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广东省茂名市茂南区博雅中学2024-2025学年下学期八年级数学期中考试试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出四个答案，其中只有一个是正确的）．
1．（2025八下·茂南期中）在下列四个图案中，不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】根据中心对称图形的概念可得：A选项不是中心对称图形．
故答案为：A．
【分析】根据中心对称图形的定义逐项进行判断，即可得出答案。
2．（2025八下·茂南期中）已知x>y，则下列不等式不成立的是（　　）
A．x+9>y+9 B．x-516y
【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、不等式的两边都加9，不等号的方向不变，故A成立；
B、不等式的两边都减5，不等号的方向不变，故B不成立；
C、不等式的两边都乘以负数，不等号的方向改变，故C成立；
D、不等式的两条边都乘以正数，不等号的方向不变，故D成立；
故答案为：B．
【分析】根据不等式的性质逐项进行判断即可得出答案。
3．（2025八下·茂南期中）用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”，应先假设这个三角形中（　　）
A．有两个角是直角 B．有两个角是钝角
C．有两个角是锐角 D．一个角是钝角，一个角是直角
【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明“一个三角形中不能有两个角是直角”，应先假设这个三角形中有两个角是直角．故选A．
【分析】熟记反证法的步骤，然后进行判断．
4．（2025八下·茂南期中）下列等 式从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】A、，不是因式分解，故不符合题意；
B、，属于整式的乘除，故不符合题意；
C、是因式分解，故符合题意；
D、不属于因式分解，故不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据因式分解而定义，逐项进行判断即可得出答案。
5．（2025八下·茂南期中）在平面直角坐标系中，已知点A（1，3），将点A向左平移3个单位后，再将它向上平移4个单位，则它的坐标变为（　　）
A．（﹣2，7） B．（4，﹣1）
C．（4，7） D．（﹣2，﹣1）
【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵点A（1，3）先向左平移3个单位后，再将它向上平移4个单位，
∴平移后的点的横坐标是1-3=-2，
纵坐标是3+4=7，
∴坐标变为（-2，7）．
故答案为：A．
【分析】根据点坐标平移的特征：左减右加，上加下减求解即可。
6．（2025八下·茂南期中）若关于x的方程：的解为负数，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解一元一次不等式；已知一元一次方程的解求参数；解系数含参的一元一次方程
【解析】【解答】解：
移项得：，
合并同类项得：，
∵关于x的方程：的解为负数，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】首先解关于x的方程可得出，进而根据 解为负数， 可得出不等式，解不等式即可。
7．（2025八下·茂南期中）如图，在中，，．按下列步骤作图：以点A为圆心，适当长为半径画圆弧分别交于点M和点N，再分别以点M和点N为圆心，大于一半的长为半径画圆弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，则下列说法不正确的是（　　）
A．是的平分线 B．
C．点D在的中垂线上 D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；线段垂直平分线的判定；尺规作图-作角的平分线；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵在中，，，∴，
由作图可得是的平分线，故A正确，不符合题意；
则，
∴，，即点D在的中垂线上，
∴选项B、C正确，不符合题意；
∵，
∴，
∴，故选项D错误，符合题意，
故答案为：D．
【分析】首先计算出，然后根据作图痕迹判断AD是角平分线。利用等腰三角形判定和30°直角三角形性质可得且。根据线段垂直平分线判定可知点D在AB的中垂线上，进而可逐一分析选项得出正确答案。
8．（2025八下·茂南期中）如图，函数和的图像交于点P，根据图像可得不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵函数和的图像交于点，
∴不等式的解集即为的图像在的图像上方的部分，
∴不等式的解集是，
故答案为：B．
【分析】根据图像可知函数和的图像交于点，观察图像可知，在点P右侧y=kx的图像在直线的图像的下边，即不等式的解集是。
9．（2025八下·茂南期中）在如图所示的三角形纸片中，，沿折叠三角形纸片，使点C落在边上的E点，若此时点D恰好为边靠近点C的三等分点，则下列结论：①；②；③垂直平分；④，其中正确是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：由折叠可得：，，
∴
∵点D恰好为BC边靠近点C的三等分点，
∴，
∴，
取中点F， 连接，如图，
∵点F是的中点，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴
∴，故①正确；
∴，
由折叠可得：，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，故②正确；
∴
∵
∴
∴DE垂直平分AB，故③正确；
∵，，
∴，
由勾股定理，得，
∴，故④错误；
综上，正确的有①②③．
故答案为：A．
【分析】根据折叠的性质可得出DE=DC=，且∠DEB=90°，进而得出∠B=30°，即①正确；根据AAS可证得，即可得出②正确；由全等三角形的性质可得出，进而根据等腰三角形的性质可得出DE垂直平分AB，即③正确；根据含30°角的直角三角形的性质可出，进而根据勾股定理即可得出BC=AC，进而根据直角三角形面积计算公式即可得出，即可得出④不正确。
10．（2025八下·茂南期中）如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到的位置，，，，，平移距离为4，求阴影部分的面积为（　　）
A．20 B．24 C．25 D．26
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形；平移的性质；多边形的面积
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
由平移的性质可得，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据平移的性质可得出，进而根据等式的性质即可得出
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（2025八下·茂南期中）使式子有意义，则x的取值范围为 　 　．
【答案】x≥2
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：式子有意义，
∴x-2≥0，解得x≥2，
故答案为：x≥2.
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式求解即可。
12．（2025八下·茂南期中）如图，在和中，，根据　 　（填判定方法的简称）可以知道．
【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】证明：在和中，
∵，
∴．
故答案为：．
【分析】根据直角三角形全等的判定方法可直接得出答案。
13．（2025八下·茂南期中）已知x+y＝6，xy＝7，则x2y+xy2的值是　 　.
【答案】42
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵x+y＝6，xy＝7，
∴x2y+xy2
＝xy（x+y）
＝7×6
＝42，
故答案为：42.
【分析】将原式因式分解为xy（x+y），然后代入计算即可.
14．（2025八下·茂南期中）如图，四盏灯笼，，，的坐标分别是，，，，要使四盏灯笼组成的图形关于轴对称，只需把灯笼向右平移　 　个单位．
【答案】7
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：根据题意可得灯和灯关于y轴对称，
∴灯A和灯C关于y轴对称，
∵，
∴点A关于y轴对称的点的坐标为
∴
∴要使四盏灯笼组成的图形关于轴对称，只需把灯笼向右平移7个单位长度．
故答案为：7．
【分析】
关于y轴对称的点的坐标规律：纵坐标不变，横坐标互为相反数，则C平移后与A距离y轴相等，即需向右平移7个单位长度．
15．（2025八下·茂南期中）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，把直线AB绕点B顺时针旋转30°交x轴于点C，则线段AC长为　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；旋转的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A，B
令，则；令，则
则A（，0），B（0，）
则△OAB为等腰直角三角形，
过点C作，垂足为D
△ ACD为等腰直角三角形，设CD= AD=x
由旋转的性质可知
解得
故答案为：．
【分析】首先可根据一次函数与坐标轴相交，可得出A（，0），B（0，），进而得出△OAB为等腰直角三角形，进而可根据勾股定理求得，过点C作，垂足为D，可得出△ ACD为等腰直角三角形，设CD= AD=x，可得出，再根据含30°的直角三角形的性质，可得出=，解得，进而即可得出线段AC的长。
三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题6分，第17题7分，第18题8分，共21分）
16．（2025八下·茂南期中）解不等式：；并把不等式的解集在数轴上表示出来．
【答案】解：
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
数轴表示如下所示：
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】首先解不等式，可求出解集，进而在数轴上表示出解集即可。
17．（2025八下·茂南期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，请解答下列问题：
（1）若经过平移后得到，已知点的坐标为，作出；
（2）将绕点O按顺时针方向旋转得到，作出；
（3）若将绕某一点旋转可得到，直接写出旋转中心的坐标．
【答案】（1）解：如图所示；
（2）解：如图所示；
（3）
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据点的坐标，可以确定平移后的图形的位置，并据此绘制图形；
（2）将绕点O顺时针旋转，可以得到旋转后的图形；
（3）通过连接两对对应点，并找到它们垂直平分线的交点，可以确定旋转中心的位置。
18．（2025八下·茂南期中）（1）若多项式因式分解的结果为，求m，n的值．
（2）通过计算说明能否被98整除．
【答案】解：解：（1）∵因式分解的结果为，∴，∴，∴；（2），∴能被98整除．
（1）解：∵因式分解的结果为，
∴，
∴，
∴；
（2）解：
，
∴能被98整除．
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解的应用-简便运算
【解析】【分析】（1）题目给出方程，将右边展开后比较系数即可求出m和n的值。展开过程为：，因此对应系数m=-2，n=-3。
（2）对表达式进行因式分解时，先提取公因数99得到，再利用平方差公式继续分解为，从而证明该数能被100整除。
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19．（2025八下·茂南期中）如图，有一直角三角形，，，，线段，、两点分别在上和过点且垂直于的射线上运动，问点运动到上什么位置时才能和全等？
【答案】解：根据三角形全等的判定方法可知：
①当运动到时，
，
在与中，
，即；
②当运动到与点重合时，，
在与中，
，
，即，
当点与点重合时，才能和全等，
综上所述，当点位于的中点处或当点与点重合时，才能和全等．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；三角形-动点问题；分类讨论
【解析】【分析】本题主要考查三角形全等的判定与性质。解题时需要分两种情况进行讨论：当时，根据全等三角形对应边相等可得，由此可确定点的位置。当时，此时，说明点与点重合。在判定三角形全等时，常用的方法有：、、、和。由于题目未明确给出全等三角形的对应关系，因此分类讨论是解决此类问题的关键。
20．（2025八下·茂南期中）对于任意实数a，b，定义关于@的一种运算如下：，例如，．
（1）若，求x的取值范围．
（2）若不等式组的解集为，求m的取值范围．
【答案】（1）解：∵，
∴，
解得；
（2）解：∵，∴，
∴，
解得，
∵不等式组的解集为，
∴，
∴．
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【分析】（1）根据题目定义的新运算规则，不等式， 可以转化为x-2×2＜1，解这个不等式得到x<5；
（2）根据新运算规则，不等式3@(m x)<5可以展开为3 2(m x)<5。进一步化简得到3 2m+2x<5，整理为2x<2+2m，即x<1+m。题目中给出不等式组的解集为x＜2，这意味着1+m≥2，即m≥1.
（1）解：∵，
∴，
解得；
（2）解：∵，
∴，
∴，
解得，
∵不等式组的解集为，
∴，
∴．
21．（2025八下·茂南期中）如图，，点是的中点．平分．
（1）求证：是的平分线；
（2）已知，，求四边形的面积．
【答案】（1）证明：过点作于点，
，平分，
，
点是的中点，
，
，
又，，
平分；
（2）解：，，
，
，，
，，
，
，，
，即，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）首先，从点向边作垂线。根据角平分线的性质，可以得到。又因为是的中点，所以，综合这两点，得出，从而完成证明；
（2）通过证明两个直角三角形全等：①，得到： 角度关系：； 面积关系：②，得到：角度关系：； 面积关系：由此可证得。根据面积关系式，最终得出梯形面积关系：。
（1）证明：过点作于点，
，平分，
，
点是的中点，
，
，
又，，
平分；
（2）解：，，
，
，，
，，
，
，，
，即，
，
．
五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）．
22．（2025八下·茂南期中）实验学校体育中心为鼓励师生加强体育锻炼，准备购买10副某种的羽毛球拍，每副球拍配x（）筒羽毛球，供师生免费借用．A、B两家超市都有这种羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为400元，每筒羽毛球的标价均为20元，目前两家超市同时在做促销活动：
A超市：所有商品均打九折销售；
B超市：买一副羽毛球拍送3筒羽毛球．
设在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为（元），在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为（元）．请解答下列问题：
（1）分别写出与x之间的关系式：
（2）若只在一家超市购买，在哪家超市购买更划算？
（3）若每副球拍配20筒羽毛球，请你帮助体育中心设计出最省钱的购买方案．
【答案】（1）解：由题意可知，
；
∴在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为；在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为；
（2）解：当时，即，解得，
∴时，去A超市买更划算；
当时，即，
解得，
∴时，去A、B超市买花费一样多；
当时，即，
解得，
∴时，去B超市买更划算；
（3）解：如果选择A超市，那么总费用为：（元），如果选择B超市，那么总费用为：（元），
如果先在B超市购买10副羽毛球拍，然后在A超市购买剩余的羽毛球，那么总费用为：（元），
∵，
∴在B超市购买10副羽毛球拍，然后在A超市购买剩余的羽毛球最省钱．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）针对不同的优惠方案，需要分别建立对应的函数关系式；
（2）比较两种方案的费用时，需考虑三种情况：当时，时，去A超市买更划算；当时，时，去A、B超市买花费一样多；当时，时，去B超市买更划算；（3）在最优方案选择时，需要比较三种购买策略：全部在A超市购买，总费用为：（元），全部在B超市购买，总费用为：（元），在B超市购买球拍，在A超市购买羽毛球总费用为：（元），进而通过比较大小即可得出答案。
（1）解：由题意可知，
；
∴在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为；在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为；
（2）解：当时，即，
解得，
∴时，去A超市买更划算；
当时，即，
解得，
∴时，去A、B超市买花费一样多；
当时，即，
解得，
∴时，去B超市买更划算；
（3）解：如果选择A超市，那么总费用为：（元），
如果选择B超市，那么总费用为：（元），
如果先在B超市购买10副羽毛球拍，然后在A超市购买剩余的羽毛球，那么总费用为：（元），
∵，
∴在B超市购买10副羽毛球拍，然后在A超市购买剩余的羽毛球最省钱．
23．（2025八下·茂南期中）阅读思考并完成下列各个问题：
如图1，和都是等腰直角三角形，，，的顶点A在的斜边上．求证：
（1）小明同学看到题目后，马上想到在等腰直角，中，通过勾股定理可以得到，于是她想通过全等将线段和转化到一个直角三角形中，便连接了，如图2，证明了，得到，并证明了请你写出的三个条件：_______；
（2）小华同学又在《资源评价》中看到了这样一道题：如图3，是等腰直角三角形，，，，且的两边分别交斜边于点D和点E．求证：；
小华同学给出了图4的构造方法，证明了上述结论．请你说明小华同学辅助线的作法并给出完整的证明！
（3）小朱同学在课外资料中看到这样一道题：如图5，平面直角坐标系中，等腰直角的斜边在x轴上，，，，你能利用（2）中的结论求出点C的坐标吗？若能，请写出求解过程．
【答案】（1），；
（2）证明：如图所示，过作，使，连，，
，
，
∴，
又，
，，，
，，
，
，
，即，
，
又，
，
，
；
（3）解：如图所示，过作，使，连，，过作于，
，
，，
，
，
，
又，，
，
，，
，，，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在x正半轴上，
，
，，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】点的坐标；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等腰三角形的概念
【解析】【分析】（1）由于△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，其中AC=BC，EC=CD。根据等腰直角三角形的性质，可以推导出∠ACE=∠BCD。然后利用SAS（边角边）全等判定定理，即可证明△ACE≌△BCD；
（2）首先过点A作AF⊥AB，使AF=BE，连接DF和CF。接着证明△CAF≌△CBE，再进一步证明△CDF≌△CDE，从而得出结论；
（3）过点A作AF⊥AB，使AF=BD，连接OF和FC。同时过点C作CW⊥AB于点W。先证明△FAC≌△DBC，再证明△FCO≌△DCO。通过计算求出OF的长度和点D的坐标，进而得出线段AF、DB、AB、CW、OW的长度，最终得到结果。
（1）解：和都是等腰直角三角形，
，，，
，
，
又，，
；
故答案为：，；
（2）证明：如图所示，过作，使，连，，
，
，
∴，
又，
，
，，
，，
，
，
，即，
，
又，
，
，
；
（3）解：如图所示，过作，使，连，，过作于，
，
，，
，
，
，
又，，
，
，，
，，，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在x正半轴上，
，
，，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
1 / 1广东省茂名市茂南区博雅中学2024-2025学年下学期八年级数学期中考试试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出四个答案，其中只有一个是正确的）．
1．（2025八下·茂南期中）在下列四个图案中，不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025八下·茂南期中）已知x>y，则下列不等式不成立的是（　　）
A．x+9>y+9 B．x-516y
3．（2025八下·茂南期中）用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”，应先假设这个三角形中（　　）
A．有两个角是直角 B．有两个角是钝角
C．有两个角是锐角 D．一个角是钝角，一个角是直角
4．（2025八下·茂南期中）下列等 式从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025八下·茂南期中）在平面直角坐标系中，已知点A（1，3），将点A向左平移3个单位后，再将它向上平移4个单位，则它的坐标变为（　　）
A．（﹣2，7） B．（4，﹣1）
C．（4，7） D．（﹣2，﹣1）
6．（2025八下·茂南期中）若关于x的方程：的解为负数，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025八下·茂南期中）如图，在中，，．按下列步骤作图：以点A为圆心，适当长为半径画圆弧分别交于点M和点N，再分别以点M和点N为圆心，大于一半的长为半径画圆弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，则下列说法不正确的是（　　）
A．是的平分线 B．
C．点D在的中垂线上 D．
8．（2025八下·茂南期中）如图，函数和的图像交于点P，根据图像可得不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025八下·茂南期中）在如图所示的三角形纸片中，，沿折叠三角形纸片，使点C落在边上的E点，若此时点D恰好为边靠近点C的三等分点，则下列结论：①；②；③垂直平分；④，其中正确是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
10．（2025八下·茂南期中）如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到的位置，，，，，平移距离为4，求阴影部分的面积为（　　）
A．20 B．24 C．25 D．26
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（2025八下·茂南期中）使式子有意义，则x的取值范围为 　 　．
12．（2025八下·茂南期中）如图，在和中，，根据　 　（填判定方法的简称）可以知道．
13．（2025八下·茂南期中）已知x+y＝6，xy＝7，则x2y+xy2的值是　 　.
14．（2025八下·茂南期中）如图，四盏灯笼，，，的坐标分别是，，，，要使四盏灯笼组成的图形关于轴对称，只需把灯笼向右平移　 　个单位．
15．（2025八下·茂南期中）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，把直线AB绕点B顺时针旋转30°交x轴于点C，则线段AC长为　 　．
三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题6分，第17题7分，第18题8分，共21分）
16．（2025八下·茂南期中）解不等式：；并把不等式的解集在数轴上表示出来．
17．（2025八下·茂南期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，请解答下列问题：
（1）若经过平移后得到，已知点的坐标为，作出；
（2）将绕点O按顺时针方向旋转得到，作出；
（3）若将绕某一点旋转可得到，直接写出旋转中心的坐标．
18．（2025八下·茂南期中）（1）若多项式因式分解的结果为，求m，n的值．
（2）通过计算说明能否被98整除．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19．（2025八下·茂南期中）如图，有一直角三角形，，，，线段，、两点分别在上和过点且垂直于的射线上运动，问点运动到上什么位置时才能和全等？
20．（2025八下·茂南期中）对于任意实数a，b，定义关于@的一种运算如下：，例如，．
（1）若，求x的取值范围．
（2）若不等式组的解集为，求m的取值范围．
21．（2025八下·茂南期中）如图，，点是的中点．平分．
（1）求证：是的平分线；
（2）已知，，求四边形的面积．
五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）．
22．（2025八下·茂南期中）实验学校体育中心为鼓励师生加强体育锻炼，准备购买10副某种的羽毛球拍，每副球拍配x（）筒羽毛球，供师生免费借用．A、B两家超市都有这种羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为400元，每筒羽毛球的标价均为20元，目前两家超市同时在做促销活动：
A超市：所有商品均打九折销售；
B超市：买一副羽毛球拍送3筒羽毛球．
设在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为（元），在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为（元）．请解答下列问题：
（1）分别写出与x之间的关系式：
（2）若只在一家超市购买，在哪家超市购买更划算？
（3）若每副球拍配20筒羽毛球，请你帮助体育中心设计出最省钱的购买方案．
23．（2025八下·茂南期中）阅读思考并完成下列各个问题：
如图1，和都是等腰直角三角形，，，的顶点A在的斜边上．求证：
（1）小明同学看到题目后，马上想到在等腰直角，中，通过勾股定理可以得到，于是她想通过全等将线段和转化到一个直角三角形中，便连接了，如图2，证明了，得到，并证明了请你写出的三个条件：_______；
（2）小华同学又在《资源评价》中看到了这样一道题：如图3，是等腰直角三角形，，，，且的两边分别交斜边于点D和点E．求证：；
小华同学给出了图4的构造方法，证明了上述结论．请你说明小华同学辅助线的作法并给出完整的证明！
（3）小朱同学在课外资料中看到这样一道题：如图5，平面直角坐标系中，等腰直角的斜边在x轴上，，，，你能利用（2）中的结论求出点C的坐标吗？若能，请写出求解过程．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】根据中心对称图形的概念可得：A选项不是中心对称图形．
故答案为：A．
【分析】根据中心对称图形的定义逐项进行判断，即可得出答案。
2．【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、不等式的两边都加9，不等号的方向不变，故A成立；
B、不等式的两边都减5，不等号的方向不变，故B不成立；
C、不等式的两边都乘以负数，不等号的方向改变，故C成立；
D、不等式的两条边都乘以正数，不等号的方向不变，故D成立；
故答案为：B．
【分析】根据不等式的性质逐项进行判断即可得出答案。
3．【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明“一个三角形中不能有两个角是直角”，应先假设这个三角形中有两个角是直角．故选A．
【分析】熟记反证法的步骤，然后进行判断．
4．【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】A、，不是因式分解，故不符合题意；
B、，属于整式的乘除，故不符合题意；
C、是因式分解，故符合题意；
D、不属于因式分解，故不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据因式分解而定义，逐项进行判断即可得出答案。
5．【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵点A（1，3）先向左平移3个单位后，再将它向上平移4个单位，
∴平移后的点的横坐标是1-3=-2，
纵坐标是3+4=7，
∴坐标变为（-2，7）．
故答案为：A．
【分析】根据点坐标平移的特征：左减右加，上加下减求解即可。
6．【答案】D
【知识点】解一元一次不等式；已知一元一次方程的解求参数；解系数含参的一元一次方程
【解析】【解答】解：
移项得：，
合并同类项得：，
∵关于x的方程：的解为负数，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】首先解关于x的方程可得出，进而根据 解为负数， 可得出不等式，解不等式即可。
7．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；线段垂直平分线的判定；尺规作图-作角的平分线；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵在中，，，∴，
由作图可得是的平分线，故A正确，不符合题意；
则，
∴，，即点D在的中垂线上，
∴选项B、C正确，不符合题意；
∵，
∴，
∴，故选项D错误，符合题意，
故答案为：D．
【分析】首先计算出，然后根据作图痕迹判断AD是角平分线。利用等腰三角形判定和30°直角三角形性质可得且。根据线段垂直平分线判定可知点D在AB的中垂线上，进而可逐一分析选项得出正确答案。
8．【答案】B
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵函数和的图像交于点，
∴不等式的解集即为的图像在的图像上方的部分，
∴不等式的解集是，
故答案为：B．
【分析】根据图像可知函数和的图像交于点，观察图像可知，在点P右侧y=kx的图像在直线的图像的下边，即不等式的解集是。
9．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：由折叠可得：，，
∴
∵点D恰好为BC边靠近点C的三等分点，
∴，
∴，
取中点F， 连接，如图，
∵点F是的中点，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴
∴，故①正确；
∴，
由折叠可得：，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，故②正确；
∴
∵
∴
∴DE垂直平分AB，故③正确；
∵，，
∴，
由勾股定理，得，
∴，故④错误；
综上，正确的有①②③．
故答案为：A．
【分析】根据折叠的性质可得出DE=DC=，且∠DEB=90°，进而得出∠B=30°，即①正确；根据AAS可证得，即可得出②正确；由全等三角形的性质可得出，进而根据等腰三角形的性质可得出DE垂直平分AB，即③正确；根据含30°角的直角三角形的性质可出，进而根据勾股定理即可得出BC=AC，进而根据直角三角形面积计算公式即可得出，即可得出④不正确。
10．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形；平移的性质；多边形的面积
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
由平移的性质可得，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据平移的性质可得出，进而根据等式的性质即可得出
11．【答案】x≥2
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：式子有意义，
∴x-2≥0，解得x≥2，
故答案为：x≥2.
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式求解即可。
12．【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】证明：在和中，
∵，
∴．
故答案为：．
【分析】根据直角三角形全等的判定方法可直接得出答案。
13．【答案】42
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵x+y＝6，xy＝7，
∴x2y+xy2
＝xy（x+y）
＝7×6
＝42，
故答案为：42.
【分析】将原式因式分解为xy（x+y），然后代入计算即可.
14．【答案】7
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：根据题意可得灯和灯关于y轴对称，
∴灯A和灯C关于y轴对称，
∵，
∴点A关于y轴对称的点的坐标为
∴
∴要使四盏灯笼组成的图形关于轴对称，只需把灯笼向右平移7个单位长度．
故答案为：7．
【分析】
关于y轴对称的点的坐标规律：纵坐标不变，横坐标互为相反数，则C平移后与A距离y轴相等，即需向右平移7个单位长度．
15．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；旋转的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A，B
令，则；令，则
则A（，0），B（0，）
则△OAB为等腰直角三角形，
过点C作，垂足为D
△ ACD为等腰直角三角形，设CD= AD=x
由旋转的性质可知
解得
故答案为：．
【分析】首先可根据一次函数与坐标轴相交，可得出A（，0），B（0，），进而得出△OAB为等腰直角三角形，进而可根据勾股定理求得，过点C作，垂足为D，可得出△ ACD为等腰直角三角形，设CD= AD=x，可得出，再根据含30°的直角三角形的性质，可得出=，解得，进而即可得出线段AC的长。
16．【答案】解：
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
数轴表示如下所示：
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】首先解不等式，可求出解集，进而在数轴上表示出解集即可。
17．【答案】（1）解：如图所示；
（2）解：如图所示；
（3）
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据点的坐标，可以确定平移后的图形的位置，并据此绘制图形；
（2）将绕点O顺时针旋转，可以得到旋转后的图形；
（3）通过连接两对对应点，并找到它们垂直平分线的交点，可以确定旋转中心的位置。
18．【答案】解：解：（1）∵因式分解的结果为，∴，∴，∴；（2），∴能被98整除．
（1）解：∵因式分解的结果为，
∴，
∴，
∴；
（2）解：
，
∴能被98整除．
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解的应用-简便运算
【解析】【分析】（1）题目给出方程，将右边展开后比较系数即可求出m和n的值。展开过程为：，因此对应系数m=-2，n=-3。
（2）对表达式进行因式分解时，先提取公因数99得到，再利用平方差公式继续分解为，从而证明该数能被100整除。
19．【答案】解：根据三角形全等的判定方法可知：
①当运动到时，
，
在与中，
，即；
②当运动到与点重合时，，
在与中，
，
，即，
当点与点重合时，才能和全等，
综上所述，当点位于的中点处或当点与点重合时，才能和全等．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；三角形-动点问题；分类讨论
【解析】【分析】本题主要考查三角形全等的判定与性质。解题时需要分两种情况进行讨论：当时，根据全等三角形对应边相等可得，由此可确定点的位置。当时，此时，说明点与点重合。在判定三角形全等时，常用的方法有：、、、和。由于题目未明确给出全等三角形的对应关系，因此分类讨论是解决此类问题的关键。
20．【答案】（1）解：∵，
∴，
解得；
（2）解：∵，∴，
∴，
解得，
∵不等式组的解集为，
∴，
∴．
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【分析】（1）根据题目定义的新运算规则，不等式， 可以转化为x-2×2＜1，解这个不等式得到x<5；
（2）根据新运算规则，不等式3@(m x)<5可以展开为3 2(m x)<5。进一步化简得到3 2m+2x<5，整理为2x<2+2m，即x<1+m。题目中给出不等式组的解集为x＜2，这意味着1+m≥2，即m≥1.
（1）解：∵，
∴，
解得；
（2）解：∵，
∴，
∴，
解得，
∵不等式组的解集为，
∴，
∴．
21．【答案】（1）证明：过点作于点，
，平分，
，
点是的中点，
，
，
又，，
平分；
（2）解：，，
，
，，
，，
，
，，
，即，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）首先，从点向边作垂线。根据角平分线的性质，可以得到。又因为是的中点，所以，综合这两点，得出，从而完成证明；
（2）通过证明两个直角三角形全等：①，得到： 角度关系：； 面积关系：②，得到：角度关系：； 面积关系：由此可证得。根据面积关系式，最终得出梯形面积关系：。
（1）证明：过点作于点，
，平分，
，
点是的中点，
，
，
又，，
平分；
（2）解：，，
，
，，
，，
，
，，
，即，
，
．
22．【答案】（1）解：由题意可知，
；
∴在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为；在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为；
（2）解：当时，即，解得，
∴时，去A超市买更划算；
当时，即，
解得，
∴时，去A、B超市买花费一样多；
当时，即，
解得，
∴时，去B超市买更划算；
（3）解：如果选择A超市，那么总费用为：（元），如果选择B超市，那么总费用为：（元），
如果先在B超市购买10副羽毛球拍，然后在A超市购买剩余的羽毛球，那么总费用为：（元），
∵，
∴在B超市购买10副羽毛球拍，然后在A超市购买剩余的羽毛球最省钱．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）针对不同的优惠方案，需要分别建立对应的函数关系式；
（2）比较两种方案的费用时，需考虑三种情况：当时，时，去A超市买更划算；当时，时，去A、B超市买花费一样多；当时，时，去B超市买更划算；（3）在最优方案选择时，需要比较三种购买策略：全部在A超市购买，总费用为：（元），全部在B超市购买，总费用为：（元），在B超市购买球拍，在A超市购买羽毛球总费用为：（元），进而通过比较大小即可得出答案。
（1）解：由题意可知，
；
∴在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为；在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为；
（2）解：当时，即，
解得，
∴时，去A超市买更划算；
当时，即，
解得，
∴时，去A、B超市买花费一样多；
当时，即，
解得，
∴时，去B超市买更划算；
（3）解：如果选择A超市，那么总费用为：（元），
如果选择B超市，那么总费用为：（元），
如果先在B超市购买10副羽毛球拍，然后在A超市购买剩余的羽毛球，那么总费用为：（元），
∵，
∴在B超市购买10副羽毛球拍，然后在A超市购买剩余的羽毛球最省钱．
23．【答案】（1），；
（2）证明：如图所示，过作，使，连，，
，
，
∴，
又，
，，，
，，
，
，
，即，
，
又，
，
，
；
（3）解：如图所示，过作，使，连，，过作于，
，
，，
，
，
，
又，，
，
，，
，，，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在x正半轴上，
，
，，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】点的坐标；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等腰三角形的概念
【解析】【分析】（1）由于△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，其中AC=BC，EC=CD。根据等腰直角三角形的性质，可以推导出∠ACE=∠BCD。然后利用SAS（边角边）全等判定定理，即可证明△ACE≌△BCD；
（2）首先过点A作AF⊥AB，使AF=BE，连接DF和CF。接着证明△CAF≌△CBE，再进一步证明△CDF≌△CDE，从而得出结论；
（3）过点A作AF⊥AB，使AF=BD，连接OF和FC。同时过点C作CW⊥AB于点W。先证明△FAC≌△DBC，再证明△FCO≌△DCO。通过计算求出OF的长度和点D的坐标，进而得出线段AF、DB、AB、CW、OW的长度，最终得到结果。
（1）解：和都是等腰直角三角形，
，，，
，
，
又，，
；
故答案为：，；
（2）证明：如图所示，过作，使，连，，
，
，
∴，
又，
，
，，
，，
，
，
，即，
，
又，
，
，
；
（3）解：如图所示，过作，使，连，，过作于，
，
，，
，
，
，
又，，
，
，，
，，，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在x正半轴上，
，
，，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
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