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广东省惠州市博罗县2024-2025学年七年级下学期5月期中数学试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025七下·博罗期中）在实数，，，中，无理数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：、是有理数，不符合题意；
、是整数，属于有理数，不符合题意；
、是无理数，符合题意；
、是有理数，不符合题意；
故答案为：．
【分析】利用无理数的定义（无限不循环小数称为无理数）逐个分析判断求解即可.
2．（2025七下·博罗期中）下列等式成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；求算术平方根
【解析】【解答】解：A.=2，故A错误.
B.=4，故B错误.
C.，故C错误.
D.，故D正确.
故答案为：D．
【分析】根据算术平方根的定义化得=2，=4，，即可答案.
3．（2025七下·博罗期中）点在平面直角坐标系中所在的象限是 （　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：，且，，
在第二象限，
故答案为：B．
【分析】根据点坐标与象限的特征即可解答.
4．（2025七下·博罗期中）下列命题是真命题的是（　　）
A．对顶角相等 B．内错角相等
C．相等的角是对顶角 D．相等的角是内错角
【答案】A
【知识点】对顶角及其性质；内错角的概念；真命题与假命题
【解析】【解答】A. ∵对顶角相等，故是真命题；
B. ∵两直线平行，内错角相等，故是假命题；
C. ∵相等的角不一定是对顶角，故是假命题；
D. ∵相等的角不一定是内错角，故是假命题；
故答案为：A.
【分析】A为对顶角的性质，B成立的前提是两直线平行，C、D都不一定成立。
5．（2025七下·博罗期中）若是关于x、y的二元一次方程ax-3y=1的解，则a的值为（　　）
A．-5 B．-1 C．2 D．7
【答案】D
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【分析】根据题意得，只要把代入ax-3y=1中，即可求出a的值．
【解答】把代入ax-3y=1中，
∴a-3×2=1，
a=1+6=7，
故选：D，
【点评】此题主要考查了二元一次方程的解，做题的关键是正确了解二元一次方程的解的定义．
6．（2025七下·博罗期中）二元一次方程组 的解是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
①-②，得：y=3，
将y=3代入①，得：x+6=6，
解得x=0，
∴方程组的解
故答案为：D．
【分析】利用加减消元法求解可得
7．（2025七下·博罗期中）如图，直线a，b被直线c所截，且，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】对顶角及其性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：C．
【分析】先利用对顶角的性质可得，再利用平行线的性质可得，从而得解.
8．（2025七下·博罗期中）点向上平移个单位，再向左平移个单位到点，则点坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：由点向上平移个单位，再向左平移个单位到点，
则点的坐标为，即，
故答案为：．
【分析】利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）分析求解即可.
9．（2025七下·博罗期中）若 ，则估计 的值所在的范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解： ，
，即 ，
，即 ，
，
，
故答案为：A.
【分析】在6和7之间，从而可得到m的取值范围。
10．（2025七下·博罗期中）如图，轮船航行到B处观测小岛A的方向是北偏西32°，那么小岛A观测到轮船B的方向是(　　)
A．南偏西32 ° B．南偏东32° C．南偏西58° D．南偏东58°
【答案】B
【知识点】方位角
【解析】【解答】解：如图，
根据平行线的性质：，
∴小岛观测到轮船的方向是南偏东32°．
故答案为：B.
【分析】根据题目情景，结合根据平行线的性质求出，再根据方位角的知识即可得答案.
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．（2025七下·博罗期中）比较2和 大小：2　 　 (填“＞”、“＜”或“=”)．
【答案】>
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵2= ，
∴2> ，
故答案为：>．
【分析】利用平方法比较2与 的大小，进一步即可求解．
12．（2025七下·博罗期中）若点A的坐标是，则它到y轴的距离是　 　．
【答案】2
【知识点】点的坐标；点到直线的距离
【解析】【解答】解：若点A的坐标是，则它到y轴的距离是，
故答案为：2．
【分析】利用点坐标的定义并结合点A的坐标求出答案即可.
13．（2025七下·博罗期中）把命题“等角的补角相等”改写成“如果……，那么……”的形式：　 　
【答案】如果两个角相等，那么这两个角的补角相等
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念；补角
【解析】【解答】解：命题“等角的补角相等”改写成“如果……，那么……”的形式为：如果两个角相等，那么这两个角的补角相等；
故答案为：如果两个角相等，那么这两个角的补角相等；
【分析】命题是由两部分：题设（已知事项即如果……）和结论（由已知事项推出的事项即那么……）；此题的题设是两个角相等，结论是这两个角的补角相等，然后写成“如果……，那么……”的形式即可.
14．（2025七下·博罗期中）将一个直角三角板和一把长方形直尺按如图放置，若，则的度数是　 　．
【答案】
【知识点】平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：过C作，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴．
故答案为：．
【分析】过C作，先证出，利用平行线的性质可得，，最后利用角的运算求出即可．
15．（2025七下·博罗期中）如图，正方形ABCD的面积为3，点A在数轴上，且表示的数为－2，以点A为圆心，AB长为半径画弧，与数轴交于点E（点E在点A的右侧），则点E所表示的数为　 　．
【答案】
【知识点】实数在数轴上表示
【解析】【解答】解：∵正方形的面积为3，∴AB为；
∵以A点为圆心，AB为半径，和数轴交于E点，∴AE=AB=；
∵A点表示的数为-2，
∴OA=2
∴OE=OA-AE=2-，
∵点E在负半轴上，∴点E所表示的数为-（2-）=-2，
故答案为：-2．
【分析】先根据正方形的面积求出正方形的边长为，得到AB=AE=，这样可以推出OE的长度；再根据A点坐标，结合数轴上的线段关系，注意正负号问题，推出E点坐标即可。
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16．（2025七下·博罗期中）计算：；
【答案】解：
．
【知识点】实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】先利用有理数的乘方、算术平方根、立方根和绝对值的性质化简，再计算即可.
17．（2025七下·博罗期中）解方程组：．
【答案】解：，得，
∴，④
，得，
，得，
，得，
∴原方程组的解为．
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【分析】利用三元一次方程组的计算方法和步骤分析求解即可.
18．（2025七下·博罗期中）如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1＝∠2，求证：AB∥CD．
【答案】证明：如图，
设BC与AE、GF分别交于点M、N.
∵AE⊥BC，FG⊥BC，
∴∠AMB=∠GNB=90°，
∴AE∥FG，
∴∠A=∠1，
又∵∠2=∠1，
∴∠A=∠2，
∴AB∥CD．
【知识点】平行线的判定；平行线的性质；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】设BC与AE、GF分别交于点M、N，根据AE⊥BC，FG⊥BC可得AE∥FG，再根据两直线平行性质得A=∠2，再根据平行线判断定理可得AB∥CD．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．（2025七下·博罗期中）如图，在边长均为1个单位的正方形网格图中，建立了直角坐标系，按要求解答下列问题：
（1）写出三个顶点的坐标；
（2）画出向右平移6个单位，再向下平移2个单位后的图形；
（3）求的面积．
【答案】（1）解：由图可知：，，．
（2）解：如图，为所作；
（3）解：的面积．
【知识点】点的坐标；三角形的面积；作图﹣平移
【解析】【分析】（1）根据平面直角坐标系中，点A、B、C的位置，结合坐标的写法，直接得出点A、B、C的坐标，得到答案；
（2）根据 向右平移6个单位，再向下平移2个单位 ，利用点平移的坐标特征，得到、、的坐标，顺次连接、、，即可得到答案；
（3）根据图形，利用长方形和三角形的面积公式，结合用一个长方形的面积分别减去三个直角三角形的面积，计算求得的面积，得到答案．
20．（2025七下·博罗期中）在五一期间，小明、小亮等同学随家长一同到某公园游玩，下面是购买门票时，小明与他爸爸的对话（如图），试根据图中的信息，解答下列问题：
（1）小明他们一共去了几个成人，几个学生？
（2）请你帮助小明算一算，用哪种方式购票更省钱？并说明理由．
【答案】（1）解：设成人人数为，则学生人数为，
根据题意得：，
解得：，
．
答：小明他们一共去了8个成人，4个学生．
（2）解：如果买团体票，按16人计算，共需费用：（元），
，
购团体票更省钱．
答：购团体票更省钱．
【知识点】有理数混合运算的实际应用；一元一次方程的实际应用-盈亏问题
【解析】【分析】（1）设成人人数为，则学生人数为，利用“共需350元”列出方程，再求解即可；
（2）先分别求出两种方案的费用，再比较大小即可.
（1）解：设成人人数为，则学生人数为，
根据题意得：，
解得：，
．
答：小明他们一共去了8个成人，4个学生．
（2）如果买团体票，按16人计算，共需费用：（元），
，
购团体票更省钱．
答：购团体票更省钱．
21．（2025七下·博罗期中）阅读下列材料，并解决问题
我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人惊奇，忙问计算奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出结果的吗？
∵，，
∴是两位数，
∵的个位数是9
∴的个位数是9，
如果划去后面的三位得到数，而，，由此确定的十位数是3，
所以．
请你应用以上方法计算的立方根（要求写出解答过程）．
【答案】解：∵，，
∴是两位数，
∵的个位数是，
∴的个位数是，
如果划去后面的三位得到数，
而，，由此确定的十位数是，
∴，即的立方根是．
【知识点】立方根的概念与表示；开立方（求立方根）
【解析】【分析】参照题干中的定义及计算方法和立方根的计算方法求解即可.
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22．（2025七下·博罗期中）问题情境：我们知道，“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”，所以在某些探究性问题中通过“构造平行线”可以起到转化的作用．已知三角板中，，，，长方形中，．
（1）问题初探：如图(1)，若将三角板的顶点放在长方形的边上，与相交于点，于点，求的度数．
分析：过点作．则有，从而得，，从而可以求得的度数．由分析得，请你直接写出：的度数为______，的度数为______．
（2）类比再探：若将三角板按图所示方式摆放与不垂直，请你猜想写与的数量关系，并说明理由．
（3）请你总结，解决问题的思路，在图中探究与的数量关系？并说明理由．
【答案】（1）；.
（2）解：与的数量关系为：，理由：
如图，
过作，则，
，，
，
，
.
（3）解：与的数量关系是，理由如下：
如图，
过作，则，
，
，
，
．
【知识点】角的运算；平行线的性质；平行线的应用-求角度；平行公理
【解析】【解答】解：（1）如图1，
由题可得：，.
故答案为：；.
【分析】（1）根据直角三角板中的两个锐角互余，结合题目分析即可求解得答案.
（2）过作，可得相等，再根据平行线的性质可得相等，进而根据的和等于的和，都等于，根据即可得结论.
（3）过作，则相等，根据平行线的性质可得相等，观察图形发现，等于，等于，根据的度数即可求解．
（1）由题可得，，
；
故答案为：，；
（2），理由：
证明：如图，
过作，则，
，，
，
，
；
（3），理由：
证明：如图，
过作，则，
，
，
，
．
23．（2025七下·博罗期中）已知的三个顶点位置分别是，，．
（1）若，，求的面积；
（2）如图，若顶点位于第二象限，且轴，与轴相交于点，当沿轴正半轴方向平移，得到，且与原重叠部分为，求阴影部分的面积；
（3）若点到轴的距离为4，点，当，求点的坐标．
【答案】（1）解：，，，
∴，
的面积为；
（2）解：，，
，
∵，
是等腰直角三角形，
∴，
轴，
∴，，
∴，
是等腰直角三角形，
，，
，，
∵沿轴正半轴方向平移，得到，且与原重叠部分为，
∴；
（3）解：由题意得，，
∵ 点到轴的距离为4，
∴当在轴的左侧时，设，
∴，
解得：，
∴或；
当在轴的右侧时，设，
∴，
解得：，
∴或；
综上所述，或或或．
【知识点】坐标与图形性质；三角形的面积；平移的性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）根据A，B，C的坐标得，然后利用三角形的面积公式即可求解；
（2）根据点A，E的坐标得，从而得是等腰直角三角形，进而结合平行线的性质得，，于是有是等腰直角三角形，然后由点A，B坐标得，，最后根据梯形的面积公式即可求出的值；
（3）根据题意得，然后进行分类讨论：当在轴的左侧时，设，当在轴的右侧时，设，根据三角形的面积公式列方程即可求解．
（1）解：，，，
的面积；
（2）解：，，
，
是等腰直角三角形，
轴，
是等腰直角三角形，
，
，
；
（3）解：由题意得，，
当在轴的左侧时，设，
，
解得：，
此时，或；
当在轴的右侧时，设，
，
解得：，
此时，或；
综上所述，或或或．
1 / 1广东省惠州市博罗县2024-2025学年七年级下学期5月期中数学试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025七下·博罗期中）在实数，，，中，无理数是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025七下·博罗期中）下列等式成立的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025七下·博罗期中）点在平面直角坐标系中所在的象限是 （　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（2025七下·博罗期中）下列命题是真命题的是（　　）
A．对顶角相等 B．内错角相等
C．相等的角是对顶角 D．相等的角是内错角
5．（2025七下·博罗期中）若是关于x、y的二元一次方程ax-3y=1的解，则a的值为（　　）
A．-5 B．-1 C．2 D．7
6．（2025七下·博罗期中）二元一次方程组 的解是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025七下·博罗期中）如图，直线a，b被直线c所截，且，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025七下·博罗期中）点向上平移个单位，再向左平移个单位到点，则点坐标是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025七下·博罗期中）若 ，则估计 的值所在的范围是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025七下·博罗期中）如图，轮船航行到B处观测小岛A的方向是北偏西32°，那么小岛A观测到轮船B的方向是(　　)
A．南偏西32 ° B．南偏东32° C．南偏西58° D．南偏东58°
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．（2025七下·博罗期中）比较2和 大小：2　 　 (填“＞”、“＜”或“=”)．
12．（2025七下·博罗期中）若点A的坐标是，则它到y轴的距离是　 　．
13．（2025七下·博罗期中）把命题“等角的补角相等”改写成“如果……，那么……”的形式：　 　
14．（2025七下·博罗期中）将一个直角三角板和一把长方形直尺按如图放置，若，则的度数是　 　．
15．（2025七下·博罗期中）如图，正方形ABCD的面积为3，点A在数轴上，且表示的数为－2，以点A为圆心，AB长为半径画弧，与数轴交于点E（点E在点A的右侧），则点E所表示的数为　 　．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16．（2025七下·博罗期中）计算：；
17．（2025七下·博罗期中）解方程组：．
18．（2025七下·博罗期中）如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1＝∠2，求证：AB∥CD．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．（2025七下·博罗期中）如图，在边长均为1个单位的正方形网格图中，建立了直角坐标系，按要求解答下列问题：
（1）写出三个顶点的坐标；
（2）画出向右平移6个单位，再向下平移2个单位后的图形；
（3）求的面积．
20．（2025七下·博罗期中）在五一期间，小明、小亮等同学随家长一同到某公园游玩，下面是购买门票时，小明与他爸爸的对话（如图），试根据图中的信息，解答下列问题：
（1）小明他们一共去了几个成人，几个学生？
（2）请你帮助小明算一算，用哪种方式购票更省钱？并说明理由．
21．（2025七下·博罗期中）阅读下列材料，并解决问题
我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人惊奇，忙问计算奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出结果的吗？
∵，，
∴是两位数，
∵的个位数是9
∴的个位数是9，
如果划去后面的三位得到数，而，，由此确定的十位数是3，
所以．
请你应用以上方法计算的立方根（要求写出解答过程）．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22．（2025七下·博罗期中）问题情境：我们知道，“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”，所以在某些探究性问题中通过“构造平行线”可以起到转化的作用．已知三角板中，，，，长方形中，．
（1）问题初探：如图(1)，若将三角板的顶点放在长方形的边上，与相交于点，于点，求的度数．
分析：过点作．则有，从而得，，从而可以求得的度数．由分析得，请你直接写出：的度数为______，的度数为______．
（2）类比再探：若将三角板按图所示方式摆放与不垂直，请你猜想写与的数量关系，并说明理由．
（3）请你总结，解决问题的思路，在图中探究与的数量关系？并说明理由．
23．（2025七下·博罗期中）已知的三个顶点位置分别是，，．
（1）若，，求的面积；
（2）如图，若顶点位于第二象限，且轴，与轴相交于点，当沿轴正半轴方向平移，得到，且与原重叠部分为，求阴影部分的面积；
（3）若点到轴的距离为4，点，当，求点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：、是有理数，不符合题意；
、是整数，属于有理数，不符合题意；
、是无理数，符合题意；
、是有理数，不符合题意；
故答案为：．
【分析】利用无理数的定义（无限不循环小数称为无理数）逐个分析判断求解即可.
2．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；求算术平方根
【解析】【解答】解：A.=2，故A错误.
B.=4，故B错误.
C.，故C错误.
D.，故D正确.
故答案为：D．
【分析】根据算术平方根的定义化得=2，=4，，即可答案.
3．【答案】B
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：，且，，
在第二象限，
故答案为：B．
【分析】根据点坐标与象限的特征即可解答.
4．【答案】A
【知识点】对顶角及其性质；内错角的概念；真命题与假命题
【解析】【解答】A. ∵对顶角相等，故是真命题；
B. ∵两直线平行，内错角相等，故是假命题；
C. ∵相等的角不一定是对顶角，故是假命题；
D. ∵相等的角不一定是内错角，故是假命题；
故答案为：A.
【分析】A为对顶角的性质，B成立的前提是两直线平行，C、D都不一定成立。
5．【答案】D
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【分析】根据题意得，只要把代入ax-3y=1中，即可求出a的值．
【解答】把代入ax-3y=1中，
∴a-3×2=1，
a=1+6=7，
故选：D，
【点评】此题主要考查了二元一次方程的解，做题的关键是正确了解二元一次方程的解的定义．
6．【答案】D
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
①-②，得：y=3，
将y=3代入①，得：x+6=6，
解得x=0，
∴方程组的解
故答案为：D．
【分析】利用加减消元法求解可得
7．【答案】C
【知识点】对顶角及其性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：C．
【分析】先利用对顶角的性质可得，再利用平行线的性质可得，从而得解.
8．【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：由点向上平移个单位，再向左平移个单位到点，
则点的坐标为，即，
故答案为：．
【分析】利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）分析求解即可.
9．【答案】A
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解： ，
，即 ，
，即 ，
，
，
故答案为：A.
【分析】在6和7之间，从而可得到m的取值范围。
10．【答案】B
【知识点】方位角
【解析】【解答】解：如图，
根据平行线的性质：，
∴小岛观测到轮船的方向是南偏东32°．
故答案为：B.
【分析】根据题目情景，结合根据平行线的性质求出，再根据方位角的知识即可得答案.
11．【答案】>
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵2= ，
∴2> ，
故答案为：>．
【分析】利用平方法比较2与 的大小，进一步即可求解．
12．【答案】2
【知识点】点的坐标；点到直线的距离
【解析】【解答】解：若点A的坐标是，则它到y轴的距离是，
故答案为：2．
【分析】利用点坐标的定义并结合点A的坐标求出答案即可.
13．【答案】如果两个角相等，那么这两个角的补角相等
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念；补角
【解析】【解答】解：命题“等角的补角相等”改写成“如果……，那么……”的形式为：如果两个角相等，那么这两个角的补角相等；
故答案为：如果两个角相等，那么这两个角的补角相等；
【分析】命题是由两部分：题设（已知事项即如果……）和结论（由已知事项推出的事项即那么……）；此题的题设是两个角相等，结论是这两个角的补角相等，然后写成“如果……，那么……”的形式即可.
14．【答案】
【知识点】平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：过C作，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴．
故答案为：．
【分析】过C作，先证出，利用平行线的性质可得，，最后利用角的运算求出即可．
15．【答案】
【知识点】实数在数轴上表示
【解析】【解答】解：∵正方形的面积为3，∴AB为；
∵以A点为圆心，AB为半径，和数轴交于E点，∴AE=AB=；
∵A点表示的数为-2，
∴OA=2
∴OE=OA-AE=2-，
∵点E在负半轴上，∴点E所表示的数为-（2-）=-2，
故答案为：-2．
【分析】先根据正方形的面积求出正方形的边长为，得到AB=AE=，这样可以推出OE的长度；再根据A点坐标，结合数轴上的线段关系，注意正负号问题，推出E点坐标即可。
16．【答案】解：
．
【知识点】实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】先利用有理数的乘方、算术平方根、立方根和绝对值的性质化简，再计算即可.
17．【答案】解：，得，
∴，④
，得，
，得，
，得，
∴原方程组的解为．
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【分析】利用三元一次方程组的计算方法和步骤分析求解即可.
18．【答案】证明：如图，
设BC与AE、GF分别交于点M、N.
∵AE⊥BC，FG⊥BC，
∴∠AMB=∠GNB=90°，
∴AE∥FG，
∴∠A=∠1，
又∵∠2=∠1，
∴∠A=∠2，
∴AB∥CD．
【知识点】平行线的判定；平行线的性质；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】设BC与AE、GF分别交于点M、N，根据AE⊥BC，FG⊥BC可得AE∥FG，再根据两直线平行性质得A=∠2，再根据平行线判断定理可得AB∥CD．
19．【答案】（1）解：由图可知：，，．
（2）解：如图，为所作；
（3）解：的面积．
【知识点】点的坐标；三角形的面积；作图﹣平移
【解析】【分析】（1）根据平面直角坐标系中，点A、B、C的位置，结合坐标的写法，直接得出点A、B、C的坐标，得到答案；
（2）根据 向右平移6个单位，再向下平移2个单位 ，利用点平移的坐标特征，得到、、的坐标，顺次连接、、，即可得到答案；
（3）根据图形，利用长方形和三角形的面积公式，结合用一个长方形的面积分别减去三个直角三角形的面积，计算求得的面积，得到答案．
20．【答案】（1）解：设成人人数为，则学生人数为，
根据题意得：，
解得：，
．
答：小明他们一共去了8个成人，4个学生．
（2）解：如果买团体票，按16人计算，共需费用：（元），
，
购团体票更省钱．
答：购团体票更省钱．
【知识点】有理数混合运算的实际应用；一元一次方程的实际应用-盈亏问题
【解析】【分析】（1）设成人人数为，则学生人数为，利用“共需350元”列出方程，再求解即可；
（2）先分别求出两种方案的费用，再比较大小即可.
（1）解：设成人人数为，则学生人数为，
根据题意得：，
解得：，
．
答：小明他们一共去了8个成人，4个学生．
（2）如果买团体票，按16人计算，共需费用：（元），
，
购团体票更省钱．
答：购团体票更省钱．
21．【答案】解：∵，，
∴是两位数，
∵的个位数是，
∴的个位数是，
如果划去后面的三位得到数，
而，，由此确定的十位数是，
∴，即的立方根是．
【知识点】立方根的概念与表示；开立方（求立方根）
【解析】【分析】参照题干中的定义及计算方法和立方根的计算方法求解即可.
22．【答案】（1）；.
（2）解：与的数量关系为：，理由：
如图，
过作，则，
，，
，
，
.
（3）解：与的数量关系是，理由如下：
如图，
过作，则，
，
，
，
．
【知识点】角的运算；平行线的性质；平行线的应用-求角度；平行公理
【解析】【解答】解：（1）如图1，
由题可得：，.
故答案为：；.
【分析】（1）根据直角三角板中的两个锐角互余，结合题目分析即可求解得答案.
（2）过作，可得相等，再根据平行线的性质可得相等，进而根据的和等于的和，都等于，根据即可得结论.
（3）过作，则相等，根据平行线的性质可得相等，观察图形发现，等于，等于，根据的度数即可求解．
（1）由题可得，，
；
故答案为：，；
（2），理由：
证明：如图，
过作，则，
，，
，
，
；
（3），理由：
证明：如图，
过作，则，
，
，
，
．
23．【答案】（1）解：，，，
∴，
的面积为；
（2）解：，，
，
∵，
是等腰直角三角形，
∴，
轴，
∴，，
∴，
是等腰直角三角形，
，，
，，
∵沿轴正半轴方向平移，得到，且与原重叠部分为，
∴；
（3）解：由题意得，，
∵ 点到轴的距离为4，
∴当在轴的左侧时，设，
∴，
解得：，
∴或；
当在轴的右侧时，设，
∴，
解得：，
∴或；
综上所述，或或或．
【知识点】坐标与图形性质；三角形的面积；平移的性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）根据A，B，C的坐标得，然后利用三角形的面积公式即可求解；
（2）根据点A，E的坐标得，从而得是等腰直角三角形，进而结合平行线的性质得，，于是有是等腰直角三角形，然后由点A，B坐标得，，最后根据梯形的面积公式即可求出的值；
（3）根据题意得，然后进行分类讨论：当在轴的左侧时，设，当在轴的右侧时，设，根据三角形的面积公式列方程即可求解．
（1）解：，，，
的面积；
（2）解：，，
，
是等腰直角三角形，
轴，
是等腰直角三角形，
，
，
；
（3）解：由题意得，，
当在轴的左侧时，设，
，
解得：，
此时，或；
当在轴的右侧时，设，
，
解得：，
此时，或；
综上所述，或或或．
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