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2.3一元二次方程根与系数关系 题型分类练习
题型一、利用一元二次方程根与系数关系直接计算
1．已知一元二次方程的两个根为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】对于一元二次方程，若方程的两个根为，，则，，直接利用公式计算即可得到结果．
【详解】解：∵方程的两个根为，
∴．
2．若是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的两根之和为，两根之积为，即可得到结果.
【详解】解：∵是一元二次方程的两个根，且方程中，，，
∴，.
3．已知是关于的一元二次方程的两个实数根，若，则的值是（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【分析】先根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再代入已知等式建立关于的方程，求解即可得到的值．
【详解】解：∵、是关于的一元二次方程的两个实数根，
∴，，
又∵，
∴，
解得．
4．若一元二次方程的两个实数根为，则的值是___________．
【答案】4
【分析】对于一元二次方程，两根之和为，代入对应系数计算即可.
【详解】解：∵方程中，，，
∴ 根据根与系数的关系得 .
题型二、利用一元二次方程根与系数关系求代数式的值
5．设，是一元二次方程的两个根，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用一元二次方程根与系数的关系得到两根和与两根积，再通过完全平方公式变形将所求式子转化，代入计算即可得到结果．
【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根，
∴由根与系数的关系可得，，
又∵，
∴代入得．
6．若，是方程的两个根，则________．
【答案】
【分析】利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，对所求代数式因式分解，整体代入计算即可．
【详解】解：∵，是方程的两个实数根，
∴，.
∴
．
7．若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为__________．
【答案】41
【分析】本题考查了一元二次方程的解和根与系数的关系，正确变形、灵活应用整体思想是关键；
根据题意可得，，再把所求式子变形为，整体代入即可求解．
【详解】解：∵，是关于x的一元二次方程两个实数根，
∴，，
∴，
∴
．
故答案为：41．
8．先阅读，再回答问题：
如果是关于的一元二次方程的两个根，那么与系数的关系是：．例如：若是方程的两个根，则．
(1)若是方程的两个根，则___________，___________；
(2)若是方程的两个根，求的值．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根据题意进行求解即可；
（2）将变形为，再结合题意求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，在中，，，，
∴，；
（2）解：由题意得，在中，，，，
∴，，
∴
．
题型三、利用一元二次方程根与系数关系求字母参数的值
9．已知是关于的一元二次方程的一个根，求的值及方程的另一个根．
【答案】，方程的另一个根为
【分析】利用韦达定理，先根据两根之和求出另一个根，再根据两根之积求出的值．
【详解】解：设方程的另一个根为，
在方程中，，，
两根之和，
∴．
∴．
10．已知关于x的一元二次方程．
(1)当时，嘉嘉用配方法解一元二次方程的过程如下：
当时，．…………………………………第一步 移项，得，………………………………………第二步 配方，得，即，…………第三步 由此可得，，……………………………………第四步 ∴，．……………………………第五步
请指出嘉嘉在第 步出现了错误，并写出正确的解答过程；
(2)若方程的两个实数根分别是和，且，求的值．
【答案】(1)二，见解析
(2)
【分析】（1）根据配方法计算即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系解题即可．
【详解】（1）解：在第二步出现了错误；正确的解答过程如下：
当时，，
移项，得，
配方，得，即，
由此可得，，
∴，；
（2）解：由题意知，，
∵，，
∴，
解得，
代入判别式成立，
∴．
11．已知关于的一元二次方程有两个不等实数根，．
(1)求的取值范围；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可；
（2）根据根与系数的关系得到，，再根据已知条件得到方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：
∵方程有两个不等实数根
即，
；
（2）解：∵关于的一元二次方程有两个不等实数根，，
∴ ，
，
．
12．已知，是两个不相等的实数，且满足，．
(1)求式子的值；
(2)若与两数异号，求实数k的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意可知，可看成方程的两个根，利用根与系数的关系求出两根之和即可；
（2）根据方程有两个不相等的实数根得到判别式，再结合，求出实数k的取值范围．
【详解】（1）解：由题意可知，，可看成方程的两个根，
由根与系数的关系得：；
（2）解：方程有两个不相等的实数根，
判别式,
解得,
与两数异号,
,
解得,
综上所述，的取值范围是．
题型一、一元二次方程根与系数关系的综合应用
13．已知的一条边的长为5，另两边、的长是关于x的一元二次方程的两个实数根．
(1)求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)当k为何值时，为直角三角形，并求出的周长．
【答案】(1)证明见解析
(2)时，周长为；时，周长为
【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式进行证明即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系得到，，再分为斜边和为直角边两种情况，利用勾股定理列方程进行计算即可．
【详解】（1）证明：，
无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由得，
，，
当为斜边时，
，
解得或（舍去），
则，，
所以的周长为：；
当为直角边时，
，
解得，
则，，
所以的周长为：，
综上所述，当时，周长为12；当时，周长为30．
14．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论为何值，方程总有两个不相等实数根，
(2)若的一条边的长为，另两边，的长是一元二次方程的两个实数根．当为何值时，是以为斜边的直角三角形？
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）要证明方程总有两个不相等的实数根，需计算判别式，通过配方判断恒大于0即可；
（2）先利用一元二次方程的根与系数关系得到方程两根的和与积，再结合勾股定理将边长关系转化为关于的方程，求解后需验证两根为正数，舍去不符合条件的解．
【详解】（1）解：对于一元二次方程，
，
无论为何值，，
，
无论为何值，方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：设，的长分别为，，则，是方程的两个实数根，
根据根与系数关系得：，
是以为斜边的直角三角形，，
，
又，，
，
解得或，
，是三角形的边长，
，，
，，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，，符合题意，
即当时，是以为斜边的直角三角形．
15．已知关于x的一元二次方程．
(1)若，解这个方程；
(2)如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．若一元二次方程是“倍根方程”，求m的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查的是一元二次方程的解法以及根与系数的关系．
（1）由题意可得，进一步利用公式法解方程即可．
（2）由题意设，结合，再进一步求解即可．
【详解】（1）解：，
∴方程为：
∴，
∴，
∴，；
（2）解：∵一元二次方程是“倍根方程”，
∴不妨设，且，
∵，
∴，，
∴．
16．规定：如果实数，，满足，那么称一元二次方程为“等差”二次方程．
(1)下列方程是“等差”二次方程的有______（填序号）；
①；②；③；④
(2)若“等差”二次方程的一个根为，求这个方程的另一个根；
(3)若，是“等差”二次方程的两个根，请写出，的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)①③；
(2)；
(3)，理由见解析．
【分析】（1）根据定义代入解题即可求解；
（2）先把代入原方程得：，再由得，联立两个式子消掉，得，再根据韦达定理，即可求解；
（3）先根据韦达定理得，，再由得，通过变形得，再将代入即可求解．
【详解】（1）①，，，，，，，故①是“等差”二次方程；
②，，，，，，，故②不是“等差”二次方程；
③，，，，，，，故③是“等差”二次方程；
④，a，b，c，，，，故④不是“等差”二次方程．
综上，符合条件的有①③；
（2）当时，代入原方程得：，
∵由得，
∴将代入得：，
∴，
∵根据韦达定理，，
∴，
∴；
（3）∵，是“等差”二次方程的两个根，
∴根据韦达定理，，，
∵由得，即，
∴，
∴，即，
整理得，
∴．
1．已知关于x的方程的两实数根为，若，则m的值为（ ）
A． B．3 C．或 D．
【答案】A
【分析】根据根与系数的关系得到，进行求解即可.
【详解】解：由题意，，
解得，
此时方程化为，，符合题意；
故.
2．若关于的一元二次方程有一根小于1，一根大于1，则的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】构造不等式，结合一元二次方程的根与系数关系转化为关于的不等式求解，同时验证判别式保证方程有两个不相等的实数根．
【详解】解：设方程的两根为、，且，，
由根与系数的关系得，，
∵，，
∴，即，
∴，解得，
又判别式，
当时，，故，方程有两个不相等的实数根，满足条件；
综上，的取值范围是．
3．在解一元二次方程时，小明看错了一次项系数，得到的解为；小刚看错了常数项，得到的解为．请你写出正确的一元二次方程为__________．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．根据根与系数的关系，从小明的解可求出常数项，从小刚的解可求出一次项系数
【详解】解：小明看错了一次项系数，但解正确，故常数项正确，
由根与系数的关系，；
小刚看错了常数项，但解正确，故一次项系数正确，
由根与系数的关系，，即，解得．
因此正确的一元二次方程为．
故答案为：．
4．若m、n是一元二次方程的两个实数根，多项式的值是_______．
【答案】11
【分析】利用一元二次方程根的定义将高次项降次，再结合根与系数的关系代入求值．
【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个实数根，
∴根据一元二次方程根的定义，得，即，
根据一元二次方程根与系数的关系，得，，
将代入多项式，得：
把，代入上式：
．
5．已知关于x的方程
(1)若方程有实根，求实数m的取值范围；
(2)若方程有两个正实根，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）已知方程有实根，需进行分类讨论，方程若为一元二次方程，则；方程若为一元一次方程，则；
（2）若方程有两个正实根，则首先方程为一元二次方程，需满足；其次根据一元二次方程根与系数的关系还需满足，即．
【详解】（1）解：∵方程有实根，
若方程为一元二次方程，则，
即，
解得且；
若方程为一元一次方程，则，
解得；
综上所述，；
（2）解：若方程有两个实根，则方程为一元二次方程，需满足，
即，
解得且；
又∵方程有两个正实根，
∴，
即，
解不等式①得或,
解得或；
解不等式②得或，
解得或，
则不等式组的解集为或，
综上所述．
6．已知关于x的方程有两个不相等的实数根，
(1)求k的取值范围；
(2)该方程的两个不相等的实数根分别为，，且满足，求k的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到，然后解该不等式即可求得k的取值范围；
（2）利用根与系数的关系得，，然后将其代入列出关于k的方程，通过解方程来求k的值．
【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，，．
，
解得；
（2）解：∵方程的两个不相等的实数根分别为，，
∴，，
∵
，
解得，
，
．
7．已知关于的一元二次方程．
(1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；
(2)当取满足（1）中条件的最小正整数时，设方程的两根为和，求代数式的值．
【答案】(1)
(2)2043
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系．
（1）根据二次项系数 且判别式大于零列式求解即可；
（2）把代入方程得到 ，由两根为 和 ，得出 ，，，然后将原式变形为求解即可．
【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴且，
∴，
∴或，
解得或，
综上可知，或且．
（2）解：取满足（1）中条件的最小正整数，即．
代入方程得，
设两根为和，则，，，
∴，，
．
8．按要求解答下列问题．
(1)我们知道，命题“若两个数a，b的和与这两个数的积均为整数，则这两个数a，b必为整数．”是假命题，请举出一个反例，如_________，_________；
(2)若关于x的方程（m为整数）的两根为整数，求m的值及对应方程的根；
(3)设，是方程（p，q为整数）的两根，且是一个完全平方数，试探究，均为整数．
【答案】(1)，
(2)，根为0和2
(3)见解析
【分析】本题考查命题真假判断、一元二次方程根与系数的关系、完全平方数的性质，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．
（1）要判断命题是假命题，只需找出满足a、b和与积为整数，但a、b本身不是整数的反例即可；
（2）先根据韦达定理得到两根之和与两根之积，再结合两根为整数的条件，通过因式分解求出m的值和方程的根；
（3）利用求根公式表示出方程的根，再根据完全平方数的性质证明两根为整数即可．
【详解】（1）解：令a，b，．
验算：、均是整数，但a，b都不是整数，
故答案为：，；
（2）解：设关于x的方程（m为整数）的两根分别为，，由题意得：
，
整理得：，
，是整数，
、都是整数，
分情况讨论：
当、时，
解得、，
；
当、时，
解得、，
；
综上所述，，方程根为0和2；
（3）证明：，
（p、q为整数），
，是方程（p，q为整数）的两根，
，
方程有两个相等的实数根，
，
，
，
又q是整数，
是整数．即是4的倍数，
必为偶数，
设，k为整数，
是整数，
，都是整数．
9．阅读下面材料：已知，是一元二次方程的两实数根，若满足，则此类方程称为“差根方程”．在学习了求根公式法解方程后，小聪同学发现：，最后得到“差根方程”中a，b，c之间的关系是．
(1)请通过计算判断方程是否是“差根方程”．
(2)若方程是“差根方程”，请求出k的值以及方程的两个根．
(3)若关于x的“差根方程”的一个根是（a，m，b均为常数，），则方程是“差根方程”吗？若是，请求出它的根；若不是，请说明理由．
【答案】(1)方程是“差根方程”，见解析
(2)，，
(3)方程是“差根方程”，它的根是，或，
【分析】（1）利用因式分解法求出方程的解，再结合“差根方程”的定义判断即可得解；
（2）由题意可得，从而可得，由一元二次方程根与系数的关系可得，，再利用完全平方公式的变形计算可得，最后解方程即可得解；
（3）由“差根方程”的定义计算可得，从而可得，，，求解并判断即可得解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴或，
∴，，
∴，
∴方程是“差根方程”．
（2）解：∵方程是“差根方程”，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得：，
∴方程为，
解得，．
（3）解：∵，
∴
∵方程关于x的“差根方程”，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵关于x的“差根方程”的一个根是（a，m，b均为常数，），
∴，
∴，．
将代入方程可得：，
解得：，，
∴，
∴方程是“差根方程”，它的根为，．
即，或，．
∴方程是“差根方程”．它的根是，或，．
10．材料1．若一个整数的平方等于另一个整数，那么这个整数叫做完全平方数（也叫平方数）．例如：，，，则1、4、9都是完全平方数．
材料2．任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字都不为零，且百位上的数字与个位上的数字之和等于十位上数字的2倍，那么称这个数为“双倍快乐数”．例如：，因为所以234是“双倍快乐数”．
(1)已知关于的一元二次方程（为整数，为正整数）有两个整数根，且两根的平方和为，求的值．
(2)证明：两个连续正整数之积不能是完全平方数．
(3)若是一个“双倍快乐数”，且使关于的一元二次方程有两个相等的实数根，设，若能被6整除，求所有满足条件的的和．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据根与系数的关系，结合完全平方公式变形，列出方程求解并验证即可；
（2）方法一：假设存在，则，即，再由根的判别式判断即可；方法二：对进行变形即可判断；
（3）根据“双倍快乐数”的定义，结合根的判别式可得，再结合实数的运算求解．
【详解】（1）解：设方程两根为、，由根与系数的关系得：
，，
∵，
∴
即，
解得．
（2）方法一：假设存在正整数、，使得，整理为一元二次方程：
∴．
∵是正整数，
∴，即介于两个连续完全平方数之间，不是完全平方数．
因此方程无正整数解，与假设矛盾，故两个连续正整数之积不能是完全平方数．
方法二：假设存在正整数、，使得，
将方程两边乘以4，变形为，
∴
因为、都是正整数，故有，
解得，与假设矛盾，故两个连续正整数之积不能是完全平方数．
（3）解：是一个“双倍快乐数”，
，
关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，即，
，
，若能被6整除，
设，
，
能被6整除，即能被6整除，
由条件可知既能被2整除又能被3整除，而112只能被2整除，
是1到9的整数，
、6、9，
当时，，当时，，当时，，
所有满足条件的的和为．
27．【知识技能】
材料：小明在学习一元二次方程解时，发现：若关于的一元二次方程的两个实数根为，和系数，，有如下关系：
，．
材料：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，在不解方程的情况下，求的值．
解：∵一元二次方程的两个实数根分别为，，∴，，则．
【数学理解】
（1）若一元二次方程的两个实数根为，，则___________，____________．
【拓展探索】
（2）已知一元二次方程的两个实数根分别为，，在不解方程的情况下，求的值．
【答案】（），；（）．
【分析】本题考查了根与系数的关系，通过完全平方公式进行变形求值，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
（）利用根与系数的关系即可求解；
（）利用根与系数的关系得，，然后根据即可求解．
【详解】（）解：∵一元二次方程的两个实数根为，，
∴，，
故答案为：，；
（）解：∵、是方程的两个实数根，
∴，，
∴．
试卷第22页，共23页中小学教育资源及组卷应用平台
2.3一元二次方程根与系数关系 题型分类练习
题型一、利用一元二次方程根与系数关系直接计算
1．已知一元二次方程的两个根为，则（ ）
A． B． C． D．
2．若是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知是关于的一元二次方程的两个实数根，若，则的值是（ ）
A． B． C．2 D．3
4．若一元二次方程的两个实数根为，则的值是___________．
题型二、利用一元二次方程根与系数关系求代数式的值
5．设，是一元二次方程的两个根，则（ ）
A． B． C． D．
6．若，是方程的两个根，则________．
7．若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为__________．
8．先阅读，再回答问题：
如果是关于的一元二次方程的两个根，那么与系数的关系是：．例如：若是方程的两个根，则．
(1)若是方程的两个根，则___________，___________；
(2)若是方程的两个根，求的值．
题型三、利用一元二次方程根与系数关系求字母参数的值
9．已知是关于的一元二次方程的一个根，求的值及方程的另一个根．
10．已知关于x的一元二次方程．
(1)当时，嘉嘉用配方法解一元二次方程的过程如下：
当时，．…………………………………第一步 移项，得，………………………………………第二步 配方，得，即，…………第三步 由此可得，，……………………………………第四步 ∴，．……………………………第五步
请指出嘉嘉在第 步出现了错误，并写出正确的解答过程；
(2)若方程的两个实数根分别是和，且，求的值．
11．已知关于的一元二次方程有两个不等实数根，．
(1)求的取值范围；
(2)若，求的值．
12．已知，是两个不相等的实数，且满足，．
(1)求式子的值；
(2)若与两数异号，求实数k的取值范围．
题型一、一元二次方程根与系数关系的综合应用
13．已知的一条边的长为5，另两边、的长是关于x的一元二次方程的两个实数根．
(1)求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)当k为何值时，为直角三角形，并求出的周长．
14．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论为何值，方程总有两个不相等实数根，
(2)若的一条边的长为，另两边，的长是一元二次方程的两个实数根．当为何值时，是以为斜边的直角三角形？
15．已知关于x的一元二次方程．
(1)若，解这个方程；
(2)如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．若一元二次方程是“倍根方程”，求m的值．
16．规定：如果实数，，满足，那么称一元二次方程为“等差”二次方程．
(1)下列方程是“等差”二次方程的有______（填序号）；
①；②；③；④
(2)若“等差”二次方程的一个根为，求这个方程的另一个根；
(3)若，是“等差”二次方程的两个根，请写出，的数量关系，并说明理由．
1．已知关于x的方程的两实数根为，若，则m的值为（ ）
A． B．3 C．或 D．
2．若关于的一元二次方程有一根小于1，一根大于1，则的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
3．在解一元二次方程时，小明看错了一次项系数，得到的解为；小刚看错了常数项，得到的解为．请你写出正确的一元二次方程为__________．
4．若m、n是一元二次方程的两个实数根，多项式的值是_______．
5．已知关于x的方程
(1)若方程有实根，求实数m的取值范围；
(2)若方程有两个正实根，求实数m的取值范围．
6．已知关于x的方程有两个不相等的实数根，
(1)求k的取值范围；
(2)该方程的两个不相等的实数根分别为，，且满足，求k的值．
7．已知关于的一元二次方程．
(1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；
(2)当取满足（1）中条件的最小正整数时，设方程的两根为和，求代数式的值．
8．按要求解答下列问题．
(1)我们知道，命题“若两个数a，b的和与这两个数的积均为整数，则这两个数a，b必为整数．”是假命题，请举出一个反例，如_________，_________；
(2)若关于x的方程（m为整数）的两根为整数，求m的值及对应方程的根；
(3)设，是方程（p，q为整数）的两根，且是一个完全平方数，试探究，均为整数．
9．阅读下面材料：已知，是一元二次方程的两实数根，若满足，则此类方程称为“差根方程”．在学习了求根公式法解方程后，小聪同学发现：，最后得到“差根方程”中a，b，c之间的关系是．
(1)请通过计算判断方程是否是“差根方程”．
(2)若方程是“差根方程”，请求出k的值以及方程的两个根．
(3)若关于x的“差根方程”的一个根是（a，m，b均为常数，），则方程是“差根方程”吗？若是，请求出它的根；若不是，请说明理由．
10．材料1．若一个整数的平方等于另一个整数，那么这个整数叫做完全平方数（也叫平方数）．例如：，，，则1、4、9都是完全平方数．
材料2．任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字都不为零，且百位上的数字与个位上的数字之和等于十位上数字的2倍，那么称这个数为“双倍快乐数”．例如：，因为所以234是“双倍快乐数”．
(1)已知关于的一元二次方程（为整数，为正整数）有两个整数根，且两根的平方和为，求的值．
(2)证明：两个连续正整数之积不能是完全平方数．
(3)若是一个“双倍快乐数”，且使关于的一元二次方程有两个相等的实数根，设，若能被6整除，求所有满足条件的的和．
27．【知识技能】
材料：小明在学习一元二次方程解时，发现：若关于的一元二次方程的两个实数根为，和系数，，有如下关系：
，．
材料：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，在不解方程的情况下，求的值．
解：∵一元二次方程的两个实数根分别为，，∴，，则．
【数学理解】
（1）若一元二次方程的两个实数根为，，则___________，____________．
【拓展探索】
（2）已知一元二次方程的两个实数根分别为，，在不解方程的情况下，求的值．
试卷第22页，共23页

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