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广西柳州市第八中学2024—2025学年下学期九年级数学开学考试卷
一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）
1．（2025九下·柳州开学考）规定电梯上升为“+”，那么电梯上升米表示（　　）
A．电梯下降10米 B．电梯上升10米
C．电梯上升0米 D．电梯没有动
2．（2025九下·柳州开学考）一个几何体如图1放置，如图2可能是它的（　　）
A．主视图 B．左视图 C．俯视图 D．不能确定
3．（2025九下·柳州开学考）请阅读一小段约翰斯特劳斯作品，根据乐谱中的信息，确定最后一个音符的时值长应为 （　　）
A． B． C． D．
4．（2025九下·柳州开学考）如果的三边之比是，与它相似的的最短边为6，那么的最长边为（　　）
A．10 B．7 C．12 D．14
5．（2025九下·柳州开学考）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025九下·柳州开学考）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025九下·柳州开学考）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个三阶幻方，则的值为（　　）
A． B． C．4 D．5
8．（2025九下·柳州开学考）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，关于的函数图象如图所示，若压强由加压到，则气体体积压缩了（　　）
A． B． C． D．
9．（2025九下·柳州开学考）如图，正方形的边长为6，点E为上一点，连接，过点A作的垂线交于点F，连接.若，则的长为（　　）
A． B． C．8 D．
10．（2025九下·柳州开学考）一次函数的图象与轴的交点坐标为，则关于的不等式的解集为（　　）
A． B． C． D．
11．（2025九下·柳州开学考）如图，将一张圆形纸片对折三次后，沿图④中的虚线剪下（点A和B为半径的中点），得到两部分，去掉有圆弧的部分，剩余部分展开后得到的平面图形的内角和为（　　）
A． B． C． D．
12．（2025九下·柳州开学考）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（2025九下·柳州开学考）当　 　时，分式的值为零．
14．（2025九下·柳州开学考） 若扇形的圆心角为，半径为4，则它的弧长为 　 　．（结果保留π）
15．（2025九下·柳州开学考）在化学课上，张老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将6种生活现象制成外表完全相同的卡片（如图），然后将卡片背面向上洗匀从中随机抽取一张，则抽出的生活现象是物理变化的概率是　 　．
16．（2025九下·柳州开学考）如图，矩形硬纸片的顶点A在y轴的正半轴上滑动，顶点B在x轴的正半轴上滑动，，．当最大时，点D的坐标是　 　．
三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2025九下·柳州开学考）解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得______；
（2）解不等式②，得______；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（4）原不等式组的整数解为______．
18．（2025九下·柳州开学考）已知：如图1，P为外一点．求作：过点P作的切线，，A，B为切点．下面是亮亮设计的尺规作图过程；
如图2，连接，分别以点O，P为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点C，D；作直线，交于点M，以点M为圆心，的长为半径作圆，交于点A，B；连接，，切线，即为所求．
根据亮亮设计的尺规作图过程解答下列问题：
（1）可判定的依据是______；
（2）亮亮通过证明得到，请你帮他完成证明．
19．（2025九下·柳州开学考）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点，且与反比例函数的图象交于点C，轴于点D，．
（1）求直线的函数表达式．
（2）当反比例函数的函数值时，请根据函数图象直接写出自变量x的取值范围．
（3）设点P是x轴上的点，若的面积等于15，请求出点P的坐标．
20．（2025九下·柳州开学考）如图，内接于，是的直径，与相切于点，交的延长线于点，为的中点，连接、．
（1）求证：是的切线；
（2）已知，，求．
21．（2025九下·柳州开学考）如图1是某城建部门利用折臂升降机正在路边检修路灯的实物图片，图2是某时刻折臂升降机工作时的平面示意图，上折臂顶端恰好接触路灯杆，点A，B，C，D，E，F，M，N都在同一竖直平面内．路灯杆和折臂升降机的折臂底座都垂直于地面，且它们之间的水平距离，折臂底座，上折臂，上折臂与下折臂的夹角，下折臂与折臂底座的夹角，求上折臂顶端F到地面的距离．（结果精确到，参考数据：，，）
22．（2025九下·柳州开学考）【项目式学习】
项目主题：安全用电，防患未然．
项目背景：近年来，随着电动自行车保有量不断增多，火灾风险持续上升，据悉，约的火灾都在充电时发生，某校九年级数学创新小组，开展以“安全用电，防患未然”为主题的项目式学习，对电动自行车充电车棚的消防设备进行研究．
（1）图1悬挂的是8公斤干粉灭火器，图2为其喷射截面示意图，在中，，喷射角，地面有效保护直径为米，喷嘴O距离地面的高度为________米；
任务二：模型构建
由于干粉灭火器只能扑灭明火，并不能扑灭电池内部的燃烧，在火灾发生时需要大量的水持续给电池降温，才能保证电池内部自燃熄灭，不会复燃．学校考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头．
（2）如图3，喷淋头喷洒的水柱最外层的形状为抛物线．已知学校的停车棚左侧靠墙建造，其截面示意图为矩形，创新小组以点O为坐标原点，墙面所在直线为y轴，建立如图4所示的平面直角坐标系．他们查阅资料后，提议消防喷淋头M安装在离地高度为3米，距离墙面水平距离为2米处，即米，米，水喷射到墙面D处，且米．
①求该水柱外层所在抛物线的函数解析式；
②按照此安装方式，喷淋头M的地面有效保护直径为_______米；
任务三：问题解决
（3）已知充电车棚宽度为7米，电动车电池的离地高度为米，创新小组想在喷淋头M的同一水平线上加装一个喷淋头N，使消防喷淋头喷洒的水柱可以覆盖所有电动车电池，喷淋头N距离喷淋头M至少________米．
23．（2025九下·柳州开学考）综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们画一个，使，点D为的中点，连接．然后组织同学们以“操作发现”为活动主线进行学习．
动手操作（如图1）
第一步，在线段上取一点E（点A和点D除外）；
第二步，以点D为圆心，以为半径画弧交于点F；
第三步，分别以E，F为圆心，长为半径画弧，交于点G，连接，．
猜想验证
（1）根据图1的操作，填空：
①四边形的形状为________，依据的判定定理是________；②与的数量关系为________．
（2）以D为旋转中心，将四边形按顺时针方向旋转到如图2的位置，请判断与的数量关系，并加以证明．
问题解决
（3）如图3，若，，，以D为旋转中心，将四边形按顺时针方向旋转，使点F在的下方，连接，且点F，E，C在同一条直线上．求的面积．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：规定电梯上升为“+”，那么电梯上升-10米表示：电梯下降10米．
故选A．
【分析】根据正负数表示具有相反意义的量即可求出答案.
2．【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从图1的左面看到的图形与图2相同，因此图2可能是它的左视图，故B正确．
故选：B．
【分析】根据几何体的三视图即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】有理数的减法法则
【解析】【解答】解：依题意得：
故选C．
【分析】根据题意，结合有理数的减法即可求出答案.
4．【答案】D
【知识点】比例的性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设的最长边为n，另外一边为m，
∵的三边之比是，与它相似的的最短边为6，
∴，即，解得：．
故选：D．
【分析】根据相似三角形性质即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点P（1，-4）关于原点对称的点的坐标是（-1，4）.
故答案为：B.
【分析】根据关于原点对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数，可得答案.
6．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、(3x)2=9x2，故此选项计算错误，不符合题意；
B、3x与3y不是同类项，不能合并，故此选项计算错误，不符合题意；
C、(x+y)2=x2+2xy+y2，故此选项计算错误，不符合题意；
D、(x+2)(x-2)=x2-4，故此选项计算正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，据此可判断A选项；整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断B选项；由完全平方公式的展开式是一个三项式可判断C选项；根据平方差公式，两个数的和与这两个数差的积等于这两个数的平方差，可判断D选项.
7．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的其他应用；幻方、幻圆数学问题
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：，
∴，
故选：B．
【分析】根据每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，建立方程组，解方程组即可求出答案.
8．【答案】C
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设关于的函数解析式为，由图象可把点代入得：，
关于的函数解析式为，
当时，则，
当时，则，
压强由加压到，则气体体积压缩了；
故选：C．
【分析】反比例函数图象经过（100，60），设关于的函数解析式为，先求反比例函数的解析式，然后根据解析式分别算出压强是75KPa、100KPa是的体积值，最后求体积压缩了多少。
9．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
故选：D
【分析】根据正方形性质可得，，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据勾股定理即可求出答案.
10．【答案】D
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：的图象与轴的交点坐标为，
可得：，即，
，
，，
，即，
故选：D．
【分析】将点代入解析式可得，再代入不等式，解不等式即可求出答案.
11．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：将一张圆形纸片对折三次后，沿图④中的虚线剪下（点A和B为半径的中点），得到两部分，去掉有圆弧的部分，剩余部分展开后得到的平面图形是正八边形，
剩余部分展开后得到的平面图形的内角和为，
故选：C．
【分析】由题意得出剩余部分展开后得到的平面图形是正八边形，再根据多边形的内角和公式计算即可求出答案.
12．【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PO，PA．
∴AE=AB=，PA=2，
∴PD=．
∵⊙P的圆心是（2，a），
∴DC=2，
∴a=PD+DC=2+．
故选B．
【分析】过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PO，PA，根据垂径定理可得AE，根据勾股定理可得PE，再根据两点间距离即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：分式 且
解得；
故答案为
【分析】根据分式的值为零的条件，结合分式有意义的条件即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解： 弧长 =.
故答案为：.
【分析】根据弧长计算公式进行正确计算即可。
15．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵六张卡片给出的变化是物理变化的有：冰化成水，衣服晾干共2种，
∴从中随机抽取一张，则抽出的生活现象是物理变化的概率是．
故答案为：．
【分析】根据概率公式即可求出答案.
16．【答案】
【知识点】点的坐标；矩形的性质；相似三角形的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，取的中点M，连接，，，
则，
故当时，取得最大值，
所以当O、M、D三点共线时，最大，过点D作轴于点F，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵M为AB的中点，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】取的中点M，连接，，，则，当时，取得最大值，当O、M、D三点共线时，最大，过点D作轴于点F，根据勾股定理可得DM，根据边之间的关系可得OD，根据角之间的关系可得，根据等腰三角形性质可得，根据等边对等角可得，再根据相似三角形判定定理可得，，则，再根据勾股定理可得DF，再根据点的坐标即可求出答案.
17．【答案】（1）；（2）；
（3）在数轴上表示如下：
．
（4）、、、0．
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：（1），
，
，
．
故答案为：．
（2），
，
．
故答案为：．
（4）由（3）可得不等式组的解集为：，
所以该不等式组的整数解为：、、、0．
故答案为：、、、0．
【分析】分别解两个不等式，再求出不等式组的解集，再将解集在数轴上表示出来，再求出整数解即可.
18．【答案】（1）直径所对的圆周角是直角
（2）证明：∵是的直径，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；圆周角定理的推论
【解析】【解答】（1）解：∵是的直径，
∴（判定依据：直径所对的圆周角是直角），
故答案为：直径所对的圆周角是直角．
【分析】（1）根据圆周角定理的推论即可求出答案.
（2）根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（1）解：∵是的直径，
∴（判定依据：直径所对的圆周角是直角），
故答案为：直径所对的圆周角是直角．
（2）证明：∵是的直径，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴．
19．【答案】（1）解：∵轴于点D， ，
∴点C的横坐标为2，
将代入，得，
∴，
设直线的函数表达式为，
将点，代入得，
解得，
∴直线的函数表达式为；
（2）
（3）解：当时，，解得，
∴，
∵点P是x轴上的点，
∴设点P的坐标为，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴点P的坐标为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数的性质；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（2）解：在中，当时，，解得，
由图象可得：当反比例函数的函数值时，自变量x的取值范围为；
【分析】（1）根据垂直于y轴的直线上点的坐标特征可得点C的横坐标为2，将代入可得，设直线的函数表达式为，再根据待定系数法将点B，C坐标代入解析式即可求出答案.
（2）当函数图象在直线y=2上方时，有，结合函数图象即可求出答案.
（3）根据x轴上点的坐标特征可得，设点P的坐标为，根据是三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
20．【答案】（1）证明：如图，连接．
，
．
是直径，
，
，
为的中点，
，
，
与相切于点，
，
，
，
，
，
又为半径，
是的切线
（2）解：，，
，
，
，
，
．
为的中点，为中点，
，
【知识点】切线的判定与性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线；相似三角形的性质-对应边；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）连接，根据等边对等角可得，根据圆周角定理的推论可得，根据直角三角形斜边上的中线性质可得，则，根据切线性质可得，再根据角之间的关系可得，即，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得AD，再根据三角形中位线定理即可求出答案.
21．【答案】解：如答图，过点E作，垂足为G，过点D作，垂足为H，过点E作，垂足为K．
则，，，，，．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
在中，，
∴．
．
∴．
∵，
∴．
∴．
在中，．
∴．
∴．
答：上折臂顶端F到地面的距离约为．
【知识点】平行线的性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】过点E作，垂足为G，过点D作，垂足为H，过点E作，垂足为K，则，，，，，，根据角之间的关系可得∠EDH，再根据直线平行性质可得，根据角之间的关系可得∠FEK，解直角三角形可得FK，EK，根据边之间的关系可得GC，DH，解直角三角形可得EH，再根据边之间的关系即可求出答案.
22．【答案】（1）3；
（2）①根据题意得：抛物线的顶点M的坐标为，点D的坐标为，
设抛物线的解析式为：，
把代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
②；
（3）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；等边三角形的判定与性质；二次函数的实际应用-喷水问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：（1）∵，，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴根据勾股定理得：；
（2）②把代入得：，
或（舍去），
∴米；
（3）设喷淋头N距离喷淋头M至少m米，根据题意得：点N的坐标为，则顶点为N的抛物线解析式为：，
放在充电车棚最右边的电动车电瓶处的坐标为，
把代入得：，
解得：（舍去）或，
∴喷淋头N距离喷淋头M至少米．
【分析】（1）根据等边三角形判定定理可得为等边三角形，则，，再根据勾股定理即可求出答案.
（2）①设抛物线的解析式为：，根据待定系数法将点代入解析式即可求出答案.
②将x=0代入解析式即可求出答案.
（3）设喷淋头N距离喷淋头M至少m米，根据题意得：点N的坐标为，则顶点为N的抛物线解析式为：，根据待定系数法将点代入解析式即可求出答案.
23．【答案】（1）①菱形；四条边相等的四边形是菱形；②相等（或）；
（2）．
证明：∵在中，点D是的中点，
∴，
由图1知，
∴，
即．
∵四边形是菱形，
∴．
在和中，
．
∴，
∴；
（3）如图，连接，与的交于点H．
∵在中，，，
∴，，．
∵在中，D是的中点，
∴，
∴．
由旋转可知．
又∵四边形是菱形，，
∴，．
∴，
∴，．
在中，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；菱形的判定与性质；解直角三角形；旋转的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：（1）①菱形，四条边相等的四边形是菱形；
②相等（或）；
证明：∵在中，点D是的中点，
∴，
由作图知，
∴四边形是菱形，
∴，
∴，
∴；
故答案为：相等；
【分析】（1）根据菱形判定定理及性质即可求出答案.
②根据直角三角形斜边上的中线性质及菱形性质即可求出答案.
（2）根据直角三角形斜边上的中线性质可得，根据角之间的关系可得，根据菱形性质可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（3）连接，与的交于点H，解直角三角形可得BC，AC，则，根据旋转性质可得，根据菱形性质可得，，，解直角三角形可得DH，根据勾股定理可得CH，根据特殊角的三角函数值可得，根据角之间的关系可得∠ACE，再根据三角形面积即可求出答案.
1 / 1广西柳州市第八中学2024—2025学年下学期九年级数学开学考试卷
一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）
1．（2025九下·柳州开学考）规定电梯上升为“+”，那么电梯上升米表示（　　）
A．电梯下降10米 B．电梯上升10米
C．电梯上升0米 D．电梯没有动
【答案】A
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：规定电梯上升为“+”，那么电梯上升-10米表示：电梯下降10米．
故选A．
【分析】根据正负数表示具有相反意义的量即可求出答案.
2．（2025九下·柳州开学考）一个几何体如图1放置，如图2可能是它的（　　）
A．主视图 B．左视图 C．俯视图 D．不能确定
【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从图1的左面看到的图形与图2相同，因此图2可能是它的左视图，故B正确．
故选：B．
【分析】根据几何体的三视图即可求出答案.
3．（2025九下·柳州开学考）请阅读一小段约翰斯特劳斯作品，根据乐谱中的信息，确定最后一个音符的时值长应为 （　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】有理数的减法法则
【解析】【解答】解：依题意得：
故选C．
【分析】根据题意，结合有理数的减法即可求出答案.
4．（2025九下·柳州开学考）如果的三边之比是，与它相似的的最短边为6，那么的最长边为（　　）
A．10 B．7 C．12 D．14
【答案】D
【知识点】比例的性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设的最长边为n，另外一边为m，
∵的三边之比是，与它相似的的最短边为6，
∴，即，解得：．
故选：D．
【分析】根据相似三角形性质即可求出答案.
5．（2025九下·柳州开学考）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点P（1，-4）关于原点对称的点的坐标是（-1，4）.
故答案为：B.
【分析】根据关于原点对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数，可得答案.
6．（2025九下·柳州开学考）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、(3x)2=9x2，故此选项计算错误，不符合题意；
B、3x与3y不是同类项，不能合并，故此选项计算错误，不符合题意；
C、(x+y)2=x2+2xy+y2，故此选项计算错误，不符合题意；
D、(x+2)(x-2)=x2-4，故此选项计算正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，据此可判断A选项；整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断B选项；由完全平方公式的展开式是一个三项式可判断C选项；根据平方差公式，两个数的和与这两个数差的积等于这两个数的平方差，可判断D选项.
7．（2025九下·柳州开学考）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个三阶幻方，则的值为（　　）
A． B． C．4 D．5
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的其他应用；幻方、幻圆数学问题
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：，
∴，
故选：B．
【分析】根据每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，建立方程组，解方程组即可求出答案.
8．（2025九下·柳州开学考）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，关于的函数图象如图所示，若压强由加压到，则气体体积压缩了（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设关于的函数解析式为，由图象可把点代入得：，
关于的函数解析式为，
当时，则，
当时，则，
压强由加压到，则气体体积压缩了；
故选：C．
【分析】反比例函数图象经过（100，60），设关于的函数解析式为，先求反比例函数的解析式，然后根据解析式分别算出压强是75KPa、100KPa是的体积值，最后求体积压缩了多少。
9．（2025九下·柳州开学考）如图，正方形的边长为6，点E为上一点，连接，过点A作的垂线交于点F，连接.若，则的长为（　　）
A． B． C．8 D．
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
故选：D
【分析】根据正方形性质可得，，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据勾股定理即可求出答案.
10．（2025九下·柳州开学考）一次函数的图象与轴的交点坐标为，则关于的不等式的解集为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：的图象与轴的交点坐标为，
可得：，即，
，
，，
，即，
故选：D．
【分析】将点代入解析式可得，再代入不等式，解不等式即可求出答案.
11．（2025九下·柳州开学考）如图，将一张圆形纸片对折三次后，沿图④中的虚线剪下（点A和B为半径的中点），得到两部分，去掉有圆弧的部分，剩余部分展开后得到的平面图形的内角和为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：将一张圆形纸片对折三次后，沿图④中的虚线剪下（点A和B为半径的中点），得到两部分，去掉有圆弧的部分，剩余部分展开后得到的平面图形是正八边形，
剩余部分展开后得到的平面图形的内角和为，
故选：C．
【分析】由题意得出剩余部分展开后得到的平面图形是正八边形，再根据多边形的内角和公式计算即可求出答案.
12．（2025九下·柳州开学考）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PO，PA．
∴AE=AB=，PA=2，
∴PD=．
∵⊙P的圆心是（2，a），
∴DC=2，
∴a=PD+DC=2+．
故选B．
【分析】过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PO，PA，根据垂径定理可得AE，根据勾股定理可得PE，再根据两点间距离即可求出答案.
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（2025九下·柳州开学考）当　 　时，分式的值为零．
【答案】
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：分式 且
解得；
故答案为
【分析】根据分式的值为零的条件，结合分式有意义的条件即可求出答案.
14．（2025九下·柳州开学考） 若扇形的圆心角为，半径为4，则它的弧长为 　 　．（结果保留π）
【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解： 弧长 =.
故答案为：.
【分析】根据弧长计算公式进行正确计算即可。
15．（2025九下·柳州开学考）在化学课上，张老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将6种生活现象制成外表完全相同的卡片（如图），然后将卡片背面向上洗匀从中随机抽取一张，则抽出的生活现象是物理变化的概率是　 　．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵六张卡片给出的变化是物理变化的有：冰化成水，衣服晾干共2种，
∴从中随机抽取一张，则抽出的生活现象是物理变化的概率是．
故答案为：．
【分析】根据概率公式即可求出答案.
16．（2025九下·柳州开学考）如图，矩形硬纸片的顶点A在y轴的正半轴上滑动，顶点B在x轴的正半轴上滑动，，．当最大时，点D的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标；矩形的性质；相似三角形的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，取的中点M，连接，，，
则，
故当时，取得最大值，
所以当O、M、D三点共线时，最大，过点D作轴于点F，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵M为AB的中点，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】取的中点M，连接，，，则，当时，取得最大值，当O、M、D三点共线时，最大，过点D作轴于点F，根据勾股定理可得DM，根据边之间的关系可得OD，根据角之间的关系可得，根据等腰三角形性质可得，根据等边对等角可得，再根据相似三角形判定定理可得，，则，再根据勾股定理可得DF，再根据点的坐标即可求出答案.
三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2025九下·柳州开学考）解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得______；
（2）解不等式②，得______；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（4）原不等式组的整数解为______．
【答案】（1）；（2）；
（3）在数轴上表示如下：
．
（4）、、、0．
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：（1），
，
，
．
故答案为：．
（2），
，
．
故答案为：．
（4）由（3）可得不等式组的解集为：，
所以该不等式组的整数解为：、、、0．
故答案为：、、、0．
【分析】分别解两个不等式，再求出不等式组的解集，再将解集在数轴上表示出来，再求出整数解即可.
18．（2025九下·柳州开学考）已知：如图1，P为外一点．求作：过点P作的切线，，A，B为切点．下面是亮亮设计的尺规作图过程；
如图2，连接，分别以点O，P为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点C，D；作直线，交于点M，以点M为圆心，的长为半径作圆，交于点A，B；连接，，切线，即为所求．
根据亮亮设计的尺规作图过程解答下列问题：
（1）可判定的依据是______；
（2）亮亮通过证明得到，请你帮他完成证明．
【答案】（1）直径所对的圆周角是直角
（2）证明：∵是的直径，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；圆周角定理的推论
【解析】【解答】（1）解：∵是的直径，
∴（判定依据：直径所对的圆周角是直角），
故答案为：直径所对的圆周角是直角．
【分析】（1）根据圆周角定理的推论即可求出答案.
（2）根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（1）解：∵是的直径，
∴（判定依据：直径所对的圆周角是直角），
故答案为：直径所对的圆周角是直角．
（2）证明：∵是的直径，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴．
19．（2025九下·柳州开学考）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点，且与反比例函数的图象交于点C，轴于点D，．
（1）求直线的函数表达式．
（2）当反比例函数的函数值时，请根据函数图象直接写出自变量x的取值范围．
（3）设点P是x轴上的点，若的面积等于15，请求出点P的坐标．
【答案】（1）解：∵轴于点D， ，
∴点C的横坐标为2，
将代入，得，
∴，
设直线的函数表达式为，
将点，代入得，
解得，
∴直线的函数表达式为；
（2）
（3）解：当时，，解得，
∴，
∵点P是x轴上的点，
∴设点P的坐标为，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴点P的坐标为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数的性质；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（2）解：在中，当时，，解得，
由图象可得：当反比例函数的函数值时，自变量x的取值范围为；
【分析】（1）根据垂直于y轴的直线上点的坐标特征可得点C的横坐标为2，将代入可得，设直线的函数表达式为，再根据待定系数法将点B，C坐标代入解析式即可求出答案.
（2）当函数图象在直线y=2上方时，有，结合函数图象即可求出答案.
（3）根据x轴上点的坐标特征可得，设点P的坐标为，根据是三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
20．（2025九下·柳州开学考）如图，内接于，是的直径，与相切于点，交的延长线于点，为的中点，连接、．
（1）求证：是的切线；
（2）已知，，求．
【答案】（1）证明：如图，连接．
，
．
是直径，
，
，
为的中点，
，
，
与相切于点，
，
，
，
，
，
又为半径，
是的切线
（2）解：，，
，
，
，
，
．
为的中点，为中点，
，
【知识点】切线的判定与性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线；相似三角形的性质-对应边；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）连接，根据等边对等角可得，根据圆周角定理的推论可得，根据直角三角形斜边上的中线性质可得，则，根据切线性质可得，再根据角之间的关系可得，即，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得AD，再根据三角形中位线定理即可求出答案.
21．（2025九下·柳州开学考）如图1是某城建部门利用折臂升降机正在路边检修路灯的实物图片，图2是某时刻折臂升降机工作时的平面示意图，上折臂顶端恰好接触路灯杆，点A，B，C，D，E，F，M，N都在同一竖直平面内．路灯杆和折臂升降机的折臂底座都垂直于地面，且它们之间的水平距离，折臂底座，上折臂，上折臂与下折臂的夹角，下折臂与折臂底座的夹角，求上折臂顶端F到地面的距离．（结果精确到，参考数据：，，）
【答案】解：如答图，过点E作，垂足为G，过点D作，垂足为H，过点E作，垂足为K．
则，，，，，．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
在中，，
∴．
．
∴．
∵，
∴．
∴．
在中，．
∴．
∴．
答：上折臂顶端F到地面的距离约为．
【知识点】平行线的性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】过点E作，垂足为G，过点D作，垂足为H，过点E作，垂足为K，则，，，，，，根据角之间的关系可得∠EDH，再根据直线平行性质可得，根据角之间的关系可得∠FEK，解直角三角形可得FK，EK，根据边之间的关系可得GC，DH，解直角三角形可得EH，再根据边之间的关系即可求出答案.
22．（2025九下·柳州开学考）【项目式学习】
项目主题：安全用电，防患未然．
项目背景：近年来，随着电动自行车保有量不断增多，火灾风险持续上升，据悉，约的火灾都在充电时发生，某校九年级数学创新小组，开展以“安全用电，防患未然”为主题的项目式学习，对电动自行车充电车棚的消防设备进行研究．
（1）图1悬挂的是8公斤干粉灭火器，图2为其喷射截面示意图，在中，，喷射角，地面有效保护直径为米，喷嘴O距离地面的高度为________米；
任务二：模型构建
由于干粉灭火器只能扑灭明火，并不能扑灭电池内部的燃烧，在火灾发生时需要大量的水持续给电池降温，才能保证电池内部自燃熄灭，不会复燃．学校考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头．
（2）如图3，喷淋头喷洒的水柱最外层的形状为抛物线．已知学校的停车棚左侧靠墙建造，其截面示意图为矩形，创新小组以点O为坐标原点，墙面所在直线为y轴，建立如图4所示的平面直角坐标系．他们查阅资料后，提议消防喷淋头M安装在离地高度为3米，距离墙面水平距离为2米处，即米，米，水喷射到墙面D处，且米．
①求该水柱外层所在抛物线的函数解析式；
②按照此安装方式，喷淋头M的地面有效保护直径为_______米；
任务三：问题解决
（3）已知充电车棚宽度为7米，电动车电池的离地高度为米，创新小组想在喷淋头M的同一水平线上加装一个喷淋头N，使消防喷淋头喷洒的水柱可以覆盖所有电动车电池，喷淋头N距离喷淋头M至少________米．
【答案】（1）3；
（2）①根据题意得：抛物线的顶点M的坐标为，点D的坐标为，
设抛物线的解析式为：，
把代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
②；
（3）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；等边三角形的判定与性质；二次函数的实际应用-喷水问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：（1）∵，，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴根据勾股定理得：；
（2）②把代入得：，
或（舍去），
∴米；
（3）设喷淋头N距离喷淋头M至少m米，根据题意得：点N的坐标为，则顶点为N的抛物线解析式为：，
放在充电车棚最右边的电动车电瓶处的坐标为，
把代入得：，
解得：（舍去）或，
∴喷淋头N距离喷淋头M至少米．
【分析】（1）根据等边三角形判定定理可得为等边三角形，则，，再根据勾股定理即可求出答案.
（2）①设抛物线的解析式为：，根据待定系数法将点代入解析式即可求出答案.
②将x=0代入解析式即可求出答案.
（3）设喷淋头N距离喷淋头M至少m米，根据题意得：点N的坐标为，则顶点为N的抛物线解析式为：，根据待定系数法将点代入解析式即可求出答案.
23．（2025九下·柳州开学考）综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们画一个，使，点D为的中点，连接．然后组织同学们以“操作发现”为活动主线进行学习．
动手操作（如图1）
第一步，在线段上取一点E（点A和点D除外）；
第二步，以点D为圆心，以为半径画弧交于点F；
第三步，分别以E，F为圆心，长为半径画弧，交于点G，连接，．
猜想验证
（1）根据图1的操作，填空：
①四边形的形状为________，依据的判定定理是________；②与的数量关系为________．
（2）以D为旋转中心，将四边形按顺时针方向旋转到如图2的位置，请判断与的数量关系，并加以证明．
问题解决
（3）如图3，若，，，以D为旋转中心，将四边形按顺时针方向旋转，使点F在的下方，连接，且点F，E，C在同一条直线上．求的面积．
【答案】（1）①菱形；四条边相等的四边形是菱形；②相等（或）；
（2）．
证明：∵在中，点D是的中点，
∴，
由图1知，
∴，
即．
∵四边形是菱形，
∴．
在和中，
．
∴，
∴；
（3）如图，连接，与的交于点H．
∵在中，，，
∴，，．
∵在中，D是的中点，
∴，
∴．
由旋转可知．
又∵四边形是菱形，，
∴，．
∴，
∴，．
在中，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；菱形的判定与性质；解直角三角形；旋转的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：（1）①菱形，四条边相等的四边形是菱形；
②相等（或）；
证明：∵在中，点D是的中点，
∴，
由作图知，
∴四边形是菱形，
∴，
∴，
∴；
故答案为：相等；
【分析】（1）根据菱形判定定理及性质即可求出答案.
②根据直角三角形斜边上的中线性质及菱形性质即可求出答案.
（2）根据直角三角形斜边上的中线性质可得，根据角之间的关系可得，根据菱形性质可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（3）连接，与的交于点H，解直角三角形可得BC，AC，则，根据旋转性质可得，根据菱形性质可得，，，解直角三角形可得DH，根据勾股定理可得CH，根据特殊角的三角函数值可得，根据角之间的关系可得∠ACE，再根据三角形面积即可求出答案.
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