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广东省 梅州市 五华县 2024-2025 学年下学期七年级期中考试数学卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025七下·五华期中）在同一平面内，两条直线的位置关系可能是（　　）
A．平行或相交 B．垂直或相交 C．垂直或平行 D．以上都不对
2．（2025七下·五华期中）计算，结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025七下·五华期中）如图所示，过点作线段的平行线，下列说法中，正确的是（　　）
A．不能作出 B．只能作出一条
C．能作出两条 D．能作出无数条
4．（2025七下·五华期中）“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚所写五言绝句《苔》，这首咏物诗启示我们身处逆境也要努力绽放自己，要和苔花一样尽自己所能实现人生价值．苔花也被称为“坚韧之花”．袁枚所写的“苔花”很可能是苔类孢子体的苞荫，某孢子体的苞荫直径约为0.0000086m，将数据0.0000086用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025七下·五华期中）乐乐的作业本不小心被撕掉了一部分，留下一道残缺不全的题目，如图所示，请你帮他推测出等号左边被撕掉的内容是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025七下·五华期中）如图，直线a，b相交于点O，如果，那么是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025七下·五华期中）如1图所示是一辆自动变速自行车的实物图，如2图所示是抽象出来的部分示意图，已知直线与相交于点P，，，，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025七下·五华期中）若是完全平方式，则m的值等于（　　）
A．2 B．4或﹣4 C．2或﹣2 D．8或﹣8
9．（2025七下·五华期中）如图，，C点在上，，平分，且．下列结论：
①平分；②；③；④．
其中结论正确的个数有（　　）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
10．（2025七下·五华期中）已知 ，则 的补角是　 　．
11．（2025七下·五华期中）已知，则的值为　 　．
12．（2025七下·五华期中）如图所示的地板由15块方砖组成，每一块方砖除颜色外完全相同，小球自由滚动停在黑砖的概率为　 　．
13．（2025七下·五华期中）如图，点E在的延长线上，在不添加任何辅助线和字母的情况下，添加一个条件　 　，使（填一个即可）．
14．（2025七下·五华期中）为落实劳动素质教育，推动学生劳动实践的有效进行，某校在校园开辟了劳动实践基地．如图是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长分别为m，n的正方形且，其中重叠部分B为池塘，阴影部分，分别表示七年级和八年级的实践活动基地面积．若，，则　 　．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
15．（2025七下·五华期中）计算：．
16．（2025七下·五华期中）某商场今年国庆节期间举行有奖促销活动，凡购买一定金额的商品可参与转盘抽奖．如图，转盘分为“A”“B”“C”“D”四个区域，自由转动转盘，若指针落在字母“B”所在的区域内，则顾客中奖（转到公共线位置时重转）．若某顾客转动1次转盘，求其中奖的概率．
17．（2025七下·五华期中）先化简，再求值：，其中，．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
18．（2025七下·五华期中）在中，是的角平分线．
（1）过点D作，交于点E（尺规作图，保留作图痕迹）；
（2）若，，求的度数．
19．（2025七下·五华期中）如图，某公园内有一块长为，宽为的长方形地块，计划在中间留一块长为、宽为bm的小长方形地块修建一座雕像，然后将阴影部分进行绿化．
（1）求绿化的面积；
（2）若，，绿化成本为110元，则完成绿化共需要多少元？
20．（2025七下·五华期中）已知：整式，，t为任意有理数．
（1）的值可能为负数吗？请说明理由；
（2）请通过计算说明：当t是整数时，的值一定能被32整除．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
21．（2025七下·五华期中）微专题探究学习：《面积与完全平方公式》．
（1）如图1，阴影部分是一个边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形和两个宽为b的长方形之后所剩余的部分．
用两种方式表示阴影部分的面积为__________或__________，由此可以验证的公式为__________．
（2）如图2，，分别表示边长为a，b的正方形的面积，且A，B，C三点在一条直线上，若，，求图中阴影部分的面积．
（3）拓展应用：若，求的值．
22．（2025七下·五华期中）（1）如图1，，，．求度数；
（2）如图2，，点P在射线上运动，当点P在A、B两点之间运动时，，．、、之间有何数量关系？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你写出、、间的数量关系，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】平面中直线位置关系
【解析】【解答】解：在同一平面内，两条直线只有两种位置关系：相交或平行，
故答案为：A．
【分析】利用平面内直线的位置关系分析求解即可.
2．【答案】D
【知识点】积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：，
故答案为：D．
【分析】利用积的乘方（把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘）、幂的乘方（底数不变，指数相乘）的定义及计算方法逐项分析判断即可.
3．【答案】B
【知识点】平行公理
【解析】【解答】解：∵点为线段的外一点，即点在直线外，
又∵过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，
∵过点只能作出一条直线是线段的平行线，
故答案为：．
【分析】根据平行公理，结合题目情景解答即可.
4．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：将数据0.0000086用科学记数法表示为．
故答案为：B．
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：[①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0）].再分析求解即可.
5．【答案】A
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：．
故答案为：A．
【分析】利用多项式除以单项式的计算方法（先用一个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的积相加）分析求解即可.
6．【答案】D
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：由图可得，，
∵，
∴，
故答案为：D．
【分析】利用对顶角的性质可得，再结合，求出∠1的度数即可.
7．【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵，，
，
，，
，
故答案为：C．
【分析】先利用平行线的性质可得，再结合，，利用角的运算求出∠ABP的度数即可.
8．【答案】D
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵是完全平方式，
∴-m=±2×4，
∴m=8或-8。
故答案为：D。
【分析】根据完全平方式的定义即可得出答案。
9．【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵，∴，
∴，，
∵平分，∴，
∴，∴平分，①正确；
∵，∴，∴，②正确；
∵，∴，
∵，∴，
∴，③正确；
∵，∴，
∴，
∵，
∴，④正确；
故选：D．
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，以及三角形外角的性质，由，得到和，由平分及等量代换，可判定①正确；由，可判定②正确；由，得到，求得可判定③正确；由，得到，证得，结合三角形外角性质，即可判定④正确，即可得到答案．
10．【答案】135°
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】∵∠A=45°，
∴∠A的补角等于：180°-45°=135°．
故答案为135°．
【分析】根据补角的定义，可得∠A的补角等于：180°-45°=135°．
11．【答案】27
【知识点】同底数幂的乘法；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：27．
【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法， 根据，得到，再由同底数幂的乘法的运算法则，进行计算，即可得到答案．
12．【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：如图，
∵总面积为15块方砖的面积，黑色方砖有5块，
∴（小球停在黑色方砖）=.
故答案为：.
【分析】根据总面积为15块方砖的面积，黑色方砖有5块，代入概率公式即可得答案.
13．【答案】
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：，
（同旁内角互补，两直线平行），
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】利用平行线的判定定理，可得答案.
14．【答案】60
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：由题意得
，
，
，，
，
，
，
；
故答案：．
【分析】由图得，结合平方差公式即可求出答案.
15．【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；有理数混合运算法则（含乘方）；求有理数的绝对值的方法
【解析】【分析】先利用绝对值的性质、有理数的乘方、0指数幂和负整数指数幂的性质化简，再计算即可.
16．【答案】解：如图，
根据图形得：字母“”所在的区域的圆心角度数为，
∴当转盘停止转动后，指针落在字母“”所在的区域内的概率为：，
∴中奖的概率为．
【知识点】几何概率
【解析】【分析】根据图形得：字母“”所在的区域的圆心角度数为，即可得当转盘停止转动后，指针落在字母“”所在的区域内的概率为75度除以360度即可.
17．【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；多项式除以单项式；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先利用整式的混合运算的计算方法化简可得2x-4y，再将x、y的值代入计算即可.
18．【答案】（1）解：如图，线段即为所求．
；
（2）解：，
是的角平分线，
，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；作图-平行线；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）利用平行线的作图方法和步骤分析求解即可；
（2）先利用角平分线的定义求出，再利用平行线的性质可得．
（1）解：如图，线段即为所求．
；
（2），
是的角平分线，
，
，
．
19．【答案】（1）解：由题意可得：
故绿化的面积为．
（2）解：若，时，
∴（元），
答：完成绿化共需要花费20130元．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；多项式乘多项式；几何图形的面积计算-割补法；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）利用长方形的面积公式及割补法求出阴影部分的面积列出算式，再求解即可；
（2）将a、b的值代入（1）的代数式求出总面积，再利用“总费用=单价×总面积”列出算式求解即可.
（1）解：由题意可得：
故绿化的面积为．
（2）解：若，时，
∴（元），
答：完成绿化共需要花费20130元．
20．【答案】（1）解：不可能，
理由如下： ，
∵ ，
∴ ，
∴原式不可能为负数．
（2）解： ，
∴当t是整数时， 的值一定能被32整除．
【知识点】平方差公式及应用；偶次方的非负性；因式分解的应用-判断整除
【解析】【分析】（1）将代数式，代入计算可得4t2+2，再求解即可；
（2）将代数式，代入可得32t，再求解即可.
（1）解：不可能，理由如下：
，
∵ ，
∴ ，
∴原式不可能为负数．
（2）解： ，
∴当t是整数时， 的值一定能被32整除．
21．【答案】（1），，；
（2）解：如图，补成一个大正方形，进而可以用（1）中的结论；
由图可知：，，；
∵，，
∴，，
∴
即
解得∶，
∴阴影部分的面积为25．
（3）解：令，，
∴，，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】（1）解：图1中阴影部分的可以看做是边长为的正方形，所以面积为；也可以看做大正方的面积减去空白部分的面积的差，即，所以有；
故答案为：，，.
【分析】（1）利用不同的表达式表示图1和图2的阴影部分的面积可得代数式，从而可得等式；
（2）先求出，，，再结合，，可得，再求出，从而得解；
（3）令，，可得，，再将其代入计算即可．
（1）解：图1中阴影部分的可以看做是边长为的正方形，所以面积为；也可以看做大正方的面积减去空白部分的面积的差，即，所以有
；
故答案为：，，；
（2）解：如图，补成一个大正方形，进而可以用（1）中的结论；
由图可知：，，；
∵，，
∴，，
∴
即
解得∶，
∴阴影部分的面积为25．
（3）解：令，，
∴，，
∴．
22．【答案】解：（1）过P作，如图所示：
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴；
（2），理由如下：
如图3，过P作交于E，
∵，
∴，
∴，，
∴；
（3）当P在延长线时，；
理由：如图4，过P作交于E，
∵，
∴，
∴，，
∴；
当P在之间时，．
理由：如图5，过P作交于E，
∵，
∴，
∴，，
∴．
综上所述，，，之间的数量关系为或．
【知识点】角的运算；平行线的应用-求角度；平行公理的推论；分类讨论
【解析】【分析】（1）过P作，再利用平行线的性质可得，，最后利用角的运算求出即可；
（2）过P作交于E，推出，利用平行线的性质得出，，再利用角的运算求解即可；
（3）分类讨论：①点P在的延长线上，②点P在的延长线上，先分别画出图形，再利用平行线的性质得出，，最后利用角的运算求解即可.
1 / 1广东省 梅州市 五华县 2024-2025 学年下学期七年级期中考试数学卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025七下·五华期中）在同一平面内，两条直线的位置关系可能是（　　）
A．平行或相交 B．垂直或相交 C．垂直或平行 D．以上都不对
【答案】A
【知识点】平面中直线位置关系
【解析】【解答】解：在同一平面内，两条直线只有两种位置关系：相交或平行，
故答案为：A．
【分析】利用平面内直线的位置关系分析求解即可.
2．（2025七下·五华期中）计算，结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：，
故答案为：D．
【分析】利用积的乘方（把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘）、幂的乘方（底数不变，指数相乘）的定义及计算方法逐项分析判断即可.
3．（2025七下·五华期中）如图所示，过点作线段的平行线，下列说法中，正确的是（　　）
A．不能作出 B．只能作出一条
C．能作出两条 D．能作出无数条
【答案】B
【知识点】平行公理
【解析】【解答】解：∵点为线段的外一点，即点在直线外，
又∵过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，
∵过点只能作出一条直线是线段的平行线，
故答案为：．
【分析】根据平行公理，结合题目情景解答即可.
4．（2025七下·五华期中）“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚所写五言绝句《苔》，这首咏物诗启示我们身处逆境也要努力绽放自己，要和苔花一样尽自己所能实现人生价值．苔花也被称为“坚韧之花”．袁枚所写的“苔花”很可能是苔类孢子体的苞荫，某孢子体的苞荫直径约为0.0000086m，将数据0.0000086用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：将数据0.0000086用科学记数法表示为．
故答案为：B．
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：[①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0）].再分析求解即可.
5．（2025七下·五华期中）乐乐的作业本不小心被撕掉了一部分，留下一道残缺不全的题目，如图所示，请你帮他推测出等号左边被撕掉的内容是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：．
故答案为：A．
【分析】利用多项式除以单项式的计算方法（先用一个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的积相加）分析求解即可.
6．（2025七下·五华期中）如图，直线a，b相交于点O，如果，那么是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：由图可得，，
∵，
∴，
故答案为：D．
【分析】利用对顶角的性质可得，再结合，求出∠1的度数即可.
7．（2025七下·五华期中）如1图所示是一辆自动变速自行车的实物图，如2图所示是抽象出来的部分示意图，已知直线与相交于点P，，，，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵，，
，
，，
，
故答案为：C．
【分析】先利用平行线的性质可得，再结合，，利用角的运算求出∠ABP的度数即可.
8．（2025七下·五华期中）若是完全平方式，则m的值等于（　　）
A．2 B．4或﹣4 C．2或﹣2 D．8或﹣8
【答案】D
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵是完全平方式，
∴-m=±2×4，
∴m=8或-8。
故答案为：D。
【分析】根据完全平方式的定义即可得出答案。
9．（2025七下·五华期中）如图，，C点在上，，平分，且．下列结论：
①平分；②；③；④．
其中结论正确的个数有（　　）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵，∴，
∴，，
∵平分，∴，
∴，∴平分，①正确；
∵，∴，∴，②正确；
∵，∴，
∵，∴，
∴，③正确；
∵，∴，
∴，
∵，
∴，④正确；
故选：D．
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，以及三角形外角的性质，由，得到和，由平分及等量代换，可判定①正确；由，可判定②正确；由，得到，求得可判定③正确；由，得到，证得，结合三角形外角性质，即可判定④正确，即可得到答案．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
10．（2025七下·五华期中）已知 ，则 的补角是　 　．
【答案】135°
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】∵∠A=45°，
∴∠A的补角等于：180°-45°=135°．
故答案为135°．
【分析】根据补角的定义，可得∠A的补角等于：180°-45°=135°．
11．（2025七下·五华期中）已知，则的值为　 　．
【答案】27
【知识点】同底数幂的乘法；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：27．
【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法， 根据，得到，再由同底数幂的乘法的运算法则，进行计算，即可得到答案．
12．（2025七下·五华期中）如图所示的地板由15块方砖组成，每一块方砖除颜色外完全相同，小球自由滚动停在黑砖的概率为　 　．
【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：如图，
∵总面积为15块方砖的面积，黑色方砖有5块，
∴（小球停在黑色方砖）=.
故答案为：.
【分析】根据总面积为15块方砖的面积，黑色方砖有5块，代入概率公式即可得答案.
13．（2025七下·五华期中）如图，点E在的延长线上，在不添加任何辅助线和字母的情况下，添加一个条件　 　，使（填一个即可）．
【答案】
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：，
（同旁内角互补，两直线平行），
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】利用平行线的判定定理，可得答案.
14．（2025七下·五华期中）为落实劳动素质教育，推动学生劳动实践的有效进行，某校在校园开辟了劳动实践基地．如图是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长分别为m，n的正方形且，其中重叠部分B为池塘，阴影部分，分别表示七年级和八年级的实践活动基地面积．若，，则　 　．
【答案】60
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：由题意得
，
，
，，
，
，
，
；
故答案：．
【分析】由图得，结合平方差公式即可求出答案.
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
15．（2025七下·五华期中）计算：．
【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；有理数混合运算法则（含乘方）；求有理数的绝对值的方法
【解析】【分析】先利用绝对值的性质、有理数的乘方、0指数幂和负整数指数幂的性质化简，再计算即可.
16．（2025七下·五华期中）某商场今年国庆节期间举行有奖促销活动，凡购买一定金额的商品可参与转盘抽奖．如图，转盘分为“A”“B”“C”“D”四个区域，自由转动转盘，若指针落在字母“B”所在的区域内，则顾客中奖（转到公共线位置时重转）．若某顾客转动1次转盘，求其中奖的概率．
【答案】解：如图，
根据图形得：字母“”所在的区域的圆心角度数为，
∴当转盘停止转动后，指针落在字母“”所在的区域内的概率为：，
∴中奖的概率为．
【知识点】几何概率
【解析】【分析】根据图形得：字母“”所在的区域的圆心角度数为，即可得当转盘停止转动后，指针落在字母“”所在的区域内的概率为75度除以360度即可.
17．（2025七下·五华期中）先化简，再求值：，其中，．
【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；多项式除以单项式；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先利用整式的混合运算的计算方法化简可得2x-4y，再将x、y的值代入计算即可.
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
18．（2025七下·五华期中）在中，是的角平分线．
（1）过点D作，交于点E（尺规作图，保留作图痕迹）；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）解：如图，线段即为所求．
；
（2）解：，
是的角平分线，
，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；作图-平行线；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）利用平行线的作图方法和步骤分析求解即可；
（2）先利用角平分线的定义求出，再利用平行线的性质可得．
（1）解：如图，线段即为所求．
；
（2），
是的角平分线，
，
，
．
19．（2025七下·五华期中）如图，某公园内有一块长为，宽为的长方形地块，计划在中间留一块长为、宽为bm的小长方形地块修建一座雕像，然后将阴影部分进行绿化．
（1）求绿化的面积；
（2）若，，绿化成本为110元，则完成绿化共需要多少元？
【答案】（1）解：由题意可得：
故绿化的面积为．
（2）解：若，时，
∴（元），
答：完成绿化共需要花费20130元．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；多项式乘多项式；几何图形的面积计算-割补法；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）利用长方形的面积公式及割补法求出阴影部分的面积列出算式，再求解即可；
（2）将a、b的值代入（1）的代数式求出总面积，再利用“总费用=单价×总面积”列出算式求解即可.
（1）解：由题意可得：
故绿化的面积为．
（2）解：若，时，
∴（元），
答：完成绿化共需要花费20130元．
20．（2025七下·五华期中）已知：整式，，t为任意有理数．
（1）的值可能为负数吗？请说明理由；
（2）请通过计算说明：当t是整数时，的值一定能被32整除．
【答案】（1）解：不可能，
理由如下： ，
∵ ，
∴ ，
∴原式不可能为负数．
（2）解： ，
∴当t是整数时， 的值一定能被32整除．
【知识点】平方差公式及应用；偶次方的非负性；因式分解的应用-判断整除
【解析】【分析】（1）将代数式，代入计算可得4t2+2，再求解即可；
（2）将代数式，代入可得32t，再求解即可.
（1）解：不可能，理由如下：
，
∵ ，
∴ ，
∴原式不可能为负数．
（2）解： ，
∴当t是整数时， 的值一定能被32整除．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
21．（2025七下·五华期中）微专题探究学习：《面积与完全平方公式》．
（1）如图1，阴影部分是一个边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形和两个宽为b的长方形之后所剩余的部分．
用两种方式表示阴影部分的面积为__________或__________，由此可以验证的公式为__________．
（2）如图2，，分别表示边长为a，b的正方形的面积，且A，B，C三点在一条直线上，若，，求图中阴影部分的面积．
（3）拓展应用：若，求的值．
【答案】（1），，；
（2）解：如图，补成一个大正方形，进而可以用（1）中的结论；
由图可知：，，；
∵，，
∴，，
∴
即
解得∶，
∴阴影部分的面积为25．
（3）解：令，，
∴，，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】（1）解：图1中阴影部分的可以看做是边长为的正方形，所以面积为；也可以看做大正方的面积减去空白部分的面积的差，即，所以有；
故答案为：，，.
【分析】（1）利用不同的表达式表示图1和图2的阴影部分的面积可得代数式，从而可得等式；
（2）先求出，，，再结合，，可得，再求出，从而得解；
（3）令，，可得，，再将其代入计算即可．
（1）解：图1中阴影部分的可以看做是边长为的正方形，所以面积为；也可以看做大正方的面积减去空白部分的面积的差，即，所以有
；
故答案为：，，；
（2）解：如图，补成一个大正方形，进而可以用（1）中的结论；
由图可知：，，；
∵，，
∴，，
∴
即
解得∶，
∴阴影部分的面积为25．
（3）解：令，，
∴，，
∴．
22．（2025七下·五华期中）（1）如图1，，，．求度数；
（2）如图2，，点P在射线上运动，当点P在A、B两点之间运动时，，．、、之间有何数量关系？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你写出、、间的数量关系，并说明理由．
【答案】解：（1）过P作，如图所示：
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴；
（2），理由如下：
如图3，过P作交于E，
∵，
∴，
∴，，
∴；
（3）当P在延长线时，；
理由：如图4，过P作交于E，
∵，
∴，
∴，，
∴；
当P在之间时，．
理由：如图5，过P作交于E，
∵，
∴，
∴，，
∴．
综上所述，，，之间的数量关系为或．
【知识点】角的运算；平行线的应用-求角度；平行公理的推论；分类讨论
【解析】【分析】（1）过P作，再利用平行线的性质可得，，最后利用角的运算求出即可；
（2）过P作交于E，推出，利用平行线的性质得出，，再利用角的运算求解即可；
（3）分类讨论：①点P在的延长线上，②点P在的延长线上，先分别画出图形，再利用平行线的性质得出，，最后利用角的运算求解即可.
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