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21.3.3 正方形
课时1 正方形的性质
基础巩固练
知识点 正方形的性质
1.如图，在正方形ABCD中，点 E 是对角线上一点,连接AE,CE,若DE=AB,则∠AEC 的度数为 ( )
A.105° B.120°
C.135° D.150°
2.新情境科技改变生活，科技的发展提升了我们的生活品质.如图，这是某公司生产的正方形玻璃清理机器人，当机器人到达玻璃窗的边沿清理时，机器人的顶点A，D分别在玻璃框EF,EG上,玻璃窗的顶角∠E=90°,EA=5cm,∠EDA=30°.机器人的型号和相关数据如下，可知此次参与清理的机器人的型号为 ( )
型号 5001 5030 5075 6010
对角线长 10cm 10 cm 15cm 15 cm
A.5001 B.5030
C.5075 D.6010
3.如图,E,F 分别是正方形 ABCD 的边AD,CD上的点,且OE⊥OF,已知AD=6,则图中阴影部分的面积是 .
4.如图,在正方形ABCD 中,对角线AC,BD 相交于点O,E,F分别是边 BC,CD 上的点,且∠EOF=90°.求证:CE=DF.
5.如图,在正方形 ABCD 中,E 为边 CD 上一点,F为BC延长线上一点,且CE=CF.求证:∠EBC=∠FDC.
能力提升练
1.(2025·泸州期末)正方形具有而菱形不一定具有的性质是 ( )
A.四边相等 B.对角线相等
C.对角相等 D.对角线互相垂直
2.如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边三角形ABE,则∠BED 的度数为 ( )
A 15° B.35° C.45° D.55°
3.如图，P是正方形 ABCD 内的一点，连接PA,PB,PC,PD.若△PAB 是等边三角形,则∠DPA 的度数是 .
4.如图,在正方形ABCD 中,对角线AC,BD 相交于点 O,E,F 是对角线 AC 上的两点,且AE=CF.连接DE,DF,BE,BF.
(1)求证:△ADE≌△CBF;
(2)若 求四边形 BEDF 的周长.
5.如图，四边形 ABCD 是正方形，点 P 在线段AC上,点 E 在射线 BC 上,且 PB=PE,连接PD,O为线段AC的中点.
【感知】
(1)如图①,当点 P 在线段AO上时.
①易证△ABP 与△ADP 全等(不需要证明)，进而得到 PE 与 PD 的数量关系是 ;
②过点 P 作 PM⊥CD 于点 M,PN⊥BC于点N,易证 Rt△PNE≌Rt△PMD(不需要证明)，进而得到 PE 与 PD 的位置关系是 ；
【探究】
(2)如图②,当点 P 在线段 OC 上(点 P 不与点O,C重合)时,试写出 PE 与 PD 的数量关系和位置关系，并说明理由.
课时2 正方形的判定
基础巩固练
知识点 正方形的判定
1.下列说法正确的是 ( )
A.四个角都相等的四边形是正方形
B.四条边都相等的四边形是正方形
C.对角线相等的平行四边形是正方形
D.对角线互相垂直的矩形是正方形
2.已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是 ( )
A.当AB=BC时,它是菱形
B.当AC⊥BD时,它是菱形
C.当∠ABC=90°时,它是矩形
D.当AC=BD时,它是正方形
3.如图，用一张矩形纸片ABCD 折出一个正方形，只需把一个角沿折痕AE 翻折上去，使AB和AD边上的AF 重合，则展开铺平后所得的四边形ABEF 就是一个正方形，判断的依据是 .
4.如图，数学课上老师给出了以下四个条件：a.两组对边分别相等；b.一组对边平行且相等；c.一组邻边相等；d.一个角是直角.有三位同学给出了不同的组合方式：①a，c，d；②b，c，d；③a，b，c.你认为能得到正方形的是 .(填写你认为正确的序号)
5.如图,正方形ABCD 的对角线AC,BD 相交于点 O. 过点 C 作 CE∥BD,过点 D 作 DE∥AC,CE,DE相交于点 E.
求证：四边形OCED 是正方形.
6.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,∠BAC 的平分线交 BC 于点D,DE∥AB,DF∥AC.
(1)求证:四边形AFDE 为正方形;
(2)若. 求四边形 AFDE的面积.
能力提升练
1.如图,在 ABCD 中,∠A=45°,过点 D 作ED⊥AD 交 AB 的延长线于点 E,且 BE=AB,连接BD,CE.
(1)求证:四边形 BDCE 是正方形;
(2)若 P 为线段 BC 上一点,点 M,N 在直线AE 上,且 PM=PB,∠DPN=∠BPM.求证：
2.如图,在矩形ABCD中,M,N分别是AD,BC的中点,P,Q分别是BM,DN的中点.
(1)求证:BM∥DN;
(2)求证:四边形 MPNQ 是菱形;
(3)矩形ABCD的边AB与AD 满足什么数量关系时，四边形 MPNQ 为正方形 请说明理由.
21.3.3 正方形
课时1 正方形的性质
【基础巩固练】
1. C 2. B 3.9
4.证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴OC=OD,∠OCE=∠ODF=45°,∠COD=90°,∴∠DOF+∠COF=90°.
∵∠EOF=90°,即∠COE+∠COF=90°,
∴∠COE=∠DOF,∴△COE≌△DOF,
∴CE=DF.
5.证明:∵四边形ABCD 是正方形,
∴BC=DC,∠BCE=90°,
∴∠DCF=180°-∠BCE=90°,
∴∠BCE=∠DCF.
在△BCE和△DCF中
∴△BCE≌△DCF(SAS),
∴∠EBC=∠FDC.
【能力提升练】
1. B 2. C 3.75°
4.(1)证明:∵四边形ABCD 是正方形,∴AB=BC=CD=AD,∠DAC=∠BCA=45°.又∵AE=CF,∴△ADE≌△CBF.
(2)解:∵四边形ABCD 是正方形,
∴AC⊥BD,OA=OC,OB=OD.
∵AE=CF,∴OE=OF,
∴四边形 DEBF 为平行四边形.
∵AC⊥BD,∴平行四边形 DEBF 为菱形.
∵AE=3,∴OE=2,
∴四边形 DEBF 的周长为
5.解:(1)①PE=PD ②PE⊥PD
(2)PE=PD,PE⊥PD.理由如下:
设PE交CD于点 F.
∵四边形ABCD 是正方形，
∴BC=DC,∠BCP=∠DCP.
又∵PC=PC,∴△CBP≌△CDP,
∴PB=PD,∠PBC=∠PDC.
∵PB=PE,∴PE=PD,∠PBC=∠PEB,
∴∠PDC=∠PEB.∵∠PFD=∠CFE,
∴ 180°-∠PFD-∠PDC = 180°-∠CFE-∠PEB,即∠DPF=∠ECF.
∵四边形ABCD 是正方形,∴∠BCD=90°,
∴∠ECF=180°-∠BCD=90°,
∴∠DPF=90°,∴PE⊥PD.
课时2 正方形的判定
【基础巩固练】
1. D 2. D
3.一组邻边相等的矩形是正方形(答案不唯一)
4.①②
5.证明:∵CE∥BD,DE∥AC,
∴四边形 OCED 是平行四边形.
∵正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,
∴OD=OC,∠DOC=90°,
∴平行四边形 OCED 是菱形.
∵∠DOC=90°,∴菱形 OCED 是正方形.
6.(1)证明:∵DE∥AB,DF∥AC,
∴四边形 AFDE 是平行四边形.
∵AD平分∠BAC,∴∠FAD=∠EAD.
∵DE∥AB,∴∠EDA=∠FAD,
∴∠EDA=∠EAD,
∴AE=DE,∴四边形 AFDE 是菱形.
∵∠BAC=90°,∴四边形 AFDE 是正方形.
(2)解:∵四边形AFDE 是正方形,
∴AF=DF=DE=AE,∠AED=90°,
(舍负),
∴四边形 AFDE 的面积为2×2=4.
【能力提升练】
1.证明:(1)∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD.
∵BE=AB,∴BE=CD,
∴四边形 BDCE 是平行四边形.
∵ED⊥AD,∠A=45°,∴∠A=∠DEA=45°,
∴△ADE 是等腰直角三角形.
又∵AB=BE,∴DB=BE,DB⊥BE,
∴四边形 BDCE 是正方形.
(2)∵四边形 BDCE 是正方形,
∴BD=BE=AB,∠DBP=∠EBP=45°.
∵PM=PB,∴∠PBM=∠PMB=45°,
∴∠BPM=90°,∴∠DPN=∠BPM=90°,
∴∠DPB=∠NPM.
在△DBP 和△NMP 中,
∴△DBP≌△NMP(ASA),
∴DB=NM,∴AB=NM,∴AN=BM.
∵BP=PM,∠BPM=90°,∴BM= BP,
2.(1)证明:∵四边形ABCD 是矩形,
∴AD∥BC,AD=BC.
又∵M,N分别是AD,BC的中点,
∴DM=BN,∴四边形 DMBN 是平行四边形,
∴BM∥DN.
(2)证明:由(1)知BM=DN,BM∥DN,
∴MP∥NQ.
∵P,Q分别是BM,DN的中点,∴MP=NQ,
∴四边形 MPNQ 是平行四边形.
连接MN.∵四边形ABCD 是矩形,
∴AD∥BC,AD=BC,∠C=90°.
又∵M,N分别是AD,BC的中点,
∴DM=CN,∴四边形 DMNC 是矩形.
∵DN 是矩形 DMNC 的对角线,且Q 是 DN的中点,∴MQ=NQ,∴ MPNQ 是菱形.
(3)解:当 时，四边形 MPNQ 为正方形.理由如下： 矩形ABNM 是正方形.
∵ P 为正方形ABNM 对角线 BM 的中点,
∴∠NPM=90°.又∵四边形 MPNQ 是菱形,
∴四边形 MPNQ 是正方形.

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