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21.2.3 三角形的中位线
基础巩固练
知识点1 三角形的中位线定理
1.如图，小棒家有一块三角形的空地ABC，AB=6m,BC=8 m,AC=9 m,且 E,F 分别是AB，AC 边的中点，小棒妈妈想把四边形BCFE 用木栅栏围一圈放养鹌鹑，则需要木栅栏的长是 ( )
A.18.5m B.19m C.19.5m D.20m
2.如图，在平面直角坐标系中，△AOB 的边AO,AB的中点C,D 的横坐标分别是1,4,则点 B 的横坐标是 .
3.如图,在四边形ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点,G,H 分别是对角线 BD,AC 的中点,若EG=6,则线段 FH 的长是 .
4.如图,D,E,F分别为△ABC 三边的中点.若△ABC 的 周 长 为 10,则 △DEF 的 周 长为 .
5.如图,在四边形ABCD 中,E,F分别是AB,AD的中点,若EF=2,BC=6,CD=2 .求证：BD⊥CD.
知识点2 三角形的中位线与平行四边形
6.如图,在 ABCD 中,O 是对角线AC 的中点,E 是边AD 的中点，连接OE.下列两条线段的数量关系中一定成立的是 ( )
A. B.
C. D.
7.如图, ABCD的对角线AC,BD 相交于点 O,M 为边AB 的中点,连接MO.若MO=6,则线段BC的长为 .
8.如图,在△ABC中,D,E,F分别是AB,BC,AC的中点.求证：AE 与 DF 互相平分.
知识点③中点四边形
9.如图,在四边形ABCD 中,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点，对角线AC=3,BD=2,则四边形 EFGH 的周长为 ( )
A.4 B.5 C.6 D.7
能力提升练
1.(2025·资阳中考)三角形的周长为48 cm,则它的三条中位线组成的三角形的周长是( )
A.12cm B.24 cm C.28cm D.30cm
2.如图是屋架设计图的一部分，其中∠A=30°，D 是斜梁 AB 的中点,BC,DE 垂直于横梁AC,AB=16m,则DE 的长为 ( )
A.8m B.4m C.2m D.6m
3.如图,在四边形ABCD 中,P 是对角线 BD 的中点,E,F 分别是 AB,CD 的中点,AD =BC,∠CBD=30°,∠ADB=100°,则∠PFE 的度数是· ( )
A.15° B.25° C.30° D.35°
4.如图,△ABC 的周长为20,点 D,E 在边BC 上,∠ABC 的平分线垂直于 AE，垂足为 N.∠ACB 的平分线垂直于AD,垂足为M.若BC=8,则 MN的长为 .
5.如图,在△ABC中,BD,CE 分别为边 AC,AB上的中线,BD,CE 相交于点 G,M,N 分别是BG,CG 的中点,连接 EM,DN.求证:EM=DN.
微专题 4 构造三角形中位线的常用方法
方法指导：
常见的添加辅助线构造中位线的方法：
①已知两个中点：连接两中点或连接第三边.
②已知一个中点：取另一边中点并连接这两个中点.
③已知角平分线+垂直：延长有关的线段(被平分角的边或垂直的边).
1.如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=6,BC=8,N是BC边上的一点,M为AB 边上的动点,D,E 分别为 CN,MN 的中点,则DE 的最小值是 ( )
A.2 B. C.3 D
2.如图,已知在四边形ABCD 中,AC⊥BD,AC=10,BD=12,E,F 分别是边AD,BC 的中点，连接EF，则EF 的长是 .
3.如图,在△ABC中,AE平分∠BAC,BE⊥AE,垂足为E,F 是 BC 的中点,连接EF,AB=5,AC=3,则线段EF 的长为 .
专题6 平行四边形的性质与判定的综合
1.如图,在四边形ABCD中,已知AB=CD,AD=BC,DE=BF,且点 E,F 分别在 AD,CB 的延长线上.求证:BE=DF.
2.如图, ABCD的对角线相交于点O,直线EF经过点O，分别与AB，CD的延长线相交于点E，F.求证：四边形AECF 是平行四边形.
3.如图,E,F,G,H分别是平行四边形ABCD各边的中点，连接AF，CE 相交于点 M，连接AG,CH 相交于点 N.求证:四边形 AMCN 是平行四边形.
4.如图,在 ABCD中,O 是对角线AC 的中点,EF 过点O,与AD,BC分别相交于点 E,F,GH过点O,与AB,CD分别相交于点 G,H,连接EG,FG,FH,EH.求证:四边形 EGFH 是平行四边形.
5.如图,在 ABCD中,AE⊥BD 于点 E.老师给出了如下尺规作图步骤：
(1)以点 C 为圆心，适当长为半径画弧，交BD 于点 M,N;
(2)分别以点 M，N为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点 P；
(3)连接CP 并延长,交 BD 于点 F;
(4)连接CE,AF.
请根据以上步骤，证明：四边形AECF 是平行四边形.
6.(2025·广元朝天区月考)如图,在 ABCD中,AF 平分∠BAD 交 BC 于点 F,CE 平分∠BCD交AD 于点 E.
(1)若AD=12,AB=8,求CF的长;
(2)连接BE,与AF 相交于点 G,连接DF,与CE 相交于点 H,连接 EF,GH,求证:EF和GH互相平分.
21.2.3 三角形的中位线
【基础巩固练】
1. C 2.6 3.6 4.5
5.证明:∵E,F分别是AB,AD的中点,
∴BD=2EF.∵EF=2,∴BD=4.
又∵BC=6,CD=2
∴∠BDC=90°,∴BD⊥CD.
6. C 7.12
8.证明:∵D,E,F分别是AB,BC,AC的中点,∴DE,EF 是△ABC的中位线,∴DE∥AC,EF∥AB,∴ 四边形 ADEF 为平行四边形,∴AE与 DF互相平分.
9. B
【能力提升练】
1. B 2. B 3. D 4.2
5.证明：如答图，连接AG.
∵BD,CE分别为边AC,AB 上的中线,M,N分别是 BG,CG 的中点,∴AE=BE,BM=GM,AD=CD,CN=GN,∴ EM 是△ABG 的中位线,DN 是△ACG的中位线,
微专题4 构造三角形中位线的常用方法
1. B 2. 3.1
专题6 平行四边形的性质与判定的综合
1.证明:∵AB=CD,AD=BC,
∴四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC,∴DE∥BF.又∵DE=BF,
∴四边形 DEBF 是平行四边形,∴BE=DF.
2.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴OD=OB,OA=OC,AB∥CD,
∴∠DFO=∠BEO,∠FDO=∠EBO.
在△FDO 和△EBO中
∴△FDO≌△EBO(AAS),∴OF=OE.
又∵OA=OC,∴四边形AECF 是平行四边形.
3.证明:∵E,F,G,H 分别是平行四边形 ABCD各边的中点,∴AH∥CF,AH=CF,
∴四边形AFCH 是平行四边形,∴AM∥CN.同理可得，四边形AECG 是平行四边形，∴AN∥CM,∴四边形AMCN 是平行四边形.
4.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC,∴∠EAO=∠FCO.
∵O为AC 的中点,∴OA=OC.
在△OAE 和△OCF中
∴△OAE≌△OCF(ASA),∴OE=OF.
同理可证,OG=OH,
∴四边形 EGFH 是平行四边形.
5.证明:由题意可知,CF⊥BD,
∴∠CFD=∠CFE=90°.
∵AE⊥BD,∴∠AEB=∠AED=90°,
∴∠CFE=∠AEF=∠AEB=∠CFD=90°,
∴AE∥CF.
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB=CD,AB∥CD,∴∠ABE=∠CDF.
在△ABE 和△CDF中
∴△ABE≌△CDF(AAS),∴AE=CF.
又∵AE∥CF,∴四边形AECF 是平行四边形.
6.(1)解:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD∥BC,BC=AD = 12,∠BAD = ∠BCD,∠ABF=∠CDE,AB=CD=8,∴∠DAF=∠AFB.
∵AF平分∠BAD,∴∠BAF=∠DAF,
∴∠AFB=∠BAF,∴BF=AB=8,
∴CF=BC-BF=12-8=4.
(2)证明:∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,∠BAD=∠BCD,
∴∠DAF=∠AFB.
∵AF平分∠BAD,CE平分∠BCD,
∴∠DAF=∠FCE,∴∠FCE=∠AFB,
∴AF∥CE.
又∵AE∥CF,∴四边形AFCE 是平行四边形,∴AE=CF,∴AD-AE=BC-CF,即DE=BF.
又∵AD∥BC,∴四边形 BFDE 是平行四边形,∴BE∥DF.
又∵AF∥CE,∴四边形EGFH 是平行四边形,∴EF 和GH 互相平分.

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