资源简介

21.3.1 矩形
课时 1 矩形的性质
基础巩固练
知识点 ① 矩形的定义
1.如图,在四边形ABCD中,
∵AD∥BC,且AB∥DC,
∴四边形ABCD 是 形.
∵∠A=90°,
∴ 四边形ABCD 是 形.
2.已知矩形的两邻边长分别为3 和4，则矩形的周长= ，面积= ，对角线长= .
知识点2 矩形的性质
3.(2024·成都中考)如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD 相交于点 O，则下列结论一定正确的是 ( )
A. AB=AD
B. AC⊥BD
C. AC=BD
D.∠ACB=∠ACD
4.如图，矩形ABCD 为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与 CD 的交点为 E，当水杯底面 BC与水平面的夹角为27°时，∠AED 的度数为 ( )
A.27° B.53° C.57° D.63°
5.如图，在平面直角坐标系中有一个矩形ABCO,点B 的坐标是(1,3),则AC的长为( )
A. B. C.3 D.
6.如图,矩形 ABCD 的对角线AC与 BD 相交于点 O,AC=10,P,Q分别为AO,AD的中点,则PQ 的长为 .
7.如图,四边形ABCD 是矩形,点 E 和点 F 在边BC上,且BE=CF.求证:AF=DE.
知识点③ 直角三角形斜边中线的性质
8.如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,∠A=20°,CD 为AB 边上的中线,DE⊥AC,则图中与∠A 互余的角共有 ( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
9.如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB 的中点M 与点 C 被湖隔开，若测得 AB 的长为2.8km,则M,C两点间的距离为 ( )
A.1.5km B.2.8km C.1.4km D.1.9km
能力提升练
1.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB =90°,∠A =30°,CD⊥AB 于点 D,E 是 AB 的中点,若DE=2.5,则AB的长为 ( )
A.10 B.8 C.6 D.4
2.如图,在△ABC 中,D 是 BC 上的一点,AB=AD,E,F分别是AC,BD 的中点,EF=3,则AC的长是 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
3.如图,在矩形 ABCD中,AE⊥BD 于点 E,对角线 AC,BD 相交于点O,且 BE : ED =1 : 3,AB=6,则AE= .
4.如图,延长矩形ABCD 的边 BC 至点 E,使 CE =BD,连接AE.若∠ADB=30°,则∠E= °.
5.如图,在△ABC 中,AD 是边 BC 上的高,CE是边 AB 上的中线，G是 CE 的中点，连接DG,DG⊥CE.求证:∠B=2∠BCE.
微专题 5 遇直角三角形斜边的中点，构造斜边上的中线
方法指导：
(1)若两个直角三角形共斜边，则可连接斜边上的中线，构造等腰三角形解题.
(2)已知直角三角形斜边的中点时，可以构造斜边上的中线.
1.如图,在△ABC 中,BC=18,BD⊥AC 于点D,CE⊥AB 于点 E,连接DE,F,G分别为BC,DE 的中点.若 DE=10,则 FG 的长为 .
2.如图,在△ABC 中,AD 是高,CE 是中线,DC=BE,DG⊥CE 于点 G.
(1)求证:G是CE的中点;
(2)若∠B=70°,则∠BCE 的度数为 .
课时 2 矩形的判定
基础巩固练
知识点 ① 有一个角是直角的平行四边形是矩形
1.已知在四边形ABCD 中,∠ABC=90°,再补充一个条件使四边形ABCD 为矩形，这个条件可以是 ( )
A. AC=BD B. AB=BC
C. AC与BD 互相平分 D. AC⊥BD
2.在 ABCD中,E,F分别是边 BC,BA的中点.若AD=6,CD=8,EF=5,则 ABCD 的面积是 .
3.如图,在四边形ABCD 中,∠A=∠B=90°,O是边AB的中点,∠AOD=∠BOC.求证:四边形ABCD 是矩形.
知识点2 对角线相等的平行四边形是矩形
4.如图，在下列条件中，能够判定 ABCD 为矩形的是 (. )
A. AB=AD B. BD=2BC
C. AB=AC D. AC=BD
5.如图，用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线AC，BD的长就可以判断，其数学依据是 .
6.如图,四边形ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,其中AD∥BC,AB∥CD,AC=2OB.求证:四边形ABCD 是矩形.
知识点③ 有三个角是直角的四边形是矩形
7.数学课上，老师让班里的学生判断一个四边形门框是否为矩形.下面是某合作小组的4位学生拟定的方案，其中正确的是 ( )
A.测量对角线是否互相平分
B.测量两组对边是否分别相等
C.测量一组对角是否都为直角
D.测量三个角是否都为直角
8.如图,在△ABC 中,AB=AC,AD⊥BC 于点D,过点 B 作 AD 的平行线交△ABC 的外角∠BAF 的平分线于点 E.求证:四边形 ADBE是矩形.
能力提升练
1.如图,在 ABCD 中,对角线AC,BD 相交于点O.下列条件不能判定平行四边形 ABCD为矩形的是 ( )
A. AD=BC,AB∥CD B. AC=BD
C.∠BAD=∠ADC D.∠ABC=90°
2.下列四边形中，不一定为矩形的是( )
3.如图,在△ABC 中,AB=AC,D 为 BC 的中点,AE 是△ABC 外角的平分线,DE∥AB 交AE 于点 E,则四边形 ADCE 的形状是 .
4.如图,AD 和 BC 相交于点 O,∠ABO =∠DCO=90°,OB=OC,E,F分别是AO,DO的中点.
(1)求证:OE=OF;
(2)当∠A=30°时,求证:四边形 BECF 是矩形.
5.如图,在矩形 ABCD 中,AB =3c m,BC =4cm，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为1 cm/s,运动时间为 ts,0≤t≤5.
(1)AE= cm,EF= cm;(用含 t的式子表示)
(2)若G,H分别是AB,DC的中点,求证:四边形 EGFH 是平行四边形；
(3)在(2)的条件下，当t为何值时，四边形EGFH 为矩形
21.3.1 矩形
课时1 矩形的性质
【基础巩固练】
1.平行四边 矩 2.14 12 5
3. C 4. D 5. D 6.2.5
7.证明:∵四边形ABCD 是矩形,
∴AB=DC,∠B=∠C=90°.
∵BE=CF,∴BE+EF=CF+EF,即BF=CE,
∴△ABF≌△DCE,∴AF=DE.
8. C 9. C
【能力提升练】
1. A 2. D 3.3 4.15
5.证明：如答图，连接DE.
∵G是CE的中点,DG⊥CE,
∴DG 是CE 的垂直平分线,∴DE=DC.
∵AD是边 BC上的高,CE 是中线,
∴DE 是 Rt△ADB 的斜边AB 上的中线,
∵DE=DC,∴∠DEC=∠BCE,
∴∠EDB=∠DEC+∠BCE=2∠BCE.
∵DE=BE,∴∠B=∠EDB,∴∠B=2∠BCE.
微专题5 遇直角三角形斜边的中点，构造斜边上的中线
2.(1)证明:如答图,连接DE.
∵AD⊥BC,∴∠ADB=90°.
∵E 是AB 的中点,
∵DC=BE,∴DC=DE.
∵DG⊥CE,∴G是CE 的中点.
(2)解:35°
课时2 矩形的判定
【基础巩固练】
1. C 2.48
3.证明:∵O是边AB 的中点,∴OA=OB.
在△AOD 和△BOC中
∴△AOD≌△BOC(ASA),∴AD=BC.
∵∠A=∠B=90°,∴AD∥BC,
∴四边形ABCD 是平行四边形.
∵∠A=∠B=90°,
∴平行四边形ABCD 是矩形.
4. D5.对角线相等的平行四边形是矩形
6.证明:∵AD∥BC,AB∥CD,
∴四边形ABCD 是平行四边形，
∴OB=OD,∴BD=2OB.
∵AC=2OB,∴AC=BD,∴□ABCD 是矩形.
7. D
8.证明:∵AB=AC,AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=
∵AE 平分
∵∠BAC+∠BAF=180°,
∴∠BAD+∠BAE=90°,即∠DAE=90°.
又∵BE∥AD,∴∠DBE=∠ADC=90°,
∴四边形 ADBE 是矩形.
【能力提升练】
1. A 2. A 3.矩形
4.证明:(1)∵∠ABO=∠DCO=90°,∴AB∥CD,∴∠A=∠D.
在△AOB 和△DOC 中
∴△AOB≌△DOC(AAS),∴AO=DO.
∵E,F分别是AO,DO 的中点,
(2)∵OB=OC,OE=OF,
∴四边形 BECF 是平行四边形.
∵∠ABO=90°,∠A=30°,
∴四边形 BECF 是矩形.
5.(1)解:t |5-2t|
(2)证明:∵四边形ABCD 是矩形,
∴AB=CD,AB∥CD,∴∠GAF=∠HCE.
∵G,H分别是AB,DC 的中点,∴AG=CH.
∵AE=CF,∴AE+EF=CF+EF,即AF=CE.
在△AFG 和△CEH中
∴△AFG≌△CEH(SAS),∴GF=HE.
在△AGE 和△CHF中
∴△AGE≌△CHF(SAS),∴GE=HF,
∴四边形 EGFH 是平行四边形.
(3)解:如答图,连接GH.
由(2)知四边形 EGFH 是平行四边形.
∵G,H分别是矩形ABCD 的边AB,DC 的中点,∴GH=BC=4cm,
∴当EF=GH=4cm时,四边形 EGFH 是矩形,令|5-2t|=4,解得t=0.5或t=4.5,
即当t=0.5或4.5时,四边形 EGFH 为矩形.

展开更多......

收起↑