据豆浆和牛奶初始温度均为且牛奶比豆浆的温度升高得慢，即可得出牛奶和豆浆的温度随加热时间变化的图象．
12．【答案】D
【知识点】有理数的乘方法则；十进制及其他进制问题；有理数的加法实际应用
【解析】【解答】解：根据题意，绳子上按照古代记数规则是，由于满四进一，将其转化为现在的十进制数为，
故选：D．
【分析】根据进制定义，结合有理数的乘方，乘法计算即可求出答案.
13．【答案】2025
【知识点】化简多重符号有理数
【解析】【解答】解：．
故答案为：2025.
【分析】此题求的是-2025的相反数，根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案.
14．【答案】
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵，
∴，
则，
∴，
故答案为：
【分析】移项，合并同类项，系数化1即可求出答案.
15．【答案】130
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：∵，当f为260赫兹，长度l为0.5米，
∴；
故答案为：130．
【分析】根据待定系数法将f=260，l=0.5代入解析式即可求出答案.
16．【答案】
【知识点】三角形三边关系；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：连接，，如图1所示，
∵四边形为矩形，，
∴由勾股定理可得．
由折叠可知，
在中，由三边关系可得，当且仅当A、M、C三点共线时取等号，
即，
故的最小值为．
故答案为：．
【分析】连接，，根据矩形性质可得，根据勾股定理可得AC，再根据折叠性质可得，再根据三角形三边关系即可求出答案.
17．【答案】任务一：一，漏乘了；
任务二：该题的正确解题过程如下：
，
去分母得，
，
去括号得，
移项、合并同类项得，
，
检验：当时，，
原分式方程的解为．
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：任务一：上述解题过程从第一步开始出现错误，这一步错误的原因是漏乘了，
故答案为：一，漏乘了；
【分析】任务一：根据等式的性质进行判断即可求出答案.
任务二：去分母转换为整式方程，再解方程即可求出答案.
18．【答案】（1）解：由题意，作图如下：
（2）解：∵，，，
∴，
∵垂直平分，
∴，
设，则：，
在中，由勾股定理，得：，
解得：，
∴，
∴的周长．
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）以为圆心，大于的长为半径画弧，分别交于点，连接分别与，交于点D，E即可；
（2）根据勾股定理可得BC，再根据垂直平分线性质可得，设，则：，根据勾股定理建立方程，解方程可得x，再根据三角形面积即可求出答案.
（1）解：由题意，作图如下：
（2）∵，，，
∴，
∵垂直平分，
∴，
设，则：，
在中，由勾股定理，得：，
解得：，
∴，
∴的周长．
19．【答案】（1）69，70
（2）解：由题意，得：；
∴；
（3）解：李悦能入选，王芳不一定能入选，理由如下：
由直方图可知，80分以上的学生有人，李悦的成绩为82，故李悦能入选，分有6人，王芳的成绩低于80分，入选12人，故无法确定王芳是否能入选．
【知识点】频数（率）分布直方图；平均数及其计算；加权平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】（1）解：5个数据排序后，第3个数据为69，
故中位数为：69分；
平均数为：（分）
故答案为：69，70；
【分析】（1）根据中位数，平均数的定义即可求出答案.
（2）根据加权平均数即可求出答案.
（3）根据各统计量的意义进行分析即可求出答案.
（1）解：5个数据排序后，第3个数据为69，
故中位数为：69分；
平均数为：（分）
故答案为：69，70；
（2）由题意，得：；
∴；
（3）李悦能入选，王芳不一定能入选，理由如下：
由直方图可知，80分以上的学生有人，李悦的成绩为82，故李悦能入选，分有6人，王芳的成绩低于80分，入选12人，故无法确定王芳是否能入选．
20．【答案】（1）解：设可购买绿萝盆，吊兰盆，
依题意得：，
解得：，
答：可购买绿萝盆，吊兰盆；
（2）解：设购买吊兰的数量为盆，则购买绿萝的数量为盆，
绿萝盆数不少于吊兰盆数的倍，
，
解得：，
设购买两种绿植共花费元，
由题意得：，
，
随的增大而减小，
当时，取最小值，即花费最少，
（元），
此时购买吊兰盆，绿萝（盆），
答：购买吊兰的盆，绿萝盆，总花费最少，最少为元．
【知识点】一次函数的其他应用；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（1）设可购买绿萝盆，吊兰盆，根据题意：计划购买绿萝和吊兰两种绿植共盆，采购组计划将预算经费元全部用于购买绿萝与吊兰，建立方程组，解方程组即可求出答案
（2）设购买吊兰的数量为盆，则购买绿萝的数量为盆，由绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍，得，求得的取值范围，设购买两种绿植共花费元，由题意得：，结合一次函数性质即可求出答案.
（1）解：设可购买绿萝盆，吊兰盆，
依题意得：，
解得：，
答：可购买绿萝盆，吊兰盆；
（2）解：设购买吊兰的数量为盆，则购买绿萝的数量为盆，
绿萝盆数不少于吊兰盆数的倍，
，
解得：，
设购买两种绿植共花费元，
由题意得：，
，
随的增大而减小，
当时，取最小值，即花费最少，
（元），
此时购买吊兰盆，绿萝（盆），
答：购买吊兰的盆，绿萝盆，总花费最少，最少为元．
21．【答案】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵是切线，
∴，
∴，
即，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：设，则，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
解得，(不合，舍去)，
∴，，，
∵，
∴，
解得，
∴．
【知识点】等腰三角形的性质；切线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；正切的概念
【解析】【分析】（1）连接，根据等边对等角可得，根据切线性质，即，再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）设，则，根据边之间的关系可得EF，OD，DC，再根据勾股定理建立方程，解方程可得x，则，，，再根据正切定义建立方程，解方程可得OP，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵是切线，
∴，
∴，
即，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：设，则，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
解得，(不合，舍去)，
∴，，，
∵，
∴，
解得，
∴．
22．【答案】解：任务一：设，将点代入得，
，
解得：，
∴，
设，将点代入得，
，
解得：，
∴；
任务二：（1）由，当时，，
解得：，
当时，，
∴当小球在水平木板上停下来时，此时小球的滑动距离为；
（2）当时，，解得：，
当时，，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】任务一：设，根据待定系数法将点代入解析式可得，设，再根据待定系数法将点代入解析式即可求出答案.
任务二：将v=0代入可得x=20，再将x=20代入即可求出答案.
（2）将v=3代入可得x=14，再将x=14代入即可求出答案.
23．【答案】（1）旋转；
（2）①四边形是矩形，
证明：由旋转可得：，
，
，
当D，B，点共线时，，
，
，
，
中，，，，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形；
②作于，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
，，
旋转角度是，即，
，
，
，
，
，
；
③线段的长度为或或
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）将绕中点旋转得，就可拼成一个以，为邻边的平行四边形，
故答案为：旋转；
（2）③当时，如图所示：
作于，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
；
当时，如图所示：
由旋转可得：，，
作于，
，
，
，
，
，
设，则，，
在中，
，
，
，
；
当时，如图所示：
，
，
，
此时三点共线，
，
，
综上所述，当B，，三点构成直角三角形时，线段的长度为或或．
【分析】（1）根据旋转性质即可求出答案.
（2）①由旋转可得：，当D，B，点共线时，，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据平行四边形性质及矩形判定定理即可求出答案.
②作于，根据角之间的关系可得，，根据相似三角形判定定理可得，则，根据勾股定理可得AB，代入等式，解方程可得AF，CF，根据旋转性质可得，根据直线平行性质可得，根据等角对等边可得，根据边之间的关系可得BE，再根据三角形面积即可求出答案.
③分情况讨论：当时，作于，根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，，根据勾股定理可得CJ，再根据边之间的关系即可求出答案；当时，由旋转可得：，，作于，根据角之间的关系可得，根据相似三角形判定定理可得，则，设，则，，根据勾股定理建立方程，解方程可得BD'，当时，则，即，此时三点共线，再根据勾股定理即可求出答案.
1 / 1广西柳州市柳南区九年级2025年中考三模数学试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1．（2025·柳南模拟）下列实数中，无理数是（　　）
A． B．0 C． D．
【答案】D
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A：是整数，不是无理数，不符合题意；
B：是整数，不是无理数，不符合题意；
C：是分数，不是无理数，不符合题意；
D：符合无理数的定义，符合题意．
故选：D ．
【分析】根据无理数的定义逐项进行判断即可求出答案.
2．（2025·柳南模拟）如图，该纸杯的主视图是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：该纸杯的主视图是选项A，
故选：A．
【分析】根据几何体的三视图即可求出答案.
3．（2025·柳南模拟）“长征是宣言书，长征是宣传队，长征是播种机”，二万五千里长征是中国历史上的伟大壮举，也是人类史上的奇迹，将25000用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 25000 =2.5×104.
故答案为：C.
【分析】大于10的数用科学记数法表示为a×10n，1≤a<10，n为原数字从左往右数第一个数后面整数的位数.
4．（2025·柳南模拟）2025年蛇年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，设计了“巳巳如意纹样”，象征着美好的愿望和幸福．以下四个如意纹样中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、图案是中心对称图形，
∴此选项符合题意；
B、图案不是中心对称图形，
∴此选项不符合题意；
C、图案是轴对称图形，不是中心对称图形，
∴此选项不符合题意；
D、图案是轴对称图形，不是中心对称图形，
∴此选项不符合题意.
故答案为：A．
【分析】中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据定义并结合各选项即可判断求解．
5．（2025·柳南模拟）下列事件中，必然事件的是（　　）
A．掷一枚硬币，恰好是国徽面朝上
B．某同学投篮球，一定投不中
C．经过红绿灯路口时，一定是绿灯
D．画一个三角形，其内角和为
【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、掷一枚硬币，恰好是国徽面朝上，是随机事件，不符合题意；
B、某同学投篮球，一定投不中，是随机事件，不符合题意；
C、经过红绿灯路口时，一定是绿灯，是随机事件，不符合题意；
D、画一个三角形，其内角和为，是必然事件，符合题意；
故选：D．
【分析】根据事件的分类逐项进行判断即可求出答案.
6．（2025·柳南模拟）如图，一把直尺、两个含的三角尺拼接在一起，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：由题意知，，
∴，
故选：C．
【分析】根据直线平行性质即可求出答案.
7．（2025·柳南模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；二次根式的性质与化简；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、与不是同类项，不能合并，选项错误，不符合题意；
B、，选项错误，不符合题意；
C、，选项正确，符合题意；
D、当时，，当时，，选项错误，不符合题意；
故选：C
【分析】根据合并同类项可判断A；根据同底数幂的除法可判断B；根据积的乘方运算可判断C；根据二次根式的化简可判断D.
8．（2025·柳南模拟）在一个不透明的口袋中，装有红色、黑色、白色的小球共60个，除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后，摸到白色小球的频率稳定在，则可估计口袋中白球的个数是（　　）
A．12 B．18 C．24 D．30
【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：根据题意得：个，
即估计口袋中白球的个数是18个．
故选：B
【分析】用球的总个数分别乘以摸到白球频率即可求出答案.
9．（2025·柳南模拟）如图，在扇形纸扇中，若，，则的长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：∵，，
∴的长是．
故选：B．
【分析】根据弧长公式即可求出答案.
10．（2025·柳南模拟）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中，，，则高约为（　　）（参考数据：，，）
A．9.98cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：∵，为高，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】根据等腰三角形性质可得，再解直角三角形即可求出答案.
11．（2025·柳南模拟）如图，在两个大小相同的玻璃瓶中分别装有质量相同且初始温度均为的豆浆和牛奶，同时浸入的热水中加热相同的时间，已知牛奶比豆浆的温度升高得慢，则上述实验的一段时间内，牛奶和豆浆的温度随加热时间变化的图象是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：根据豆浆和牛奶初始温度均为且牛奶比豆浆的温度升高得慢，即可得出牛奶和豆浆的温度随加热时间变化的图象是D．
故选：D．
【分析】根据豆浆和牛奶初始温度均为且牛奶比豆浆的温度升高得慢，即可得出牛奶和豆浆的温度随加热时间变化的图象．
12．（2025·柳南模拟）“结绳计数”是远古时代人类智慧的结晶，即人们通过在绳子上打结来记录数量，类似我们现在熟悉的“进位制”，如图所示是一位古人记录的当天采摘果实的个数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满四进一，根据图示可知，这位古人当天采摘果实的个数是（　　）
A．186 B．185 C．184 D．183
【答案】D
【知识点】有理数的乘方法则；十进制及其他进制问题；有理数的加法实际应用
【解析】【解答】解：根据题意，绳子上按照古代记数规则是，由于满四进一，将其转化为现在的十进制数为，
故选：D．
【分析】根据进制定义，结合有理数的乘方，乘法计算即可求出答案.
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．）
13．（2025·柳南模拟）计算：　 　．
【答案】2025
【知识点】化简多重符号有理数
【解析】【解答】解：．
故答案为：2025.
【分析】此题求的是-2025的相反数，根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案.
14．（2025·柳南模拟）不等式的解集是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵，
∴，
则，
∴，
故答案为：
【分析】移项，合并同类项，系数化1即可求出答案.
15．（2025·柳南模拟）二胡是我国一种传统拉弦乐器，演奏二胡时，在同一张力下，它的振动弦的共振频率f（单位：赫兹）与长度l（单位：米）近似成反比例关系，即（k为常数，）．若某一振动频率f为260赫兹，长度l为0.5米，则k的值为　 　．
【答案】130
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：∵，当f为260赫兹，长度l为0.5米，
∴；
故答案为：130．
【分析】根据待定系数法将f=260，l=0.5代入解析式即可求出答案.
16．（2025·柳南模拟）如图，在矩形中，已知，P是边上一动点（点P不与点B，C重合），连接，作点B关于直线的对称点M，则线段的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】三角形三边关系；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：连接，，如图1所示，
∵四边形为矩形，，
∴由勾股定理可得．
由折叠可知，
在中，由三边关系可得，当且仅当A、M、C三点共线时取等号，
即，
故的最小值为．
故答案为：．
【分析】连接，，根据矩形性质可得，根据勾股定理可得AC，再根据折叠性质可得，再根据三角形三边关系即可求出答案.
三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（2025·柳南模拟）下面是小华同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成任务：
解：方程两边同乘，得 第一步
第二步
第三步
检验，当时，
所以，是分式方程的解 第四步
任务一：上述解题过程从第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______；
任务二：请写出该题的正确解题过程．
【答案】任务一：一，漏乘了；
任务二：该题的正确解题过程如下：
，
去分母得，
，
去括号得，
移项、合并同类项得，
，
检验：当时，，
原分式方程的解为．
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：任务一：上述解题过程从第一步开始出现错误，这一步错误的原因是漏乘了，
故答案为：一，漏乘了；
【分析】任务一：根据等式的性质进行判断即可求出答案.
任务二：去分母转换为整式方程，再解方程即可求出答案.
18．（2025·柳南模拟）如图，在中，，，．
（1）尺规作图：作线段的垂直平分线，分别与，交于点D，E．（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的基础上，连接，求的周长．
【答案】（1）解：由题意，作图如下：
（2）解：∵，，，
∴，
∵垂直平分，
∴，
设，则：，
在中，由勾股定理，得：，
解得：，
∴，
∴的周长．
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）以为圆心，大于的长为半径画弧，分别交于点，连接分别与，交于点D，E即可；
（2）根据勾股定理可得BC，再根据垂直平分线性质可得，设，则：，根据勾股定理建立方程，解方程可得x，再根据三角形面积即可求出答案.
（1）解：由题意，作图如下：
（2）∵，，，
∴，
∵垂直平分，
∴，
设，则：，
在中，由勾股定理，得：，
解得：，
∴，
∴的周长．
19．（2025·柳南模拟）为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，有20名学生报名参加选拔．报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由五位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出每人的总评成绩．统计如下：请你完成下列任务：
李悦、王芳的三项测试成绩和总评成绩表
选手 测试成绩/分 总评成绩/分
采访 写作 摄影
李悦 86 84 m n
王芳 83 72 80 78
（1）在摄影测试中，五位评委给李悦打出的分数如下：71，68，68，74，69．这组数据的中位数是______分，平均数是______分；
（2）计算李悦的总评成绩n；
（3）学校决定根据总评成绩择优选拔12名小记者．试分析李悦、王芳能否入选，并说明理由．
【答案】（1）69，70
（2）解：由题意，得：；
∴；
（3）解：李悦能入选，王芳不一定能入选，理由如下：
由直方图可知，80分以上的学生有人，李悦的成绩为82，故李悦能入选，分有6人，王芳的成绩低于80分，入选12人，故无法确定王芳是否能入选．
【知识点】频数（率）分布直方图；平均数及其计算；加权平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】（1）解：5个数据排序后，第3个数据为69，
故中位数为：69分；
平均数为：（分）
故答案为：69，70；
【分析】（1）根据中位数，平均数的定义即可求出答案.
（2）根据加权平均数即可求出答案.
（3）根据各统计量的意义进行分析即可求出答案.
（1）解：5个数据排序后，第3个数据为69，
故中位数为：69分；
平均数为：（分）
故答案为：69，70；
（2）由题意，得：；
∴；
（3）李悦能入选，王芳不一定能入选，理由如下：
由直方图可知，80分以上的学生有人，李悦的成绩为82，故李悦能入选，分有6人，王芳的成绩低于80分，入选12人，故无法确定王芳是否能入选．
20．（2025·柳南模拟）在学校开展“劳动创造美好生活”主题活动中，九年级（1）班负责校园某绿化角的设计．种植与养护同学们约定每人养护一盆绿植，计划购买绿萝和吊兰两种绿植共盆，且绿萝盆数不少于吊兰盆数的倍已知绿萝每盆元，吊兰每盆元．
（1）采购组计划将经费元全部用于购买绿萝和吊兰，可购买绿萝和吊兰各多少盆？
（2）请帮规划组找出最省钱的购买方案，并求出购买两种绿植总费用的最小值．
【答案】（1）解：设可购买绿萝盆，吊兰盆，
依题意得：，
解得：，
答：可购买绿萝盆，吊兰盆；
（2）解：设购买吊兰的数量为盆，则购买绿萝的数量为盆，
绿萝盆数不少于吊兰盆数的倍，
，
解得：，
设购买两种绿植共花费元，
由题意得：，
，
随的增大而减小，
当时，取最小值，即花费最少，
（元），
此时购买吊兰盆，绿萝（盆），
答：购买吊兰的盆，绿萝盆，总花费最少，最少为元．
【知识点】一次函数的其他应用；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（1）设可购买绿萝盆，吊兰盆，根据题意：计划购买绿萝和吊兰两种绿植共盆，采购组计划将预算经费元全部用于购买绿萝与吊兰，建立方程组，解方程组即可求出答案
（2）设购买吊兰的数量为盆，则购买绿萝的数量为盆，由绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍，得，求得的取值范围，设购买两种绿植共花费元，由题意得：，结合一次函数性质即可求出答案.
（1）解：设可购买绿萝盆，吊兰盆，
依题意得：，
解得：，
答：可购买绿萝盆，吊兰盆；
（2）解：设购买吊兰的数量为盆，则购买绿萝的数量为盆，
绿萝盆数不少于吊兰盆数的倍，
，
解得：，
设购买两种绿植共花费元，
由题意得：，
，
随的增大而减小，
当时，取最小值，即花费最少，
（元），
此时购买吊兰盆，绿萝（盆），
答：购买吊兰的盆，绿萝盆，总花费最少，最少为元．
21．（2025·柳南模拟）如图，为半圆的直径，点在半圆上，点在的延长线上，与半圆相切于点，与的延长线相交于点，与相交于点，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵是切线，
∴，
∴，
即，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：设，则，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
解得，(不合，舍去)，
∴，，，
∵，
∴，
解得，
∴．
【知识点】等腰三角形的性质；切线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；正切的概念
【解析】【分析】（1）连接，根据等边对等角可得，根据切线性质，即，再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）设，则，根据边之间的关系可得EF，OD，DC，再根据勾股定理建立方程，解方程可得x，则，，，再根据正切定义建立方程，解方程可得OP，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵是切线，
∴，
∴，
即，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：设，则，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
解得，(不合，舍去)，
∴，，，
∵，
∴，
解得，
∴．
22．（2025·柳南模拟）项目化学习
【项目主题】从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”．
【项目内容】数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后相据所测量的数据进行分析，建立数学模型，并进一步应用．
【实验过程】如图所示，一个黑球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从黑球运动到点A处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间（单位：）、运动速度v（单位：、滑行距离y（单位：）的数据．记录的数据如下：
运动时间
运动速度
滑行距离
【观察分析】数学兴趣小组通过作出v与x的函数图象、y与x的函数图象，并结合已学习过的函数知识，发现v与x的函数关系为一次函数关系，y与x的函数关系为二次函数关系．
【问题解决】
任务一：请你结合表格数据，分别求出v与x的函数关系式和y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）
任务二：
（1）当黑球在水平木板停下来时，求此时黑球的滑行距离；
（2）若黑球到达木板点A处的同时，在点A的前方处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，若黑球不能撞上小车，求n的取值范围．
【答案】解：任务一：设，将点代入得，
，
解得：，
∴，
设，将点代入得，
，
解得：，
∴；
任务二：（1）由，当时，，
解得：，
当时，，
∴当小球在水平木板上停下来时，此时小球的滑动距离为；
（2）当时，，解得：，
当时，，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】任务一：设，根据待定系数法将点代入解析式可得，设，再根据待定系数法将点代入解析式即可求出答案.
任务二：将v=0代入可得x=20，再将x=20代入即可求出答案.
（2）将v=3代入可得x=14，再将x=14代入即可求出答案.
23．（2025·柳南模拟）实践与探究
杨老师在教学过程中特别重视教材的运用，下面是他以教材课后习题为载体，引导学生进行数学实践操作与拓展探究．
【教材再现】人教版九年级上册数学课本第70页“综合运用”第6题：
已知，能否通过平移、轴对称或旋转，得到另一个三角形，使得这两个三角形能够拼成一个以，为邻边的平行四边形？
【实践操作】
（1）如图1，航天小组同学将绕中点______（填“平移”或“轴对称”或“旋转”）得，就可拼成一个以，为邻边的平行四边形．
【特例探究】
（2）航天小组同学继续探索，若是直角三角形，，，，在（1）的基础上，将绕点C顺时针旋转得到，探索中发现：
①当D，B，点共线时，连接（如图2），四边形是个特殊的四边形，请你判断四边形的形状，并证明你的结论．
②当旋转角度是时，设与交于点E（如图3），求的面积．
③当B，，三点构成直角三角形时，请直接写出线段的长度．
【答案】（1）旋转；
（2）①四边形是矩形，
证明：由旋转可得：，
，
，
当D，B，点共线时，，
，
，
，
中，，，，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形；
②作于，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
，，
旋转角度是，即，
，
，
，
，
，
；
③线段的长度为或或
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）将绕中点旋转得，就可拼成一个以，为邻边的平行四边形，
故答案为：旋转；
（2）③当时，如图所示：
作于，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
；
当时，如图所示：
由旋转可得：，，
作于，
，
，
，
，
，
设，则，，
在中，
，
，
，
；
当时，如图所示：
，
，
，
此时三点共线，
，
，
综上所述，当B，，三点构成直角三角形时，线段的长度为或或．
【分析】（1）根据旋转性质即可求出答案.
（2）①由旋转可得：，当D，B，点共线时，，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据平行四边形性质及矩形判定定理即可求出答案.
②作于，根据角之间的关系可得，，根据相似三角形判定定理可得，则，根据勾股定理可得AB，代入等式，解方程可得AF，CF，根据旋转性质可得，根据直线平行性质可得，根据等角对等边可得，根据边之间的关系可得BE，再根据三角形面积即可求出答案.
③分情况讨论：当时，作于，根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，，根据勾股定理可得CJ，再根据边之间的关系即可求出答案；当时，由旋转可得：，，作于，根据角之间的关系可得，根据相似三角形判定定理可得，则，设，则，，根据勾股定理建立方程，解方程可得BD'，当时，则，即，此时三点共线，再根据勾股定理即可求出答案.
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