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2.2一元二次方程的解法 题型分类练习
题型一、解一元二次方程—直接开平方法
1．方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先移项整理方程，再开平方得到方程的解．
【详解】解：∵原方程为，
∴移项可得。
对等式两边开平方，可得，
因此方程的解为．
2．方程的解正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题关键．利用直接开方法解方程，即可得到答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选：B．
3．方程的解是____________．
【答案】
．/．
【分析】本题主要考查了运用平方根解方程，灵活运用平方根解方程是解题的关键．通过移项和开平方解方程，运用平方根的性质求解．
【详解】解：移项得，
开平方得，即，
当时，解得；
当时，解得．
故答案为：．
4．（运算能力）用直接开平方法解一元二次方程：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了直接开平方法求一元二次方程的解，即通过变形将方程化为或的形式，然后通过开平方降次来求解.
（1）先把所含未知数的项移到等号的左边，再将系数化为1，然后利用直接开平方求解即可；
（2）先将系数化为1，再利用直接开平方求解即可；
（3）直接开方，再按解一元一次方程的方法求解即可．
【详解】（1）解：，
，
，
开平方得：，
所以，．
（2）解：，
，
开平方得：，
所以，．
（3）解：，
开平方，得：或，
所以．
题型二、解一元二次方程—配方法
5．将方程化成（a、b为常数）的形式，则a、b的值分别是（　　）
A．1，2 B．1， C．， D．，2
【答案】D
【详解】解：原方程为，
移项得，
配方，给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得，
即，整理为的形式得，
，．
6．已知a、b满足，则代数式的值为（ ）
A． B．4 C．或4 D．2
【答案】A
【分析】设，将等式变形为，解方程即可．
【详解】设，
由，得，
化简得，
解得，
即．
7．用配方法解方程：；
【答案】，
【分析】方程两边同时加上一次项系数一半的平方，配方解答即可．
【详解】解：，
配方，得，即．
两边开平方，得．
解得．
8．在解一元二次方程时，小明的解法如下，请按要求完成下列问题．
第一步：
第二步：
第三步：
第四步：或
第五步：，
(1)小明第三步配方的依据是__________；
A．完全平方公式 B．平方差公式 C．多项式与多项式乘法法则
(2)上述解题过程中，第________步有误，错误原因是_________，此方程正确的解是________________；
(3)用合适的方法解方程：．
【答案】(1)A
(2)二，没有给等号右边加1，，
(3)，
【分析】（1）配方法的依据是完全平方公式，即，据此可得出结果；
（2）需要检查每一步的计算是否正确，找出错误的步骤并分析原因，然后求解方程；
（3）使用公式法解方程即可．
【详解】（1）解：A项：完全平方公式是，在配方时，通常会使用该公式来将方程转化为完全平方的形式；
B项：平方差公式是，与配方无关；
C项：多项式与多项式乘法法则是，也与配方无关，
∴小明第三步配方的依据是完全平方公式，选A．
（2）解：小明在解题过程中，第二步有误，错误原因是没有给等号右边加1，
正确的解题过程如下：
，
，
，
，
或，
，．
（3）解：，
，，，
，
，
，．
题型三、解一元二次方程—公式法
9．用公式法解方程时，a，b，c的值依次是（　　）
A．0，，5 B．1，，5 C．1，5， D．1，，
【答案】D
【分析】先将方程整理为一元二次方程的一般形式，再根据一般形式确定a，b，c的值即可．
【详解】解：方程移项整理，得，
则，，．
10．对于任意实数a，b，定义．若，则a的值为____．
【答案】
【分析】根据定义的运算规则，将 代入公式，得到关于 的方程，然后解该一元二次方程．
本题考查了新定义计算，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】解：由定义，，
所以 ．
给定 ，
因此 ，
即 ．
解得．
故答案为：．
11．嘉嘉解一元二次方程的过程如下：
解：…①
，，，…②
…③
方程无实数根．…④
(1)嘉嘉解方程的方法是 ，他的求解过程从第 步开始出现错误；
(2)请你写出这个方程正确的解题步骤．
【答案】(1)公式法，②
(2)见解析
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，掌握公式法解一元二次方程是关键．
（1）根据题意可得解方程的方法是公式法，根据一次项的系数与常数项错误可得答案；
（2）先求解，再利用公式法求解即可．
【详解】（1）解：嘉嘉解方程的方法是公式法，他的求解过程从第②步开始出现错误；
（2）
整理得，，
，，，
，
方程有两个不相等的实数根，
，
，．
12．解一元二次方程时，小马和小虎两位同学的解法如下：
小马的解法： ① ② ③ ④ ⑤ 小虎的解法： ① ② ∴原方程无实数根③
(1)小马的解法从第__________步开始错：小虎的解法从第__________步开始错：
(2)请你用喜欢的方法求解此方程，
【答案】(1)②，②
(2)，（解法不唯一，方法过程步骤正确即可）
【分析】本题考查了解一元二次方程．
（1）需分别检查小马和小虎的解法步骤，找出错误起始步骤即可；
（2）用因式分解法求解方程即可（解法不唯一，方法过程步骤正确即可）．
【详解】（1）解：由题意知，小马的解法从第②步开始错，他等式的右边少加了1；
小虎的解法从第②步开始错，计算结果应该是16，
故答案为：②，②．
（2）解：，
，
则或，
∴，．
题型四、解一元二次方程—因式分解法
13．一元二次方程的根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵，
∴或，
解得：，．
14．用因式分解法解方程，正确的是（ ）
A．，， B．，
C．，， D．，
【答案】A
【分析】本题主要考查一元二次方程的解法．根据因式分解法求解方程即可．
【详解】解：，
，
或，
解得：，，
故选：A．
15．解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时开平方得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案；
（2）把方程左边利用提公因式法分解因式，再解方程即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
解得；
（2）解：∵，
∴，
∴或，
解得．
16．解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，；
(2)，．
【分析】本题主要考查了用公式法以及因式分解法解一元二次方程．
（1）直接用公式法解方程即可；
（2）移项后，利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：，
∵，，，
∴，
∴，
∴，；
（2）解：，
移项得：，
提公因式得：，
即或，
解得：，．
题型五、根据判别式判断一元二次方程根的情况
17．关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【答案】A
【分析】计算判别式并化简后，判断其符号即可得出结论．
【详解】解：一元二次方程的判别式为：
，
则原方程有两个不相等的实数根．
18．嘉嘉在解关于x的一元二次方程时，不小心将一次项系数写成了，解出其中一个根是，现有以下两种说法：
甲：原方程必定有一个根是；
乙：当时，原方程有两个不相等的实数根．
则下列判断正确的是（ ）
A．甲对，乙错 B．甲错，乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错
【答案】C
【分析】先根据写错的方程的根得到a与b的关系，再进行验证甲、乙说法的正确性，分别用到一元二次方程根的定义和根的判别式的性质．
【详解】解：由题意可知，写错一次项系数后的方程为，
∵该方程一个根为，
∴将代入得，
解得，
甲：∵原方程为，
∴将代入原方程得，
解得，
∴是原方程的根，甲说法正确；
乙：由题意得，，
代入得，
，
当时，，即，
∴原方程有两个不相等的实数根，乙说法正确．
∴甲、乙都对．
19．已知关于的方程；
(1)求证：无论取何值时，方程总有实数根；
(2)若等腰的一边长为，另两边长恰好是该方程的两个根，求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)的周长为
【分析】（1）要证明无论取何值方程总有实数根，只需计算判别式，证明恒成立．
（2）先因式分解求出方程的两个根，再根据等腰三角形的性质，分两种情况讨论边长为的边是腰还是底，结合三角形三边关系确定边长，进而计算周长．
【详解】（1）证明：∴已知方程为
∴
，
∵
∴
∴无论取何值，方程总有实数根．
（2）解：，
，
∴，
①当是底边时，另两边（腰）相等，即方程的两个根相等（），此时三边长为，，，但，不满足三角形三边关系，舍去．
当等腰三角形的底边长为时，
∵方程的两个根相等，
∴，
∴三边长为，，，
∵，不满足三角形三边关系，舍去，
②当等腰三角形的腰长为时，
讨论底边为或．
若底边为，∵方程的一个根为，
∴，
∴三边长为，，，
∵，满足三角形三边关系，
∴周长为；
若底边为，则另一腰为，但方程根，矛盾，此情况不成立．
因此周长为．
20．已知整式．
(1)化简；
(2)若的值为0，利用判别式判断此方程根的情况．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查了整式的加减运算，一元二次方程的判别式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先去括号，再合并同类项，得，即可作答．
（2）由得，则即可作答．
【详解】（1）解：
；
（2）解：由（1）得，
当时，则，，
∴
此方程有两个不相等的实数根．
题型一、配方法的应用
21．点在一次函数的图象上，其中为实数，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】C
【分析】先根据一次函数的系数判断函数增减性，再作差比较两个点的横坐标大小，结合增减性即可得到与的大小关系．
【详解】解：∵一次函数中，，
∴随的增大而减小，
对两个点的横坐标作差得，；
∵，
∴，即，
∵点都在该一次函数图象上，且，随增大而减小，
∴．
22．若，则的最小值为______．
【答案】
【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式、配方法的应用、非负数的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键．先根据已知等式用含的代数式表示，然后通过配方及非负数性质求解即可．
【详解】解：，
．
则．
的最小值为
故答案为：
23．已知，则的取值范围是___．
【答案】大于等于6
【分析】本题考查完全平方公式，配方法，掌握相关知识是解决问题的关键．根据已知得，代入，即可求出，的式子，再利用配方法得出完全平方公式，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴
，
∴ 的取值范围是：大于等于．
故答案为：大于等于．
24．配方法不仅可以用来解一元二次方程，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值和最小值等．例如，我们用此方法求代数式的最小值的过程如下：
解：．
，
，
的最小值是9．
请根据以上材料，完成下列问题：
(1)代数式，当_______时，代数式有最_______值（填“大”或“小”），这个值是_______；
(2)比较代数式与的大小，并说明理由．
【答案】(1)1；大；8
(2)，理由见解析
【分析】本题考查了配方法的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的非负性．
（1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最值；
（2）两式相减，配方后根据完全平方式恒大于等于0，可得差值的正负，即可得到两式的大小关系．
【详解】（1）解：∵，∴当1时，代数式有最大值，这个值是8；
故答案为：1，大，8．
（2）解：，
理由如下：
，
．
题型二、根据一元二次方程根的情况求参数
25．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（ ）
A．2 B．0 C． D．
【答案】A
【分析】当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式，根据该性质列方程即可求解．
【详解】解：关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
判别式，
解得．
26．定义运算：，．例如：，，若方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【分析】方程可转化为，再利用一元二次方程根的判别式确定m的取值范围，最后结合选项选出符合条件的m值．
【详解】∵，，
∴，
即，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得，
只有1在范围内，即m的值可能是1．
故选：D．
27．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数a的最小整数值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【分析】由根的判别式，一元二次方程有两个不相等的实数根的条件为．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
，解得且，
∴实数a的最小整数值为2．
【点睛】注意考虑二次项系数．
28．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是________．
【答案】
且
【分析】对于一元二次方程，若方程有实数根，则根的判别式，据此列不等式求解即可.
【详解】解：∵是关于的一元二次方程，
∴.
∵该一元二次方程有实数根，
∴，
整理得，
解得，
综上，的取值范围是且.
题型二、用换元法解一元二次方程
29．已知，则的值是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】D
【分析】本题考查换元法和完全平方公式的应用，通过设，将原式转化为关于的方程，利用完全平方公式展开求解即可．
【详解】解：∵
∴设，则，
∴
∵，
∴
∴
∴
∴
即
故选：D．
30．已知关于的方程（a、b、c均为常数，且）的解是，，那么方程的解是（　　）
A． B．
C． D．，方程无实数解
【答案】A
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，整体思想的运用，熟练掌握整体思想的应用是关键．
通过变量替换，令，将新方程转化为原方程形式，利用已知解求解关于的方程．
【详解】令，则方程化为,
∵方程的解为，，
∴或，
∴或，
解得或
∴新方程的解为，
故选：A．
31．若关于的方程的解是，（，，为常数，），则关于的方程的解为________．
【答案】
或 /或
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，
通过变量替换，将第二个方程转化为第一个方程的形式，利用已知解求解．
【详解】解：设，则第二个方程化为，与第一个方程 形式相同．
∵方程的解为或，
∴或，
代入，得
或，
解得或．
故答案为：或．
32．阅读材料：
解方程：．
我们可以将视为一个整体，然后设，
则，原方程化为，解得：，．
当时，，则，解得；
当时，，则，解得，
原方程的解为，，，．
根据上面的解答过程，解决下面的问题：
解方程：．
【答案】，
【分析】本题考查一元二次方程的解法，平方根的性质，掌握换元法是解题关键．
通过换元法将四次方程转化为一元二次方程，求解后代回，根据平方根性质进行取舍即可得到原方程的实数解．
【详解】解：令，则原方程化为：，
解得，，
当时，，则该方程无实数解；
当时，，解得，．
综上，该方程的解为：，．
1．若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（　　）
A．33 B．34 C．35 D．36
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程的解的应用，关键是将第二个方程变形为与第一个方程结构相同的形式，利用换元思想找到对应解．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有一根为
∴
将方程变形为：
令
解得
∴一元二次方程必有一根为35，
故选：C
2．如果关于x的一元二次方程的两根中恰有一个根大于而小于0，则m的取值范围是（ ）
A． B．且 C．且 D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程根的判别式，可得且，再解出方程可得，然后分两种情况解答即可．
【详解】解：∵一元二次方程的两根中恰有一个根大于而小于0，
∴且，
∴且，
，
解得：
当时，，则，，不满足一个根大于而小于0，不符合题意；
当时，，
解得：；
综上所述，m的取值范围是．
故选：D
3．对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则，其中正确的是（ ）
A．只有①②B．只有①②④C．①②③④D．只有①②③
先选出正确答案，再给正确的序号进行证明．
【答案】B，证明见解析
【分析】对于①，通过代入验证它是方程的根，从而得出方程有实根，判别式非负；对于②，先由方程的判别式得出，再分析方程的判别式正负；对于③，将代入方程后因式分解，可知存在的情况使结论不成立；对于④，利用方程根的定义将，再展开并代入化简，证明等式成立．
【详解】证明：∵，
∴是方程的一个实数根，
∴其根的判别式，故①正确．
∵方程有两个不相等的实根，
∴该方程的判别式，
对于方程，其判别式，
∵，且，
∴，
∴方程必有两个不相等的实根，故②正确．
若是方程的一个根，将代入方程得：
，即，
∴或，
当时，例如方程，是该方程的根，但，
故③不正确．
∵是一元二次方程的根，
∴，移项得，
∴，
故④正确．
综上，只有①②④正确．
4．规定：对于任意实数，，，有，如，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】C
【分析】先根据题目给出的新运算规则整理得到关于的方程，再根据一元二次方程二次项系数不为和列式运算即可；
【详解】解：∵， 展开计算，
∴，
整理得：，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴该方程为一元二次方程，因此二次项系数，且根的判别式，
∵，，，
∴，
解得：，
综上，的取值范围为 且．
5．解方程：
(1)公式法：；
(2)配方法：；
(3)；
(4)．
【答案】(1)，
(2)，
(3)，
(4)，
【分析】（1）先确定，，，再计算，判定有两个不相等的实数根，最后利用公式，即可求解；
（2）先把二次项系数化为1，然后把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，再解方程即可；
（3）利用因式分解法，得到两个因式分别等于0，即或，再解方程即可；
（4）先将方程左边因式分解，得到，从而得到或，再解方程即可．
【详解】（1）解：移项得，
∵，，，
∴，
∴，
∴，；
（2）解：移项，得，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，；
（3）解：∵，
∴或，
解得：，；
（4）解：
方程左边因式分解，得，
∴或，
解得：，．
6．已知实数a，b，c，且．
(1)若a，b，c分别是关于x的一元二次方程二次项系数，一次项系数和常数项，由求根公式法解得方程的根为，求的值．（一元二次方程的一般形式为，求根公式为：）
(2)若，且，，求c的最小值．
【答案】(1)
(2)c的最小值为2
【分析】本题考查了解一元二次方程-公式法：熟练掌握一元二次方程的求根公式和根与系数的关系是解决问题的关键．
（1）根据一元二次方程的求根公式得到，，，则可求出，从而可计算出的值；
（2）变形已知条件得到，则，整理得，利用根的判别式的意义得到，解不等式得，从而得到c的最小值为2．
【详解】（1）解：∵用公式法解得方程的根为，
∴，，，
解得，，，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
整理得，
∵关于b的一元二次方程有实数解，
∴，
而，
∴，
∴，
∴c的最小值为2．
7．阅读材料：对于关于x的代数式，若存在实数m，使得当时，代数式的值也等于m，则称m为这个代数式的“不动值”．例如：对于关于x的代数式，当时，代数式的值等于0；当时，代数式的值等于1，我们就称0和1为这个代数式的“不动值”．
(1)关于x的代数式的“不动值”是 ．
(2)判断关于x的代数式是否有“不动值”，若有，请求出代数式的“不动值”；若没有，则说明理由．
(3)若关于x的代数式只有一个“不动值”，求a的值．
【答案】(1)和2
(2)关于x的代数式没有“不动值”，见解析
(3)
【分析】（1）根据定义求出方程的实数根即可得到答案；
（2）利用判别式判断方程是否有实数根即可得到结论；
（3）根据题意可得关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，据此利用判别式求解即可．
【详解】（1）解：当时，则，
∴，
∴或，
解得或，
∴关于x的代数式的“不动值”是和2；
（2）解：该代数式没有“不动值”，理由如下，
当时，则．
∵，
∴原方程无实数根，
∴该代数式没有“不动值”；
（3）解：∵代数式只有一个“不动值”，
∴关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
解得．
8．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论为何值，方程总有两个实数根．
(2)若的一条边的长为，另两边的长是一元二次方程的两个实数根．
①当为何值时，是以为斜边的直角三角形？
②当为何值时，是等腰三角形？并求出的周长．
【答案】(1)见解析
(2)①6；②当的值为5或7时，是等腰三角形，对应周长分别为11，13
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、勾股定理以及一元二次方程的求解：
（1）计算一元二次方程根的判别式，证明其非负性即可；
（2）①利用韦达定理表示两根之和和两根之积，再根据勾股定理建立关于的方程求解；
②分情况讨论，当为腰时，直接代入方程求解，再算出其余边长，最后相加即可；当为底边时，那么另外两个就是腰，则方程有2个相等的实数根，即根的判别式为0，求解腰长，最后算周长．
【详解】（1）证明：，
，
，
∴无论为何值，方程总有两个实数根．
（2）解：①的长是一元二次方程的两个实数根，
，，
是以为斜边的直角三角形，，
，
，
解得或，
由题意，，
则且，
即，
解得：，
故不合题意，舍去，
．
②分情况讨论：当为腰时，方程有一个根为，
将代入方程，得，
，
∴方程为，
解得，，
∴等腰三角形的三边长为5，5，3，
，
满足三角形三边关系，故符合题意；
的周长为；
当为底边时，方程有2个相等的实数根，
，
，
∴方程为，
解得，
∴等腰三角形的三边长为3，3，5，
，
满足三角形三边关系，故符合题意；
的周长为；
综上，当的值为5或7时，是等腰三角形，对应周长分别为11，13．
9．综合实践：
探究主题 一元二次方程根的判别式拓展探究
探究情境 在学习一元二次方程根的判别式时，小明同学通过几道习题的解答，他说自己发现了判断一类方程有无实数根的一种简易方法并提出了一个猜想：“若一元二次方程的二次项系数a和常数项c异号（即两数为一正一负），那么这个方程一定有两个不相等的实数根．”请你结合所学知识，对小明的猜想进行探究．
实例验证 （1）解满足以下条件的一元二次方程，验证小明的猜想： ①当，时，例如，此方程的解是________； ②当，时，例如，此方程的解是________； 这两个实例可以验证小明的猜想________（填“正确”或“错误”）．
严谨证明 （2）小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例．
拓展延伸 （3）已知关于x的一元二次方程，其中m为整数，满足二次项系数和常数项异号，求m的值及方程的解．
【答案】（1）①；②；正确；（2）见解析；（3）时，；时，
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程，根的判别式等知识；
（1）根据因式分解法解方程，即可求解；
（2）根据题意计算，即可得证；
（3）根据一元二次方程的定义，以及m为整数，满足二次项系数和常数项异号，得出的值，进而解方程，即可求解．
【详解】解：（1）①当，时，例如，
∴，
∴或，
∴此方程的解是；
②当，时，
例如，
∴
∴
∴或，
∴此方程的解是；
这两个实例可以验证小明的猜想正确；
故答案为：；；正确．
（2）解：小明的猜想正确，
证明：一元二次方程的二次项系数a和常数项c异号（即两数为一正一负），
∴，
又∵
∴。故这个方程一定有两个不相等的实数根.
（3）依题意，且
解得，，
又∵m为整数，
∴或
当时，方程为，即
∵，
∴
解得：
当时，方程为
即
解得：
10．请阅读下列材料：
已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为，则，所以，
把代入已知方程，得，
化简，得，故所求方程为，
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
(1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数．
(2)关于的一元二次方程有一个实数根为2025，则方程一定有实数根_______．
(3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为3、-2，求一元二次方程的两根．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了一元二次方程的解，解答该题的关键是弄清楚“换根法”的具体解题方法．
（1）利用题中解法，设所求方程的根为，则，即，把代入已知方程即可；
（2）根据方程根的定义得到，则，即可求出答案；
（3）一元二次方程整理可得：，再与一元二次方程比较即可．
【详解】（1）解：设所求方程的根是，则，
所以，
把代入，
得；
（2）解：关于的一元二次方程有一个实数根为2025，
，
，
是方程的实数根．
故答案为：．
（3）解：关于的一元二次方程的两个实数根分别为3、-2，
，
，
方程
化为：方程，
整理得，
因式分解得，
解得．
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2.2一元二次方程的解法 题型分类练习
题型一、解一元二次方程—直接开平方法
1．方程的解是（ ）
A． B． C． D．
2．方程的解正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
3．方程的解是____________．
4．（运算能力）用直接开平方法解一元二次方程：
(1)；
(2)；
(3)．
题型二、解一元二次方程—配方法
5．将方程化成（a、b为常数）的形式，则a、b的值分别是（　　）
A．1，2 B．1， C．， D．，2
6．已知a、b满足，则代数式的值为（ ）
A． B．4 C．或4 D．2
7．用配方法解方程：；
8．在解一元二次方程时，小明的解法如下，请按要求完成下列问题．
第一步：
第二步：
第三步：
第四步：或
第五步：，
(1)小明第三步配方的依据是__________；
A．完全平方公式 B．平方差公式 C．多项式与多项式乘法法则
(2)上述解题过程中，第________步有误，错误原因是_________，此方程正确的解是________________；
(3)用合适的方法解方程：．
题型三、解一元二次方程—公式法
9．用公式法解方程时，a，b，c的值依次是（　　）
A．0，，5 B．1，，5 C．1，5， D．1，，
10．对于任意实数a，b，定义．若，则a的值为____．
11．嘉嘉解一元二次方程的过程如下：
解：…①
，，，…②
…③
方程无实数根．…④
(1)嘉嘉解方程的方法是 ，他的求解过程从第 步开始出现错误；
(2)请你写出这个方程正确的解题步骤．
12．解一元二次方程时，小马和小虎两位同学的解法如下：
小马的解法： ① ② ③ ④ ⑤ 小虎的解法： ① ② ∴原方程无实数根③
(1)小马的解法从第__________步开始错：小虎的解法从第__________步开始错：
(2)请你用喜欢的方法求解此方程，
题型四、解一元二次方程—因式分解法
13．一元二次方程的根是（ ）
A． B． C． D．
14．用因式分解法解方程，正确的是（ ）
A．，， B．，
C．，， D．，
15．解方程：
(1)；
(2)．
16．解方程：
(1)；
(2)．
题型五、根据判别式判断一元二次方程根的情况
17．关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
18．嘉嘉在解关于x的一元二次方程时，不小心将一次项系数写成了，解出其中一个根是，现有以下两种说法：
甲：原方程必定有一个根是；
乙：当时，原方程有两个不相等的实数根．
则下列判断正确的是（ ）
A．甲对，乙错 B．甲错，乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错
19．已知关于的方程；
(1)求证：无论取何值时，方程总有实数根；
(2)若等腰的一边长为，另两边长恰好是该方程的两个根，求的周长．
20．已知整式．
(1)化简；
(2)若的值为0，利用判别式判断此方程根的情况．
题型一、配方法的应用
21．点在一次函数的图象上，其中为实数，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
22．若，则的最小值为______．
23．已知，则的取值范围是___．
24．配方法不仅可以用来解一元二次方程，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值和最小值等．例如，我们用此方法求代数式的最小值的过程如下：
解：．
，
，
的最小值是9．
请根据以上材料，完成下列问题：
(1)代数式，当_______时，代数式有最_______值（填“大”或“小”），这个值是_______；
(2)比较代数式与的大小，并说明理由．
题型二、根据一元二次方程根的情况求参数
25．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（ ）
A．2 B．0 C． D．
26．定义运算：，．例如：，，若方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（ ）
A． B． C． D．1
27．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数a的最小整数值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
28．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是________．
题型二、用换元法解一元二次方程
29．已知，则的值是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
30．已知关于的方程（a、b、c均为常数，且）的解是，，那么方程的解是（　　）
A． B．
C． D．，方程无实数解
31．若关于的方程的解是，（，，为常数，），则关于的方程的解为________．
32．阅读材料：
解方程：．
我们可以将视为一个整体，然后设，
则，原方程化为，解得：，．
当时，，则，解得；
当时，，则，解得，
原方程的解为，，，．
根据上面的解答过程，解决下面的问题：
解方程：．
1．若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（　　）
A．33 B．34 C．35 D．36
2．如果关于x的一元二次方程的两根中恰有一个根大于而小于0，则m的取值范围是（ ）
A． B．且 C．且 D．
3．对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则，其中正确的是（ ）
A．只有①②B．只有①②④C．①②③④D．只有①②③
先选出正确答案，再给正确的序号进行证明．
4．规定：对于任意实数，，，有，如，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（ ）
A． B． C．且 D．且
5．解方程：
(1)公式法：；
(2)配方法：；
(3)；
(4)．
6．已知实数a，b，c，且．
(1)若a，b，c分别是关于x的一元二次方程二次项系数，一次项系数和常数项，由求根公式法解得方程的根为，求的值．（一元二次方程的一般形式为，求根公式为：）
(2)若，且，，求c的最小值．
7．阅读材料：对于关于x的代数式，若存在实数m，使得当时，代数式的值也等于m，则称m为这个代数式的“不动值”．例如：对于关于x的代数式，当时，代数式的值等于0；当时，代数式的值等于1，我们就称0和1为这个代数式的“不动值”．
(1)关于x的代数式的“不动值”是 ．
(2)判断关于x的代数式是否有“不动值”，若有，请求出代数式的“不动值”；若没有，则说明理由．
(3)若关于x的代数式只有一个“不动值”，求a的值．
8．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论为何值，方程总有两个实数根．
(2)若的一条边的长为，另两边的长是一元二次方程的两个实数根．
①当为何值时，是以为斜边的直角三角形？
②当为何值时，是等腰三角形？并求出的周长．
9．综合实践：
探究主题 一元二次方程根的判别式拓展探究
探究情境 在学习一元二次方程根的判别式时，小明同学通过几道习题的解答，他说自己发现了判断一类方程有无实数根的一种简易方法并提出了一个猜想：“若一元二次方程的二次项系数a和常数项c异号（即两数为一正一负），那么这个方程一定有两个不相等的实数根．”请你结合所学知识，对小明的猜想进行探究．
实例验证 （1）解满足以下条件的一元二次方程，验证小明的猜想： ①当，时，例如，此方程的解是________； ②当，时，例如，此方程的解是________； 这两个实例可以验证小明的猜想________（填“正确”或“错误”）．
严谨证明 （2）小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例．
拓展延伸 （3）已知关于x的一元二次方程，其中m为整数，满足二次项系数和常数项异号，求m的值及方程的解．
10．请阅读下列材料：
已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为，则，所以，
把代入已知方程，得，
化简，得，故所求方程为，
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
(1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数．
(2)关于的一元二次方程有一个实数根为2025，则方程一定有实数根_______．
(3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为3、-2，求一元二次方程的两根．
试卷第30页，共31页

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