资源简介

21.3.2 菱形
课时 1 菱形的性质
基础巩固练
知银点 ① 菱形的定义
1.(2025·南充高坪区月考)如图，在等边三角形ABC中,D,E,F分别为三边 BC,CA,AB的中点，则图中共有菱形 ( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
2.如图,在 ABCD 中,∵ ∠1 = ∠2,∴ BC =DC,∴平行四边形 ABCD 是菱形( .).(请在横线上填写理由)
知银点 菱形的性质
3.如图,在菱形 ABCD 中,AC,BD 是对角线,AB=5.若∠ABD=30°,则AC的长是( )
A.4 B.5 C.6 D.10
4.如图,在菱形ABCD中,∠ADC=72°,AD 的垂直平分线交对角线 BD 于点 P，垂足为 E，连接CP,则∠CPB 的度数是 .
5.如图,菱形ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点O,OE⊥BC 于点 E.若AC=6 cm,BD=8cm ,则OE= cm.
6.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 对角线的交点坐标是O(0,0),点 B 的坐标是(0,1),且 BC = ，则点 A 的坐标是 .
7.如图,在菱形ABCD中,AE⊥BC于点E,AF⊥CD 于点 F,连接EF.
(1)求证:AE=AF;
(2)若∠B=60°,求∠AEF 的度数.
知银点 菱形的面积
8.如图,菱形ABCD 的边长为4,∠B=120°,则菱形ABCD 的面积为 ( )
A.6 B.4 C.8 D.12
9.如图,在菱形ABCD中,BD=6,E,F分别为AB,BC的中点,且EF=2,则菱形ABCD 的面积为 .
能力提升练
1.如图,点 E,F分别在菱形ABCD 的边 BC,DC上，添加以下条件不能证明△ABE≌△ADF的是 ( )
A. CE=CF B.∠BAF=∠DAE
C. AE=AF D.∠AEC=∠AFC
2.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点A，B，C在坐标轴上.若点 B 的坐标为(-1,0),∠BCD=120°,则点 D 的坐标为( )
A.(2,2) B.
C.(3, D.
3.在菱形ABCD中,对角线AC与 BD 相交于点O,AB=5,AC=6,过点 D 作 DE∥AC交 BC的延长线于点 E.
(1)求△BDE的周长;
(2)P 为线段 BC 上的一点,连接 PO 并延长,交AD 于点 Q.求证:BP=DQ.
微专题 6 含60°角的特殊平行四边形
模型展示：
1.一个矩形的一条对角线长为10，两条对角线的一个交角为60°，则这个矩形的面积是( )
A.25 B.
C. D.
2.如图,在菱形 ABCD 中,∠A =60°,AB =3,E,F分别为AD,DC上的动点,∠EBF=60°,点 E 从点 A 向点 D 运动的过程中,AE+CF的长度 ( )
A.逐渐减小 B.恒等于3
C.先减小再增加 D.恒大于3
课时2 菱形的判定
基础巩固练
知识点 1 有一组邻边相等的平行四边形是菱形
1.(2025·遂宁安居区月考)下列选项中能使□ABCD 成为菱形的是 ( )
A. AB=CD B. AB=BC
C.∠BAD=90° D. AC=BD
2.如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,D 为 AB 的中点,AE∥CD,CE∥AB.求证:四边形 ADCE是菱形.
知识点 2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
3.在四边形ABCD中,对角线AC,BD 相交于点O,且OA=OC,OB=OD.若要使四边形ABCD为菱形，则可以添加的条件是 ( )
A.∠AOB=60° B. AC⊥BD
C. AC=BD D. AB⊥BC
4.如图,在四边形ABCD 中,对角线AC 与 BD互相垂直平分，AB=3，则四边形ABCD 的周长为 ( )
A.6 B.9 C.12 D.18
5.如图,在四边形ABCD 中,AD=BC,AC⊥BD 于点O.请添加一个条件： ，使四边形ABCD 为菱形
6.如图, ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,AB=5,OA=4,OB=3.求证: ABCD 是菱形.
知识点③ 四边都相等的四边形是菱形
7.在数学活动课上，老师和同学判断教室中的瓷砖是否为菱形，下面是某小组拟定的4种方案，其中不正确的是 ( )
A.测量两条对角线是否分别平分两组内角
B.测量四个内角是否相等
C.测量两条对角线是否互相垂直且平分
D.测量四条边是否相等
8.如图,△ABC 为等腰三角形，若把它沿底边 BC 翻折得到△DBC,则四边形ABDC为菱形的依据是
9.如图,在四边形ABCD中,AC=BD,E,F,G,H依次是AB,BC,CD,DA的中点.求证:四边形EFGH 是菱形.
能力提升练
1.下列命题正确的是 ( )
A.对角线相等的四边形是菱形
B.对角线互相垂直的四边形是菱形
C.对角线相等的平行四边形是菱形
D.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
2.依据所标识的数据，下列平行四边形一定为菱形的是 ( )
3.如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD.若测得点A,C 之间的距离为6cm，点B，D之间的距离为8cm，则线段 AB 的长为
A.5cm B.4.8cm C.4.6cm D.4cm
4.(2025·遂宁中考)如图,在四边形 ABCD中,AB∥CD,点 E,F 在对角线 BD 上,BE=EF=FD,且AF⊥AB,CE⊥CD.
(1)求证:△ABF≌△CDE;
(2)连接AE,CF,若∠ABD=30°,请判断四边形AECF 的形状，并说明理由.
5.[核心素养]综合与实践
(1)如图①，在平行四边形纸片 ABCD 中， 过点A作AE⊥BC,垂足为 E,沿 AE 剪下△ABE,将它平移至△DCE'的位置,拼成四边形AEE'D,则四边形 AEE'D 的形状为 ;
(2)如图②,在(1)中的四边形纸片 AEE'D的边 EE'上取一点 F,使 EF =4,剪下△AEF,将它平移至△DE'F'的位置,拼成四边形 AFF'D.
①求证:四边形AFF'D 是菱形;
②求四边形AFF'D的两条对角线的长.
21.3.2 菱形
课时1 菱形的性质
【基础巩固练】
1. B2.有一组邻边相等的平行四边形是菱形3. B 4.72° 5. 6.(2,0)
7.(1)证明:∵四边形ABCD 是菱形,
∴AB=AD,∠B=∠D.
∵AE⊥BC,AF⊥CD,
∴∠AEB=∠AFD=90°.
在△ABE 和△ADF 中
∴△ABE≌△ADF(AAS),∴AE=AF.
(2)解:∵四边形ABCD 是菱形,
∴BC∥AD,∴∠B+∠BAD=180°.
∵∠B=60°,∴∠BAD=120°.
∵∠AEB=90°,∠B=60°,∴∠BAE=30°.
由(1)得△ABE≌△ADF,
∴∠BAE=∠DAF=30°,
∴∠EAF=120°-30°-30°=60°.
又∵AE=AF,∴△AEF 是等边三角形,
∴∠AEF=60°.
8. C 9.12
【能力提升练】
1. C 2. D
3.(1)解:∵四边形ABCD 是菱形,
∴AB=BC=CD=AD=5,
AC⊥BD,OB=OD,OA=OC=3,
∵AD∥CE,DE∥AC,∴四边形ACED 是平行四边形,∴CE=AD=5,DE=AC=6,
∴C△BDE=BD+BC+CE+DE=8+5+5+6=24.
(2)证明:∵AD∥BC,
∴∠OBP=∠ODQ,∠OPB=∠OQD.
又∵OB=OD,∴△BOP≌△DOQ,
∴BP=DQ.
微专题6 含60°角的特殊平行四边形
1. B 2. B
课时2 菱形的判定
【基础巩固练】
1. B
2.证明:∵AE∥CD,CE∥AB,
∴四边形ADCE 是平行四边形.
∵∠ACB=90°,D为AB 的中点,
∴四边形ADCE 是菱形.
3. B 4. C 5. AD∥BC(答案不唯一)
6.证明:∵AB=5,OA=4,OB=3,
∴∠AOB=90°,∴AC⊥BD,
∴□ABCD 是菱形.
7. B8.四条边相等的四边形是菱形
9.证明:∵E,F,G,H分别是线段AB,BC,CD,AD的中点，
∴ EH,FG 分别是△ABD,△BCD 的中位线,EF,HG分别是△ABC,△ACD的中位线,
又∵AC=BD,∴EH=FG=EF=HG,
∴ 四边形 EFGH 是菱形.
【能力提升练】
1. D 2. C 3. A
4.(1)证明:∵AB∥CD,∴∠ABF=∠CDE.
∵AF⊥AB,CE⊥CD,∴∠BAF=∠DCE=90°.
∵BE=EF=FD,∴BE+EF=FD+EF,即 BF=
DE.在△ABF 和△CDE中,
(2)解：四边形AECF 是菱形.理由如下：
连接AE,CF,如答图所示.∵ ∠ABD=30°,AB∥CD,∴ ∠CDB =∠ABD =30°. ∵ BE =EF,∠BAF=90°,∴ AE 是 Rt△ABF 斜边 BF上的中线， 在 Rt△ABF 中, 同理 CE=CF.又∵∠EAF≠90°,∴四边形AECF 是菱形.
5.(1)解:矩形
(2)①证明:∵AF∥DF',AF=DF',∴ 四边形AFF'D 是平行四边形.∵ AD =5,S矩形AEE'D =S□ABCD= 15,∴ AE = 3.又∵ EF = 4,∴ 在Rt△AEF中, 5，∴平行四边形 AFF'D 是菱形.
②解:连接AF',DF.在 Rt△DE'F中,∵E'F=E'E - EF = 5 - 4 = 1, DE' = 3, ∴ DF = 在 Rt△AEF'中,∵ EF'=E'E + E'F'= 5 + 4 = 9,AE = 3,∴ AF'=

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