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广西柳州市初中2025年3月考年级中考二模数学模拟试题
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，）
1．（2025·柳州模拟）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·柳州模拟）下列成语中，表示随机事件的是（　　）
A．守株待兔 B．刻舟求剑 C．水中捞月 D．破镜重圆
3．（2025·柳州模拟）如图，是的直径，是上一点，连结，．若，那么的度数为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·柳州模拟）如果反比例函数y＝ 的图象在二、四象限，那么k的取值范围是（　　）
A．k＞0 B．k＜0 C．k≥0 D．k≤0
5．（2025·柳州模拟）已知扇形的半径为3，圆心角为120°，则这个扇形的面积为（　　）
A．9π B．6π C．3π D．2π
6．（2025·柳州模拟）已知，且相似比为，则下列结论错误的是（　　）
A．是的倍 B．是的倍
C．周长之比为 D．面积之比为
7．（2025·柳州模拟）如图，在平面直角坐标系中，将以原点O为位似中心放大后得到，若，，则与的面积的比是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·柳州模拟）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　）
A． B．
C．且 D．且
9．（2025·柳州模拟）涞水县某种植基地2018年蔬菜产量为100吨，预计2020年蔬菜产量达到120吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
10．（2025·柳州模拟）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，若点是边上不与重合的一个动点，旋转后点的对应点为点，则线段长度的最小值是（　　）
A． B． C． D．
11．（2025·柳州模拟）如图，等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D为斜边AB上一点，将△BCD绕点C逆时针旋转90°得到△ACE，对于下列说法不一定正确的是（　　）
A．∠EAC＝∠B B．△EDC是等腰直角三角形
C． D．∠AED=∠EDC
12．（2025·柳州模拟）如图，抛物线经过点，，且，有下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是（　　）
A．①② B．②③ C．①②④ D．①③④
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．）
13．（2025·柳州模拟）点关于原点的对称点是　 　．
14．（2025·柳州模拟）如图，小睿同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边与点在同一直线上，已知纸板的两条直角边，，测得边离地面的高度，，则树的高度为　 　．
15．（2025·柳州模拟）反比例函数图象的一支如图，的面积为，则该函数的表达式为　 　．
16．（2025·柳州模拟）如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM＝CN；③AC＝DN；④∠DAE＝∠DBC．其中正确的有　 　．（只填序号）
三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2025·柳州模拟）如图，抛物线与x轴相交于点，，与y轴相交于点C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点，是抛物线上不同的两点且，求的最小值．
18．（2025·柳州模拟）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，B两点．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）根据图象直接写出当时，与的大小；
（3）连接，求的面积．
19．（2025·柳州模拟）一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有编号1，2，3，4，这些小球除编号外都相同．
（1）搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是3 的概率为 ．
（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录球的编号后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．求第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号小1的概率是多少 （用画树状图或列表的方法说明）
20．（2025·柳州模拟）2022年北京冬奥会举办期间，冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受广大人民的喜爱．某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．手办玩具进价元，规定销售单价不低于元，且不高于元．销售期间发现，当销售单价定为元时，每天可售出个，销售单价每上涨元，每天销量减少个．现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元．
（1）直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围；
（2）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润最大？最大利润是多少元？
（3）该店主热心公益事业，决定从每天的利润中捐出元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于元，求销售单价的范围．
21．（2025·柳州模拟）如图，半圆O的直径为AB，D是半圆上的一个动点（不与点A，B重合），连接BD并延长至点C，使CD＝BD，连接AC，过点D作DE⊥AC于点E．
（1）请猜想DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）当AB＝4，∠BAC＝45°时，求DE的长．
22．（2025·柳州模拟）大棚经济“金钥匙”，激活乡村产业振兴新引擎．刘叔叔计划在自家菜地修建一个蔬菜大棚，图是其横截面的示意图，其中，为两段垂直于地面的墙体，两段墙体之间的水平距离为米，大棚的顶部用抛物线形铝合金骨架作支撑．已知骨架的一端固定在离地面米的墙体处，另一端固定在墙体处，骨架最高点到墙体的水平距离为米，且点离地面的高度为米．
数学建模
（1）在图中，以为原点，水平直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．设大棚顶部骨架上某处离地面的高度为（米），该处离墙体的水平距离为（米），求与之间的函数关系式；
问题解决
（2）为了大棚顶部更加稳固，刘叔叔计划在棚顶安装“丁”字形铝合金支架，如图2所示，支架可以看成是由线段，组成，其中点，在顶棚抛物线形骨架上，于点．为不影响耕作，将点E到地面的距离定为米．
点的坐标为______，的长为______；
请你计算做一个“丁”字形支架所需铝合金材料的最大长度．（结果精确到米．参考数据：）
23．（2025·柳州模拟）中，，垂直平分，交线段于点E（点E与点C不重合），点F为直线上一点，点G为边上一点（点G与点A不重合），且．
（1）如图1，当时，求证：线段；
（2）如图2，当时，猜想线段和的数量关系，并说明理由；
（3）若，，，求线段的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、既是轴对称图形也是中心对称图形，故符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
故选A．
【分析】如果一个图形沿某条直线折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；一个图形绕某个点旋转180度后能与原图完全重合的图形叫做中心对称图形.
2．【答案】A
【知识点】事件发生的可能性
【解析】【解答】A、守株待兔是随机事件；
B、刻舟求剑是不可能事件；
C、水中捞月是不可能事件；
D、破镜重圆是不可能事件.
故答案为：A.
【分析】一定条件下重复进行试验，每次必然发生的事件叫必然事件，不可能出现的事件是不可能事件，可能出现也可能不出现的事件是随机事件，据此一一判断得出答案.
3．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵在中，为所对的圆周角，为所对的圆心角，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据圆周角定理解题即可．
4．【答案】B
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵图象在二、四象限，∴k＜0．
故答案为：B．
【分析】根据反比例函数图象的性质：当k＜0时，反比例函数图象位于第二、四象限．
5．【答案】C
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：根据扇形面积公式得：
，
故答案为：C．
【分析】根据扇形面积公式求解即可.
6．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应周长；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：且相似比为
故A正确，不符合题意；
故B错误，符合题意；
因为相似三角形周长的比等于相似比，相似比为
所以周长之比为，故C正确，不符合题意；
因为相似三角形面积的比等于相似比的平方，相似比为
所以面积之比为，故D均正确，不符合题意；
故选：B．
【分析】根据相似三角形性质即可求出答案.
7．【答案】D
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：，，
则与的位似比为，
与的相似比为
则与的面积比为
故选D
【分析】根据位似图形的性质即可求出答案.
8．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得，且
解得且，
m的取值范围是且．
故答案为：D．
【分析】由一元二次方程的定义知：，而一元二次方程有两个不相等的实数根，则判别式，解不等式即可.
9．【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设该种植基地蔬菜产量的年平均增长率（百分数）为x，
根据题意，得，
故选A.
【分析】根据2020年的产量=2018年的产量×（1+年平均增长率）2，建立方程即可求出答案.
10．【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等积变换
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，
，
，
，
，
解得：，
将绕点逆时针旋转得到，
，
是等腰直角三角形，
，
，
是点到线段最短的距离，
即：当点与点重合时，有最小值，，
即：此时有最小值，，
故选：C．
【分析】过点作于点，根据勾股定理可得AB，根据三角形面积可得CH，再根据旋转性质可得，则是等腰直角三角形，，则CH是点到线段最短的距离，当点与点重合时，有最小值，，即可求出答案.
11．【答案】D
【知识点】旋转的性质；等腰直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；补角
【解析】【解答】解：∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠ABC=∠BAC=45°．
由旋转的性质可知∠EAC=∠B=45°，
故选项A正确；
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°．
由旋转的性质可知：∠DCB=∠ACE，CE=CD，
∴∠ECD=90°．
∴△EDC是等腰直角三角形，
故选项B正确．
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠ABC=∠BAC=45°．
由旋转的性质可知∠EAC=∠B=45°，
∴∠EAD=90°，
∴，
∵△EDC是等腰直角三角形，
∴，即
∴
∵AE=BD，
∴
故选项C正确；
从题目已知条件无法推导出选项D正确，
故选项D不一定正确，
故选：D．
【分析】根据等腰直角三角形性质可得∠ABC=∠BAC=45°，根据旋转性质可判断A；根据补角可得∠ACD+∠BCD=90°，根据旋转性质可得∠ECD，再根据等腰直角三角形判定定理可判断B；根据等腰直角三角形判定定理可得∠ABC=∠BAC=45°，由旋转的性质可知∠EAC=∠B=45°，则∠EAD=90°，根据勾股定理，结合边之间的关系可判断C，根据角之间的关系可判断D.
12．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²的性质
【解析】【解答】解：抛物线开口向上，
，
抛物线的对称轴在轴的右侧，
，故①正确，符合题意；
抛物线经过点，
，
，
故②正确，符合题意；
，
，
，
，
，
故③不正确，不符合题意；
当时，，
，
，
，
，故④正确，符合题意．
故选：．
【分析】根据二次函数图象，性质与系数的关系逐项进行判断即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于原点的对称点坐标为：．
故答案为：．
【分析】根据原点对称的点的坐标特征即可秋促答案.
14．【答案】5.5
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可得：，
，
，
，即，
，
，
故答案为：5.5．
【分析】根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得BC，再根据边之间的关系即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解∶的面积为，
又图象在第四象限，
反比例函数的解析式为∶．
故答案为∶．
【分析】根据反比例函数k的几何意义即可求出答案.
16．【答案】①②④
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的性质；手拉手全等模型
【解析】【解答】解：∵△DAC和△EBC均是等边三角形，
∴AC=CD，BC=CE，∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中
，
∴△ACE≌△DCB（SAS）；
∴①正确；
∵∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠DCE=180°-60°-60°=60°=∠ACD，
∵△ACE≌△DCB，
∴∠NDC=∠CAM，
在△ACM和△DCN中
，
∴△ACM≌△DCN（ASA），
∴CM=CN，AM=DN，
∴②正确；
∵△ADC是等边三角形，
∴AC=AD，
∠ADC=∠ACD，
∵∠AMC＞∠ADC，
∴∠AMC＞∠ACD，
∴AC＞AM，
即AC＞DN，
∴③错误；
∵∠DBC+∠CDB=60°，∠DAE+∠EAC=60°，而∠EAC=∠CDB，
∴∠DAE=∠DBC，④正确，
故答案为①②④．
【分析】根据等边三角形性质可得AC=CD，BC=CE，∠ACD=∠BCE=60°，根据角之间的关系可得∠ACE=∠BCD，根据全等三角形判定定理可判断①；根据三角形内角和定理可得∠DCE，再根据全等三角形性质可得∠NDC=∠CAM，根据全等三角形判定定理及性质可得判断②；根据等边三角形性质可得AC=AD，∠ADC=∠ACD，根据角之间的关系可判断③④.
17．【答案】（1）解：设抛物线的表达式为：，
由题意可得：，，
，
，解得：，
故抛物线的表达式为：；
（2）解：由抛物线的表达式知，抛物线的对称轴为直线，
①若点M、N关于抛物线对称轴对称，则，，
②，
，
，
即的最小值为．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）设抛物线的表达式为：，由题意可得：，，则，再根据对应项相等，建立方程，解方程即可求出答案.
（2）由抛物线的表达式知，抛物线的对称轴为直线，分情况讨论：若点M、N关于抛物线对称轴对称，则，则，②作差可得，结合二次函数性质即可求出答案.
（1）解：设抛物线的表达式为：，
由题意可得：，，
，
，解得：，
故抛物线的表达式为：；
（2）解：由抛物线的表达式知，抛物线的对称轴为直线，
①若点M、N关于抛物线对称轴对称，则，，
②，
，
，
即的最小值为．
18．【答案】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于
∴，．
∴．
∴一次函数与反比例函数的表达式分别为．
（2）当时，；当时，；当时，
（3）解：联立，
解得或．
∴点B的坐标为．
设直线与y轴交于点C，
令，则．
∴．
∴．
∴
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：（2）∵与相交于，
∴当时，；
当时，；
当时，．
【分析】（1）根据待定系数法将点A坐标分别代入一次函数，反比例函数解析式即可求出答案.
（2）结合函数图象分类讨论即可求出答案.
（3）联立两函数解析式，解方程组可得点B的坐标为，设直线与y轴交于点C，根据y轴上点的坐标特征可得，根据两点间距离可得，再根据三角形面积即可求出答案.
（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于
∴，．
∴．
∴一次函数与反比例函数的表达式分别为．
（2）∵与相交于，
∴当时，；
当时，；
当时，．
（3）联立，
解得或．
∴点B的坐标为．
设直线与y轴交于点C，
令，则．
∴．
∴．
∴
．
19．【答案】（1）
（2）解：画树状图如下：
一共有16个等可能的结果，其中第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号小1的情况出现了3次，
∴P（第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号小1）．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：（1）∵一共有4个编号的小球，编号为3的有1个，
∴P（任意摸出1个球，这个球的编号是3）；
故答案为：
【分析】（1）根据概率公式即可求出答案.
（2）画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号小1的结果，再根据概率公式即可求出答案.
20．【答案】（1）
（2）解：根据题意得：
，
时有最大值，最大值为：，
将纪念品的销售单价定为元时，商家每天销售纪念品获得的利润最大；最大利润是元
（3）解：解：依题意可得：剩余利润为元，
即
由
解得：或
的取值范围为：，
捐款后剩余利润不低于时，，
答：捐款后每天剩余利润不低于时，销售单价的取值范围是．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（1）解：根据题意得：
与之间的函数关系式为：
【分析】（1）根据题意建立函数关系式即可求出答案.
（2）根据销售利润销售量（售价进价），建立函数关系式，结合二次函数性质即可求出答案.
（3）根据题意得剩余利润为，建立不等式，解不等式即可求出答案.
（1）解：根据题意得：
与之间的函数关系式为：
（2）根据题意得：
，
时有最大值，最大值为：，
将纪念品的销售单价定为元时，商家每天销售纪念品获得的利润最大；最大利润是元
（3）解：依题意可得：剩余利润为元，
即
由
解得：或
的取值范围为：，
捐款后剩余利润不低于时，，
答：捐款后每天剩余利润不低于时，销售单价的取值范围是．
21．【答案】解：（1）DE与⊙O相切．理由如下：
连接OD．
∵CD=BD，OA=OB，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC．
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE为⊙O的切线；
（2）作OF⊥AC于F，如图，易得四边形ODEF为矩形，
∴OF=DE．
∵∠BAC=45°，
∴△OAF为等腰直角三角形，
∴OF=OA=，
∴DE=．
【知识点】平行线的性质；切线的判定；等腰直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）连接OD．根据三角形中位线的定理可得OD∥AC，根据直线平行性质可得OD⊥DE，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）作OF⊥AC于F，易得四边形ODEF为矩形，则OF=DE，再根据等腰直角三角形判定定理及性质即可求出答案.
22．【答案】解：（）根据题意得，抛物线的顶点的坐标为，
设与之间的函数关系式为，
由题意得，点的坐标为，
将代入，
得，解，得，
，
即与之间的函数关系式为，
），；
②过点作于点，过点作于点，交于点，
设所在直线的函数表达式为，
将分别代入，
得解，得，
∴所在直线的函数表达式为，
设点的横坐标为，
点在拋物线的图象上，
，，
，
，且，
有最大值，当时，最大，
轴，
，
又，，，
，
，
当时，有最大值，
当时，有最大值，
此时，米．
∴需要铝合金材料的最大长度约为米．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；平行线的性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：（）由（）得，
当时，，解得：或（舍去），
∴，
∵，
∴，
故答案为：，；
【分析】（1）根据题意得，抛物线的顶点的坐标为，设与之间的函数关系式为，根据待定系数法将点A坐标代入解析式即可求出答案.
（2）①将y=代入解析式可得，再根据两点间距离即可求出答案.
②过点作于点，过点作于点，交于点，设所在直线的函数表达式为，根据待定系数法将点A，E坐标代入解析式可得所在直线的函数表达式为，设点的横坐标为，根据抛物线上点的坐标特征可得，，根据两点间距离，结合二次函数性质可得有最大值，当时，最大，根据直线平行性质可得，解直角三角形可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
23．【答案】（1）解：连接，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
如图，连接，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
在中，，
，
，
；
（3）解：过作于，
∵，，
，
，
，
①当在上时， 如图， 连接，
∵垂直平分，
，
，
，
，
，
，在的左侧，
，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
即，
解得：；
②当点在上，如图，连接，
同①可得，，
，
，
，
解得：；
综上所述，的长为或．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接，根据垂直平分线性质可得，根据等边对等角可得，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（2）连接，根据三角形内角和定理可得∠BAC，根据垂直平分线性质可得，则，根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）过作于，根据等腰三角形三线合一性质可得，根据余弦定义可得，分情况讨论：①当在上时， 如图， 连接，根据垂直平分线性质可得，根据边之间的关系看的AG，根据余弦定义可得BE，再根据边之间的关系可得，则，在的左侧，，根据等边对等角可得，根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案；②当点在上，如图，连接，同①可得，，则，代值计算即可求出答案.
（1）（1）连接，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2），理由如下：
如图，连接，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
在中，，
，
，
；
（3）过作于，
∵，，
，
，
，
①当在上时， 如图， 连接，
∵垂直平分，
，
，
，
，
，
，在的左侧，
，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
即，
解得：；
②当点在上，如图，连接，
同①可得，，
，
，
，
解得：；
综上所述，的长为或．
1 / 1广西柳州市初中2025年3月考年级中考二模数学模拟试题
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，）
1．（2025·柳州模拟）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、既是轴对称图形也是中心对称图形，故符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
故选A．
【分析】如果一个图形沿某条直线折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；一个图形绕某个点旋转180度后能与原图完全重合的图形叫做中心对称图形.
2．（2025·柳州模拟）下列成语中，表示随机事件的是（　　）
A．守株待兔 B．刻舟求剑 C．水中捞月 D．破镜重圆
【答案】A
【知识点】事件发生的可能性
【解析】【解答】A、守株待兔是随机事件；
B、刻舟求剑是不可能事件；
C、水中捞月是不可能事件；
D、破镜重圆是不可能事件.
故答案为：A.
【分析】一定条件下重复进行试验，每次必然发生的事件叫必然事件，不可能出现的事件是不可能事件，可能出现也可能不出现的事件是随机事件，据此一一判断得出答案.
3．（2025·柳州模拟）如图，是的直径，是上一点，连结，．若，那么的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵在中，为所对的圆周角，为所对的圆心角，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据圆周角定理解题即可．
4．（2025·柳州模拟）如果反比例函数y＝ 的图象在二、四象限，那么k的取值范围是（　　）
A．k＞0 B．k＜0 C．k≥0 D．k≤0
【答案】B
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵图象在二、四象限，∴k＜0．
故答案为：B．
【分析】根据反比例函数图象的性质：当k＜0时，反比例函数图象位于第二、四象限．
5．（2025·柳州模拟）已知扇形的半径为3，圆心角为120°，则这个扇形的面积为（　　）
A．9π B．6π C．3π D．2π
【答案】C
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：根据扇形面积公式得：
，
故答案为：C．
【分析】根据扇形面积公式求解即可.
6．（2025·柳州模拟）已知，且相似比为，则下列结论错误的是（　　）
A．是的倍 B．是的倍
C．周长之比为 D．面积之比为
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应周长；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：且相似比为
故A正确，不符合题意；
故B错误，符合题意；
因为相似三角形周长的比等于相似比，相似比为
所以周长之比为，故C正确，不符合题意；
因为相似三角形面积的比等于相似比的平方，相似比为
所以面积之比为，故D均正确，不符合题意；
故选：B．
【分析】根据相似三角形性质即可求出答案.
7．（2025·柳州模拟）如图，在平面直角坐标系中，将以原点O为位似中心放大后得到，若，，则与的面积的比是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：，，
则与的位似比为，
与的相似比为
则与的面积比为
故选D
【分析】根据位似图形的性质即可求出答案.
8．（2025·柳州模拟）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　）
A． B．
C．且 D．且
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得，且
解得且，
m的取值范围是且．
故答案为：D．
【分析】由一元二次方程的定义知：，而一元二次方程有两个不相等的实数根，则判别式，解不等式即可.
9．（2025·柳州模拟）涞水县某种植基地2018年蔬菜产量为100吨，预计2020年蔬菜产量达到120吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设该种植基地蔬菜产量的年平均增长率（百分数）为x，
根据题意，得，
故选A.
【分析】根据2020年的产量=2018年的产量×（1+年平均增长率）2，建立方程即可求出答案.
10．（2025·柳州模拟）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，若点是边上不与重合的一个动点，旋转后点的对应点为点，则线段长度的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等积变换
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，
，
，
，
，
解得：，
将绕点逆时针旋转得到，
，
是等腰直角三角形，
，
，
是点到线段最短的距离，
即：当点与点重合时，有最小值，，
即：此时有最小值，，
故选：C．
【分析】过点作于点，根据勾股定理可得AB，根据三角形面积可得CH，再根据旋转性质可得，则是等腰直角三角形，，则CH是点到线段最短的距离，当点与点重合时，有最小值，，即可求出答案.
11．（2025·柳州模拟）如图，等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D为斜边AB上一点，将△BCD绕点C逆时针旋转90°得到△ACE，对于下列说法不一定正确的是（　　）
A．∠EAC＝∠B B．△EDC是等腰直角三角形
C． D．∠AED=∠EDC
【答案】D
【知识点】旋转的性质；等腰直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；补角
【解析】【解答】解：∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠ABC=∠BAC=45°．
由旋转的性质可知∠EAC=∠B=45°，
故选项A正确；
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°．
由旋转的性质可知：∠DCB=∠ACE，CE=CD，
∴∠ECD=90°．
∴△EDC是等腰直角三角形，
故选项B正确．
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠ABC=∠BAC=45°．
由旋转的性质可知∠EAC=∠B=45°，
∴∠EAD=90°，
∴，
∵△EDC是等腰直角三角形，
∴，即
∴
∵AE=BD，
∴
故选项C正确；
从题目已知条件无法推导出选项D正确，
故选项D不一定正确，
故选：D．
【分析】根据等腰直角三角形性质可得∠ABC=∠BAC=45°，根据旋转性质可判断A；根据补角可得∠ACD+∠BCD=90°，根据旋转性质可得∠ECD，再根据等腰直角三角形判定定理可判断B；根据等腰直角三角形判定定理可得∠ABC=∠BAC=45°，由旋转的性质可知∠EAC=∠B=45°，则∠EAD=90°，根据勾股定理，结合边之间的关系可判断C，根据角之间的关系可判断D.
12．（2025·柳州模拟）如图，抛物线经过点，，且，有下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是（　　）
A．①② B．②③ C．①②④ D．①③④
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²的性质
【解析】【解答】解：抛物线开口向上，
，
抛物线的对称轴在轴的右侧，
，故①正确，符合题意；
抛物线经过点，
，
，
故②正确，符合题意；
，
，
，
，
，
故③不正确，不符合题意；
当时，，
，
，
，
，故④正确，符合题意．
故选：．
【分析】根据二次函数图象，性质与系数的关系逐项进行判断即可求出答案.
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．）
13．（2025·柳州模拟）点关于原点的对称点是　 　．
【答案】
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于原点的对称点坐标为：．
故答案为：．
【分析】根据原点对称的点的坐标特征即可秋促答案.
14．（2025·柳州模拟）如图，小睿同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边与点在同一直线上，已知纸板的两条直角边，，测得边离地面的高度，，则树的高度为　 　．
【答案】5.5
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可得：，
，
，
，即，
，
，
故答案为：5.5．
【分析】根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得BC，再根据边之间的关系即可求出答案.
15．（2025·柳州模拟）反比例函数图象的一支如图，的面积为，则该函数的表达式为　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解∶的面积为，
又图象在第四象限，
反比例函数的解析式为∶．
故答案为∶．
【分析】根据反比例函数k的几何意义即可求出答案.
16．（2025·柳州模拟）如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM＝CN；③AC＝DN；④∠DAE＝∠DBC．其中正确的有　 　．（只填序号）
【答案】①②④
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的性质；手拉手全等模型
【解析】【解答】解：∵△DAC和△EBC均是等边三角形，
∴AC=CD，BC=CE，∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中
，
∴△ACE≌△DCB（SAS）；
∴①正确；
∵∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠DCE=180°-60°-60°=60°=∠ACD，
∵△ACE≌△DCB，
∴∠NDC=∠CAM，
在△ACM和△DCN中
，
∴△ACM≌△DCN（ASA），
∴CM=CN，AM=DN，
∴②正确；
∵△ADC是等边三角形，
∴AC=AD，
∠ADC=∠ACD，
∵∠AMC＞∠ADC，
∴∠AMC＞∠ACD，
∴AC＞AM，
即AC＞DN，
∴③错误；
∵∠DBC+∠CDB=60°，∠DAE+∠EAC=60°，而∠EAC=∠CDB，
∴∠DAE=∠DBC，④正确，
故答案为①②④．
【分析】根据等边三角形性质可得AC=CD，BC=CE，∠ACD=∠BCE=60°，根据角之间的关系可得∠ACE=∠BCD，根据全等三角形判定定理可判断①；根据三角形内角和定理可得∠DCE，再根据全等三角形性质可得∠NDC=∠CAM，根据全等三角形判定定理及性质可得判断②；根据等边三角形性质可得AC=AD，∠ADC=∠ACD，根据角之间的关系可判断③④.
三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2025·柳州模拟）如图，抛物线与x轴相交于点，，与y轴相交于点C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点，是抛物线上不同的两点且，求的最小值．
【答案】（1）解：设抛物线的表达式为：，
由题意可得：，，
，
，解得：，
故抛物线的表达式为：；
（2）解：由抛物线的表达式知，抛物线的对称轴为直线，
①若点M、N关于抛物线对称轴对称，则，，
②，
，
，
即的最小值为．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）设抛物线的表达式为：，由题意可得：，，则，再根据对应项相等，建立方程，解方程即可求出答案.
（2）由抛物线的表达式知，抛物线的对称轴为直线，分情况讨论：若点M、N关于抛物线对称轴对称，则，则，②作差可得，结合二次函数性质即可求出答案.
（1）解：设抛物线的表达式为：，
由题意可得：，，
，
，解得：，
故抛物线的表达式为：；
（2）解：由抛物线的表达式知，抛物线的对称轴为直线，
①若点M、N关于抛物线对称轴对称，则，，
②，
，
，
即的最小值为．
18．（2025·柳州模拟）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，B两点．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）根据图象直接写出当时，与的大小；
（3）连接，求的面积．
【答案】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于
∴，．
∴．
∴一次函数与反比例函数的表达式分别为．
（2）当时，；当时，；当时，
（3）解：联立，
解得或．
∴点B的坐标为．
设直线与y轴交于点C，
令，则．
∴．
∴．
∴
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：（2）∵与相交于，
∴当时，；
当时，；
当时，．
【分析】（1）根据待定系数法将点A坐标分别代入一次函数，反比例函数解析式即可求出答案.
（2）结合函数图象分类讨论即可求出答案.
（3）联立两函数解析式，解方程组可得点B的坐标为，设直线与y轴交于点C，根据y轴上点的坐标特征可得，根据两点间距离可得，再根据三角形面积即可求出答案.
（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于
∴，．
∴．
∴一次函数与反比例函数的表达式分别为．
（2）∵与相交于，
∴当时，；
当时，；
当时，．
（3）联立，
解得或．
∴点B的坐标为．
设直线与y轴交于点C，
令，则．
∴．
∴．
∴
．
19．（2025·柳州模拟）一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有编号1，2，3，4，这些小球除编号外都相同．
（1）搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是3 的概率为 ．
（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录球的编号后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．求第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号小1的概率是多少 （用画树状图或列表的方法说明）
【答案】（1）
（2）解：画树状图如下：
一共有16个等可能的结果，其中第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号小1的情况出现了3次，
∴P（第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号小1）．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：（1）∵一共有4个编号的小球，编号为3的有1个，
∴P（任意摸出1个球，这个球的编号是3）；
故答案为：
【分析】（1）根据概率公式即可求出答案.
（2）画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号小1的结果，再根据概率公式即可求出答案.
20．（2025·柳州模拟）2022年北京冬奥会举办期间，冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受广大人民的喜爱．某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．手办玩具进价元，规定销售单价不低于元，且不高于元．销售期间发现，当销售单价定为元时，每天可售出个，销售单价每上涨元，每天销量减少个．现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元．
（1）直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围；
（2）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润最大？最大利润是多少元？
（3）该店主热心公益事业，决定从每天的利润中捐出元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于元，求销售单价的范围．
【答案】（1）
（2）解：根据题意得：
，
时有最大值，最大值为：，
将纪念品的销售单价定为元时，商家每天销售纪念品获得的利润最大；最大利润是元
（3）解：解：依题意可得：剩余利润为元，
即
由
解得：或
的取值范围为：，
捐款后剩余利润不低于时，，
答：捐款后每天剩余利润不低于时，销售单价的取值范围是．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（1）解：根据题意得：
与之间的函数关系式为：
【分析】（1）根据题意建立函数关系式即可求出答案.
（2）根据销售利润销售量（售价进价），建立函数关系式，结合二次函数性质即可求出答案.
（3）根据题意得剩余利润为，建立不等式，解不等式即可求出答案.
（1）解：根据题意得：
与之间的函数关系式为：
（2）根据题意得：
，
时有最大值，最大值为：，
将纪念品的销售单价定为元时，商家每天销售纪念品获得的利润最大；最大利润是元
（3）解：依题意可得：剩余利润为元，
即
由
解得：或
的取值范围为：，
捐款后剩余利润不低于时，，
答：捐款后每天剩余利润不低于时，销售单价的取值范围是．
21．（2025·柳州模拟）如图，半圆O的直径为AB，D是半圆上的一个动点（不与点A，B重合），连接BD并延长至点C，使CD＝BD，连接AC，过点D作DE⊥AC于点E．
（1）请猜想DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）当AB＝4，∠BAC＝45°时，求DE的长．
【答案】解：（1）DE与⊙O相切．理由如下：
连接OD．
∵CD=BD，OA=OB，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC．
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE为⊙O的切线；
（2）作OF⊥AC于F，如图，易得四边形ODEF为矩形，
∴OF=DE．
∵∠BAC=45°，
∴△OAF为等腰直角三角形，
∴OF=OA=，
∴DE=．
【知识点】平行线的性质；切线的判定；等腰直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）连接OD．根据三角形中位线的定理可得OD∥AC，根据直线平行性质可得OD⊥DE，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）作OF⊥AC于F，易得四边形ODEF为矩形，则OF=DE，再根据等腰直角三角形判定定理及性质即可求出答案.
22．（2025·柳州模拟）大棚经济“金钥匙”，激活乡村产业振兴新引擎．刘叔叔计划在自家菜地修建一个蔬菜大棚，图是其横截面的示意图，其中，为两段垂直于地面的墙体，两段墙体之间的水平距离为米，大棚的顶部用抛物线形铝合金骨架作支撑．已知骨架的一端固定在离地面米的墙体处，另一端固定在墙体处，骨架最高点到墙体的水平距离为米，且点离地面的高度为米．
数学建模
（1）在图中，以为原点，水平直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．设大棚顶部骨架上某处离地面的高度为（米），该处离墙体的水平距离为（米），求与之间的函数关系式；
问题解决
（2）为了大棚顶部更加稳固，刘叔叔计划在棚顶安装“丁”字形铝合金支架，如图2所示，支架可以看成是由线段，组成，其中点，在顶棚抛物线形骨架上，于点．为不影响耕作，将点E到地面的距离定为米．
点的坐标为______，的长为______；
请你计算做一个“丁”字形支架所需铝合金材料的最大长度．（结果精确到米．参考数据：）
【答案】解：（）根据题意得，抛物线的顶点的坐标为，
设与之间的函数关系式为，
由题意得，点的坐标为，
将代入，
得，解，得，
，
即与之间的函数关系式为，
），；
②过点作于点，过点作于点，交于点，
设所在直线的函数表达式为，
将分别代入，
得解，得，
∴所在直线的函数表达式为，
设点的横坐标为，
点在拋物线的图象上，
，，
，
，且，
有最大值，当时，最大，
轴，
，
又，，，
，
，
当时，有最大值，
当时，有最大值，
此时，米．
∴需要铝合金材料的最大长度约为米．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；平行线的性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：（）由（）得，
当时，，解得：或（舍去），
∴，
∵，
∴，
故答案为：，；
【分析】（1）根据题意得，抛物线的顶点的坐标为，设与之间的函数关系式为，根据待定系数法将点A坐标代入解析式即可求出答案.
（2）①将y=代入解析式可得，再根据两点间距离即可求出答案.
②过点作于点，过点作于点，交于点，设所在直线的函数表达式为，根据待定系数法将点A，E坐标代入解析式可得所在直线的函数表达式为，设点的横坐标为，根据抛物线上点的坐标特征可得，，根据两点间距离，结合二次函数性质可得有最大值，当时，最大，根据直线平行性质可得，解直角三角形可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
23．（2025·柳州模拟）中，，垂直平分，交线段于点E（点E与点C不重合），点F为直线上一点，点G为边上一点（点G与点A不重合），且．
（1）如图1，当时，求证：线段；
（2）如图2，当时，猜想线段和的数量关系，并说明理由；
（3）若，，，求线段的长．
【答案】（1）解：连接，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
如图，连接，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
在中，，
，
，
；
（3）解：过作于，
∵，，
，
，
，
①当在上时， 如图， 连接，
∵垂直平分，
，
，
，
，
，
，在的左侧，
，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
即，
解得：；
②当点在上，如图，连接，
同①可得，，
，
，
，
解得：；
综上所述，的长为或．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接，根据垂直平分线性质可得，根据等边对等角可得，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（2）连接，根据三角形内角和定理可得∠BAC，根据垂直平分线性质可得，则，根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）过作于，根据等腰三角形三线合一性质可得，根据余弦定义可得，分情况讨论：①当在上时， 如图， 连接，根据垂直平分线性质可得，根据边之间的关系看的AG，根据余弦定义可得BE，再根据边之间的关系可得，则，在的左侧，，根据等边对等角可得，根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案；②当点在上，如图，连接，同①可得，，则，代值计算即可求出答案.
（1）（1）连接，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2），理由如下：
如图，连接，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
在中，，
，
，
；
（3）过作于，
∵，，
，
，
，
①当在上时， 如图， 连接，
∵垂直平分，
，
，
，
，
，
，在的左侧，
，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
即，
解得：；
②当点在上，如图，连接，
同①可得，，
，
，
，
解得：；
综上所述，的长为或．
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