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广西壮族自治区柳州市2024-2025学年八年级下学期数学期末卷
1．（2025八下·柳州期末）下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025八下·柳州期末）在中，的对边分别为a，b，c，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（　　）
A． B．，，
C． D．
3．（2025八下·柳州期末）在中，若的度数是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025八下·柳州期末）下列各曲线中，能表示y是x的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025八下·柳州期末）把5长的梯子斜靠在墙上，若梯子底端离墙4，则梯子顶端到地面的距离（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（2025八下·柳州期末）已知函数的图象是一条直线，下列说法正确的是（　　）
A．直线过原点 B．随的增大而减小
C．直线经过点 D．直线经过第二、四象限
7．（2025八下·柳州期末）某市6月份日平均气温统计如图所示，则在日平均气温这组数据中，众数和中位数分别是（　　）
A．21，21 B．21，21.5 C．21，22 D．22，22
8．（2025八下·柳州期末）在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的是（　　）
A．测量对角线是否相互平分 B．测量两组对边是否分别相等
C．测量对角线是否相等 D．测量其中三个角是否都为直角
9．（2025八下·柳州期末）一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，则方程kx＋b＝0的解为（　　）
A．x＝2 B．y＝2 C．x＝－1 D．y＝－1
10．（2025八下·柳州期末）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A和点B，C，D分别为线段，的中点，P为上一动点，当的值最小时，点P的坐标为（　　）
A． B． C． D．
11．（2025八下·柳州期末）要使二次根式 有意义，则x的取值范围为　 　.
12．（2025八下·柳州期末）甲、乙两人在100米短跑训练中，某5次的平均成绩都相等，甲的方差是0.15，乙的方差是0.09．这5次短跑训练成绩较稳定的是　 　．（填“甲”或“乙”）
13．（2025八下·柳州期末）将直线向下平移个单位，得到直线　 　．
14．（2025八下·柳州期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是　 　．
15．（2025八下·柳州期末）如图，四边形是一个正方形，是延长线上一点，且，连接，则的度数为　 　．
16．（2025八下·柳州期末）如图，秤是我国传统的称重工具，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量，称重时，秤钩所挂物体的重量y（斤）与秤杆上秤砣到秤纽的水平距离x（厘米）满足一次函数关系．如表中为若干次称重时所记录的一些数据：
x（厘米） 1 2 3 4 5
y（斤） 0.75 1 1.25 1.5 1.75
当时，对应的y的值为　 　．
17．（2025八下·柳州期末）计算：．
18．（2025八下·柳州期末）如图，在中，为对角线，、是上的点，且．求证：四边形是平行四边形．
19．（2025八下·柳州期末）如图，已知在中，于点D，，，，
（1）求的长；
（2）求证：是直角三角形．
20．（2025八下·柳州期末）如图，折线ABC是在某市乘出租车所付车费y（元）与行车里程x（km）之间的函数关系图象．
①根据图象，写出当x≥3时该图象的函数关系式；
②某人乘坐13km，应付多少钱？
③若某人付车费30.8元，出租车行驶了多少千米？
21．（2025八下·柳州期末）为保护环境“赤子之心”环保公益中心组织1000名学生参加义务收集废旧电池的活动，下面随机抽取50名学生对收集的废旧电池数量进行统计：
废旧电池数/节 3 4 5 6 8
人数/人 10 15 12 7 6
（1）上述数据中，废旧电池节数的众数是________节，中位数是________节；
（2）这次活动中，1000名学生共收集废旧电池多少节？
22．（2025八下·柳州期末）小亮在学习“矩形”这一节时又掌握了一个真命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，他联想到以前的学习经验，提出问题：这个定理的逆命题成立吗？首先他猜想：“如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形为直角三角形”．然后和同学一起交流讨论，通过合作探究，他们发现这个猜想确实能用以前学习过的知识去证明是成立的．以下是他们的证明过程：
已知：如图1，在中，D是边的中点，连接 ，且求证：为直角三角形．
证明：由条件可知，，则．
又∵，
∴，
即为直角三角形．
小亮及其团队还发现用本学期所学知识也能证明这个结论，并想出了图2的证明思路，请你把证明过程补充完整：
证法：如图2，延长至点E，使，连接．
23．（2025八下·柳州期末）如图，已知直线与坐标轴交于，两点，点是轴负半轴上一点，点，点是线段上一动点（不与端点重合），过点作轴，交于．
（1）求所在直线的解析式；
（2）若轴于点，点的坐标为，请用含的代数式表示的长；
（3）在轴上是否存在一点，使得为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，则此项不是最简二次根式，不符合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、，则此项不是最简二次根式，不符合题意；
D、，则此项不是最简二次根式，不符合题意；
故选：B．
【分析】根据最简二次根式的定义逐项进行判断即可求出答案.
2．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：A、，则最大角为，即是直角三角形，不符合题意；
B、由，符合勾股定理的逆定理，即是直角三角形，不符合题意；
C、，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形，符合题意；
D、由，则，即是直角三角形，不符合题意．
故选：C．
【分析】
判断一个三角形是否为直角三角形，可从角和边两个角度入手。从角的角度，若能得出三角形中有一个角为90 ° ，则为直角三角形；从边的角度，可利用勾股定理的逆定理，即验证三角形三边是否满足两短边的平方和等于最长边的平方，若满足则为直角三角形。本题中选项A、D从角的方面判断，选项B、C从边的方面判断。
3．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴.
故答案为：D.
【分析】根据平行线的性质和已知条件判断，即可求出度数，从而求出度数.
4．【答案】A
【知识点】函数的概念；函数的图象
【解析】【解答】解：A选项中，对于任意的x的值，y都有唯一的值与之对应，符合函数的定义，此项符合题意；B、C、D选项中，存在某个x，使得y值不是唯一，不符合函数的定义，故B、C、D选项不符题意。
故选：A．
【分析】
根据函数的定义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，据此逐项进行判断即可．
5．【答案】B
【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【解答】解：梯子斜靠于墙时，与地面和墙面形成直角三角形．梯子长度5米为斜边，底端离墙4米为一条直角边．
设梯子顶端到地面的垂直距离为米，
由勾股定理得：
（米）
因此，梯子顶端到地面的距离为3米，
故选：B．
【分析】设梯子顶端到地面的垂直距离为米，根据勾股定理即可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：当x＝0时，y＝2x＝0，直线过原点，故A选项符合题意；
当x＝1时，y＝2x＝2，直线不经过点（1，3），故C选项不符合题意；
∵2＞0，
∴y随x的增大而增大，直线经过第一、三象限，故B选项和D选项均不符合题意.
故答案为：A.
【分析】求出当x＝0和x＝1时函数y的值即可判断A、C；由正比例函数y=kx（k为常数，且k≠0）中，当k＞0时直线经过第一、三象限，y随x的增大而增大，即可判断B、D．
7．【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：这组数据中，21出现了10次，出现次数最多，所以众数为21，
第15个数和第16个数都是22，所以中位数是22.
故选C.
【分析】根据众数，中位数的定义即可求出答案.
8．【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A、对角线是否相互平分，能判定平行四边形；
B、两组对边是否分别相等，能判定平行四边形；
C、一组对角是否都为直角，不能判定形状；
D、其中四边形中三个角都为直角，能判定矩形．
故选D．
【分析】根据矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；
（2）有三个角是直角的四边形是矩形；
（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．
9．【答案】C
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数y=kx＋b的图象与x轴的交点为（－1，0），
∴当y=kx＋b=0时，x=－1．
故选：C．
【分析】根据函数图象与x轴的交点坐标即为对应方程的解，即可求出答案.
10．【答案】A
【知识点】两点之间线段最短；轴对称的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】解：作点D关于x轴的对称点，连接交x轴与点P，此时的值最小，
设直线的解析式为，
，取y=0，得x+4=0，解得x=-4；
取x=0，得y=4.
∴，
∵C，D分别为线段，的中点，
∴，，
∴
∴，
解得，
∴直线CE解析式为，
当时，，
解得，
∴点P的坐标为.
故答案为：A．
【分析】先根据 直线 ，求出A、B的坐标，再根据C，D分别为线段，的中点，求出C、D的坐标，通过作轴对称，找到使的值最小的点P，先求出直线的解析式，再确定直线与x轴的交点坐标即可．
11．【答案】x≥8
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】∵二次根式 有意义，
∴x﹣8≥0，
解得：x≥8
故答案为：x≥8
【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数的值大于等于零，得到关于x的不等式，计算得到x的取值范围即可。
12．【答案】乙
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵甲的方差是0.15，乙的方差是0.09，
∴甲的方差＞乙的方差，
∴这5次短跑训练成绩较稳定的是乙，
故答案为：乙．
【分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
13．【答案】
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：由“上加下减”的原则可知，直线y=2x向下平移1个单位，得到直线是：y=2x-1．故答案为y=2x-1．
【分析】根据函数图象的平移规律：上加下减，左加右减即可求出答案.
14．【答案】（5，4）
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，
∴AB=5，
∴DO=4，
∴点C的坐标是：（5，4）．
故答案为：（5，4）．
【分析】根据两点间距离可得AB=5，根据勾股定理可得DO=4，再根据菱形性质即可求出答案.
15．【答案】67.5
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是一个正方形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据正方形性质可得，根据等边对等角可得，根据三角形外角性质可得，则，再根据角之间的关系即可求出答案.
16．【答案】3
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：依题意，设与之间的函数关系式为，
把，，，代入，
可得，
解得，
与之间的函数关系式是；
当时，，
当时，对应的的值为3．
故答案为：3
【分析】设与之间的函数关系式为，根据待定系数法把，，，代入解析式可得y与之间的函数关系式是，再将x=10代入解析式即可求出答案.
17．【答案】解：
．
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【分析】根据二次根式的加减即可求出答案.
18．【答案】证明：如图，连接，交于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，即，
∴与互相平分，
∴四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】连接，交于点，根据平行四边形性质可得，根据边之间的关系可得，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
19．【答案】（1）解：∵
∴
在中，
在中，
∴
（2）证明：∵，，，
∴，即
∴是直角三角形，
【知识点】勾股定理的逆定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据勾股定理可得CD，AD，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）根据勾股定理逆定理即可求出答案.
（1）解：∵
∴
在中，
在中，
∴
（2）证明：∵，，，
∴，即
∴是直角三角形，
20．【答案】解：①设当x≥3时，y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
将点B（3，7）、C（8，14）代入y＝kx+b可得：
，
解得：，
∴当x≥3时该图象的函数关系式为y＝x+．
②当x＝13时，y＝×13+＝21．
答：某人乘坐13km，应付21元钱．
③当y＝x+＝30.8，
解得：x＝20．
答：若某人付车费30.8元，出租车行驶了20千米．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】①设当x≥3时，y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，根据待定系数法将点B，C坐标代入解析式即可求出答案.
②将x=13代入解析式即可求出答案.
③将y=30.8代入解析式即可求出答案.
21．【答案】（1）4，4.5；
（2）50名学生平均每人收集废旧电池的个数＝（10×3＋15×4＋12×5＋7×6＋6×8）÷50＝4.8（节），
1000×4.8=4800（节）．
【知识点】加权平均数及其计算；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）从统计表格得，众数为4节；由于收集3节和4节电池的人数有25个人，收集5节的人有12人，
所以中位数＝（4＋5）÷2＝4.5（节），
故答案是：4，4.5；
【分析】（1）根据众数，中位数的定义即可求出答案.
（2）根据平均数的定义即可求出答案.
22．【答案】解：延长至点，使，连接、；
是的中点，
，
四边形是平行四边形，
又，
，
平行四边形是矩形．
，
为直角三角形．
【知识点】矩形的判定与性质；直角三角形的判定
【解析】【分析】延长至点，使，连接、，根据线段中点可得，根据矩形判定定理可得平行四边形是矩形，则，再根据直角三角形判定定理即可求出答案.
23．【答案】（1）解：由直线中，令可得，令可求得，
∴，，
∵，
设直线解析式为，代入得：
，解得，
∴直线解析式为；
（2）解：∵点的坐标为，点在直线图象上，
∴点的坐标为，
∵轴，在直线图象上，
当时，，
解得：，
∴点的坐标为，
∴；
（3）解：存在点，使得为等腰直角三角形，理由如下；
当，时，如图，
设，则，，
∴，
∴，
解得，
∴点的坐标为；
当，时，如图，
设，则，，
∴，
∴，解得，
∴点的坐标为，
当，时，如图，作于点，则，
设，的纵坐标为，
则，，，
∴，，
∴，
解得：，
∴，，
∴点的横坐标为，
∴点的坐标为，
综上所述：满足条件的点坐标为或或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的判定与性质；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征可得，，设直线解析式为，再根据待定系数法将点B，C坐标代入解析式即可求出答案.
（2）由题意可得点的坐标为，根据平行于x轴的直线上点的坐标特征可得点的坐标为，再根据两点间距离即可求出答案.
（3）分情况讨论：当，时，设，则，，根据两点间距离建立方程，解方程即可求出答案；当，时，设，则，，根据两点间距离建立方程，解方程即可求出答案；当，时，作于点，则，设，的纵坐标为，则，，，根据两点间距离建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：由直线中，令可得，令可求得，
∴，，
∵，
设直线解析式为，代入得：
，解得，
∴直线解析式为；
（2）解：∵点的坐标为，点在直线图象上，
∴点的坐标为，
∵轴，在直线图象上，
当时，，
解得：，
∴点的坐标为，
∴；
（3）解：存在点，使得为等腰直角三角形，理由如下；
当，时，如图，
设，则，，
∴，
∴，
解得，
∴点的坐标为；
当，时，如图，
设，则，，
∴，
∴，解得，
∴点的坐标为，
当，时，如图，作于点，则，
设，的纵坐标为，
则，，，
∴，，
∴，
解得：，
∴，，
∴点的横坐标为，
∴点的坐标为，
综上所述：满足条件的点坐标为或或．
1 / 1广西壮族自治区柳州市2024-2025学年八年级下学期数学期末卷
1．（2025八下·柳州期末）下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，则此项不是最简二次根式，不符合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、，则此项不是最简二次根式，不符合题意；
D、，则此项不是最简二次根式，不符合题意；
故选：B．
【分析】根据最简二次根式的定义逐项进行判断即可求出答案.
2．（2025八下·柳州期末）在中，的对边分别为a，b，c，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（　　）
A． B．，，
C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：A、，则最大角为，即是直角三角形，不符合题意；
B、由，符合勾股定理的逆定理，即是直角三角形，不符合题意；
C、，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形，符合题意；
D、由，则，即是直角三角形，不符合题意．
故选：C．
【分析】
判断一个三角形是否为直角三角形，可从角和边两个角度入手。从角的角度，若能得出三角形中有一个角为90 ° ，则为直角三角形；从边的角度，可利用勾股定理的逆定理，即验证三角形三边是否满足两短边的平方和等于最长边的平方，若满足则为直角三角形。本题中选项A、D从角的方面判断，选项B、C从边的方面判断。
3．（2025八下·柳州期末）在中，若的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴.
故答案为：D.
【分析】根据平行线的性质和已知条件判断，即可求出度数，从而求出度数.
4．（2025八下·柳州期末）下列各曲线中，能表示y是x的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的概念；函数的图象
【解析】【解答】解：A选项中，对于任意的x的值，y都有唯一的值与之对应，符合函数的定义，此项符合题意；B、C、D选项中，存在某个x，使得y值不是唯一，不符合函数的定义，故B、C、D选项不符题意。
故选：A．
【分析】
根据函数的定义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，据此逐项进行判断即可．
5．（2025八下·柳州期末）把5长的梯子斜靠在墙上，若梯子底端离墙4，则梯子顶端到地面的距离（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【解答】解：梯子斜靠于墙时，与地面和墙面形成直角三角形．梯子长度5米为斜边，底端离墙4米为一条直角边．
设梯子顶端到地面的垂直距离为米，
由勾股定理得：
（米）
因此，梯子顶端到地面的距离为3米，
故选：B．
【分析】设梯子顶端到地面的垂直距离为米，根据勾股定理即可求出答案.
6．（2025八下·柳州期末）已知函数的图象是一条直线，下列说法正确的是（　　）
A．直线过原点 B．随的增大而减小
C．直线经过点 D．直线经过第二、四象限
【答案】A
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：当x＝0时，y＝2x＝0，直线过原点，故A选项符合题意；
当x＝1时，y＝2x＝2，直线不经过点（1，3），故C选项不符合题意；
∵2＞0，
∴y随x的增大而增大，直线经过第一、三象限，故B选项和D选项均不符合题意.
故答案为：A.
【分析】求出当x＝0和x＝1时函数y的值即可判断A、C；由正比例函数y=kx（k为常数，且k≠0）中，当k＞0时直线经过第一、三象限，y随x的增大而增大，即可判断B、D．
7．（2025八下·柳州期末）某市6月份日平均气温统计如图所示，则在日平均气温这组数据中，众数和中位数分别是（　　）
A．21，21 B．21，21.5 C．21，22 D．22，22
【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：这组数据中，21出现了10次，出现次数最多，所以众数为21，
第15个数和第16个数都是22，所以中位数是22.
故选C.
【分析】根据众数，中位数的定义即可求出答案.
8．（2025八下·柳州期末）在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的是（　　）
A．测量对角线是否相互平分 B．测量两组对边是否分别相等
C．测量对角线是否相等 D．测量其中三个角是否都为直角
【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A、对角线是否相互平分，能判定平行四边形；
B、两组对边是否分别相等，能判定平行四边形；
C、一组对角是否都为直角，不能判定形状；
D、其中四边形中三个角都为直角，能判定矩形．
故选D．
【分析】根据矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；
（2）有三个角是直角的四边形是矩形；
（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．
9．（2025八下·柳州期末）一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，则方程kx＋b＝0的解为（　　）
A．x＝2 B．y＝2 C．x＝－1 D．y＝－1
【答案】C
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数y=kx＋b的图象与x轴的交点为（－1，0），
∴当y=kx＋b=0时，x=－1．
故选：C．
【分析】根据函数图象与x轴的交点坐标即为对应方程的解，即可求出答案.
10．（2025八下·柳州期末）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A和点B，C，D分别为线段，的中点，P为上一动点，当的值最小时，点P的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两点之间线段最短；轴对称的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】解：作点D关于x轴的对称点，连接交x轴与点P，此时的值最小，
设直线的解析式为，
，取y=0，得x+4=0，解得x=-4；
取x=0，得y=4.
∴，
∵C，D分别为线段，的中点，
∴，，
∴
∴，
解得，
∴直线CE解析式为，
当时，，
解得，
∴点P的坐标为.
故答案为：A．
【分析】先根据 直线 ，求出A、B的坐标，再根据C，D分别为线段，的中点，求出C、D的坐标，通过作轴对称，找到使的值最小的点P，先求出直线的解析式，再确定直线与x轴的交点坐标即可．
11．（2025八下·柳州期末）要使二次根式 有意义，则x的取值范围为　 　.
【答案】x≥8
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】∵二次根式 有意义，
∴x﹣8≥0，
解得：x≥8
故答案为：x≥8
【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数的值大于等于零，得到关于x的不等式，计算得到x的取值范围即可。
12．（2025八下·柳州期末）甲、乙两人在100米短跑训练中，某5次的平均成绩都相等，甲的方差是0.15，乙的方差是0.09．这5次短跑训练成绩较稳定的是　 　．（填“甲”或“乙”）
【答案】乙
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵甲的方差是0.15，乙的方差是0.09，
∴甲的方差＞乙的方差，
∴这5次短跑训练成绩较稳定的是乙，
故答案为：乙．
【分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
13．（2025八下·柳州期末）将直线向下平移个单位，得到直线　 　．
【答案】
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：由“上加下减”的原则可知，直线y=2x向下平移1个单位，得到直线是：y=2x-1．故答案为y=2x-1．
【分析】根据函数图象的平移规律：上加下减，左加右减即可求出答案.
14．（2025八下·柳州期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是　 　．
【答案】（5，4）
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，
∴AB=5，
∴DO=4，
∴点C的坐标是：（5，4）．
故答案为：（5，4）．
【分析】根据两点间距离可得AB=5，根据勾股定理可得DO=4，再根据菱形性质即可求出答案.
15．（2025八下·柳州期末）如图，四边形是一个正方形，是延长线上一点，且，连接，则的度数为　 　．
【答案】67.5
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是一个正方形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据正方形性质可得，根据等边对等角可得，根据三角形外角性质可得，则，再根据角之间的关系即可求出答案.
16．（2025八下·柳州期末）如图，秤是我国传统的称重工具，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量，称重时，秤钩所挂物体的重量y（斤）与秤杆上秤砣到秤纽的水平距离x（厘米）满足一次函数关系．如表中为若干次称重时所记录的一些数据：
x（厘米） 1 2 3 4 5
y（斤） 0.75 1 1.25 1.5 1.75
当时，对应的y的值为　 　．
【答案】3
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：依题意，设与之间的函数关系式为，
把，，，代入，
可得，
解得，
与之间的函数关系式是；
当时，，
当时，对应的的值为3．
故答案为：3
【分析】设与之间的函数关系式为，根据待定系数法把，，，代入解析式可得y与之间的函数关系式是，再将x=10代入解析式即可求出答案.
17．（2025八下·柳州期末）计算：．
【答案】解：
．
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【分析】根据二次根式的加减即可求出答案.
18．（2025八下·柳州期末）如图，在中，为对角线，、是上的点，且．求证：四边形是平行四边形．
【答案】证明：如图，连接，交于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，即，
∴与互相平分，
∴四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】连接，交于点，根据平行四边形性质可得，根据边之间的关系可得，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
19．（2025八下·柳州期末）如图，已知在中，于点D，，，，
（1）求的长；
（2）求证：是直角三角形．
【答案】（1）解：∵
∴
在中，
在中，
∴
（2）证明：∵，，，
∴，即
∴是直角三角形，
【知识点】勾股定理的逆定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据勾股定理可得CD，AD，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）根据勾股定理逆定理即可求出答案.
（1）解：∵
∴
在中，
在中，
∴
（2）证明：∵，，，
∴，即
∴是直角三角形，
20．（2025八下·柳州期末）如图，折线ABC是在某市乘出租车所付车费y（元）与行车里程x（km）之间的函数关系图象．
①根据图象，写出当x≥3时该图象的函数关系式；
②某人乘坐13km，应付多少钱？
③若某人付车费30.8元，出租车行驶了多少千米？
【答案】解：①设当x≥3时，y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
将点B（3，7）、C（8，14）代入y＝kx+b可得：
，
解得：，
∴当x≥3时该图象的函数关系式为y＝x+．
②当x＝13时，y＝×13+＝21．
答：某人乘坐13km，应付21元钱．
③当y＝x+＝30.8，
解得：x＝20．
答：若某人付车费30.8元，出租车行驶了20千米．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】①设当x≥3时，y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，根据待定系数法将点B，C坐标代入解析式即可求出答案.
②将x=13代入解析式即可求出答案.
③将y=30.8代入解析式即可求出答案.
21．（2025八下·柳州期末）为保护环境“赤子之心”环保公益中心组织1000名学生参加义务收集废旧电池的活动，下面随机抽取50名学生对收集的废旧电池数量进行统计：
废旧电池数/节 3 4 5 6 8
人数/人 10 15 12 7 6
（1）上述数据中，废旧电池节数的众数是________节，中位数是________节；
（2）这次活动中，1000名学生共收集废旧电池多少节？
【答案】（1）4，4.5；
（2）50名学生平均每人收集废旧电池的个数＝（10×3＋15×4＋12×5＋7×6＋6×8）÷50＝4.8（节），
1000×4.8=4800（节）．
【知识点】加权平均数及其计算；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）从统计表格得，众数为4节；由于收集3节和4节电池的人数有25个人，收集5节的人有12人，
所以中位数＝（4＋5）÷2＝4.5（节），
故答案是：4，4.5；
【分析】（1）根据众数，中位数的定义即可求出答案.
（2）根据平均数的定义即可求出答案.
22．（2025八下·柳州期末）小亮在学习“矩形”这一节时又掌握了一个真命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，他联想到以前的学习经验，提出问题：这个定理的逆命题成立吗？首先他猜想：“如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形为直角三角形”．然后和同学一起交流讨论，通过合作探究，他们发现这个猜想确实能用以前学习过的知识去证明是成立的．以下是他们的证明过程：
已知：如图1，在中，D是边的中点，连接 ，且求证：为直角三角形．
证明：由条件可知，，则．
又∵，
∴，
即为直角三角形．
小亮及其团队还发现用本学期所学知识也能证明这个结论，并想出了图2的证明思路，请你把证明过程补充完整：
证法：如图2，延长至点E，使，连接．
【答案】解：延长至点，使，连接、；
是的中点，
，
四边形是平行四边形，
又，
，
平行四边形是矩形．
，
为直角三角形．
【知识点】矩形的判定与性质；直角三角形的判定
【解析】【分析】延长至点，使，连接、，根据线段中点可得，根据矩形判定定理可得平行四边形是矩形，则，再根据直角三角形判定定理即可求出答案.
23．（2025八下·柳州期末）如图，已知直线与坐标轴交于，两点，点是轴负半轴上一点，点，点是线段上一动点（不与端点重合），过点作轴，交于．
（1）求所在直线的解析式；
（2）若轴于点，点的坐标为，请用含的代数式表示的长；
（3）在轴上是否存在一点，使得为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由直线中，令可得，令可求得，
∴，，
∵，
设直线解析式为，代入得：
，解得，
∴直线解析式为；
（2）解：∵点的坐标为，点在直线图象上，
∴点的坐标为，
∵轴，在直线图象上，
当时，，
解得：，
∴点的坐标为，
∴；
（3）解：存在点，使得为等腰直角三角形，理由如下；
当，时，如图，
设，则，，
∴，
∴，
解得，
∴点的坐标为；
当，时，如图，
设，则，，
∴，
∴，解得，
∴点的坐标为，
当，时，如图，作于点，则，
设，的纵坐标为，
则，，，
∴，，
∴，
解得：，
∴，，
∴点的横坐标为，
∴点的坐标为，
综上所述：满足条件的点坐标为或或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的判定与性质；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征可得，，设直线解析式为，再根据待定系数法将点B，C坐标代入解析式即可求出答案.
（2）由题意可得点的坐标为，根据平行于x轴的直线上点的坐标特征可得点的坐标为，再根据两点间距离即可求出答案.
（3）分情况讨论：当，时，设，则，，根据两点间距离建立方程，解方程即可求出答案；当，时，设，则，，根据两点间距离建立方程，解方程即可求出答案；当，时，作于点，则，设，的纵坐标为，则，，，根据两点间距离建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：由直线中，令可得，令可求得，
∴，，
∵，
设直线解析式为，代入得：
，解得，
∴直线解析式为；
（2）解：∵点的坐标为，点在直线图象上，
∴点的坐标为，
∵轴，在直线图象上，
当时，，
解得：，
∴点的坐标为，
∴；
（3）解：存在点，使得为等腰直角三角形，理由如下；
当，时，如图，
设，则，，
∴，
∴，
解得，
∴点的坐标为；
当，时，如图，
设，则，，
∴，
∴，解得，
∴点的坐标为，
当，时，如图，作于点，则，
设，的纵坐标为，
则，，，
∴，，
∴，
解得：，
∴，，
∴点的横坐标为，
∴点的坐标为，
综上所述：满足条件的点坐标为或或．
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