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21.2.2 平行四边形的判定
课时 1 平行四边形的判定1
基础巩固练
知识点 ① 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
1.如图，E 是四边形ABCD 的边 BC延长线上的一点，且AB∥CD，则下列条件中不能判定四边形ABCD 是平行四边形的是 ( )
A.∠D=∠5
B.∠3=∠4
C.∠1=∠2
D.∠B=∠D
知识点 2 两组对边分别相等的四边形是平行四
2.如图,在四边形ABCD 中,AB=CD,BC=AD.若∠B=110°,则∠A 的度数为 ( )
A.110°
B.80°
C.70°
D.90°
3.现有长为5，5，7的三根木棍，要想钉一个平行四边形的木框，则选用的第四根木棍的长度应该为 ( )
A.5 B.7 C.2 D.12
4.下列图形中，一定可以拼成平行四边形的是( )
A.两个等腰三角形 B.两个全等三角形
C.两个锐角三角形 D.两个直角三角形
5.如图,在四边形 ABCD 中,∠A=∠C,∠1=∠2.求证：四边形ABCD 是平行四边形.
知识点3 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
6.下面给出了四边形ABCD 中∠A,∠B,∠C,∠D 的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的是 ( )
A.1:2:3:4 B.2:2:3:3
C.2:3:2:3 D.2:3:3:2
7.下列条件中，不能判定四边形ABCD 为平行四边形的是 ( )
A.∠A=∠C,∠B=∠D
B.∠A=∠B=∠C=90°
C.∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°
D.∠A+∠B=180°,∠C+∠D=180°
知识点④ 对角线互相平分的四边形是平行四边形
8.小玲的爸爸在制作平行四边形框架时，采用了一种方法：如图所示，将两根木条AC，BD 的中点重叠并用钉子固定，则四边形ABCD 就是平行四边形.这种方法的依据是 .
9.如图,在 BEDF中,点A,C在对角线 EF 所在的直线上,且AE=CF.求证:四边形ABCD是平行四边形.
能力提升练
1.根据所标数据，下列图形不一定是平行四边形的是 ( )
2.在平面直角坐标系中，已知点 O(0，0)，A(2,2),B(3,0),若以点O,A,B,C为顶点的四边形是平行四边形，则点 C 的坐标不可能为 ( )
A.(-1,2) B.(5,2)
C.(1,-2) D.(2,-2)
3.如图,在四边形ABCD 中,对角线AC,BD 相交于点 E,∠CBD=90°,BC=4,BE=ED=3,AC=10,则四边形ABCD 的面积为 .
4.如图，两条宽度为4 的长方形纸带交叉叠放在一起.若∠ABC=45°，则重叠部分(四边形ABCD)的面积为 .
5.如图,在 ABCD 中,F 是 AB 的中点,连接DF 并延长,交 CB 的延长线于点 E,连接AE.
(1)求证：四边形AEBD 是平行四边形；
(2)若BD=BC=5,CD=6,求四边形 AEBD的面积.
6.如图，四边形ABCD 为平行四边形，点 M 从点 D 运动到点 A 与点 N 从点 B 运动到点 C的速度相同，点 E 从点 A 运动到点 B 与点 F从点 C 运动到点 D 的速度相同，连接 EF，MN.
(1)出发前，EF 与 MN 是否互相平分 请说明理由；
(2)若同时出发，(1)中的结论还成立吗 为什么
课时2 平行四边形的判定2
基础巩固练
知键点 ① 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
1.如图，若增加“某条线段的长度为5”这个条件后，可证明四边形ABCD 为平行四边形，则这条线段为 ( )
A. a
B. b
C. c
D. d
2.(2025·南充期末)如图,点A,B,C,D 在同一条直线上，点 E，F分别在直线 AD 的两侧,且AE=DF,AE∥DF,AB=DC.求证:四边形 BFCE 是平行四边形.
3.如图,AB∥CD,AB=CD,点 E,F 在 BD 上,∠BAE=∠DCF,连接AF,EC.求证:
(1)AE=FC;
(2)四边形AECF 是平行四边形.
知识点 平行四边形的性质与判定的综合
4.如图,已知四边形 ABCD 的面积为 8cm ,AB∥CD,AB =CD,E 是 AB 的中点,那么△AEC的面积是 .
5.如图,在 ABCD中,点E,F分别在BC和AD上,且AF=CE.求证:∠AEB=∠CFD.
6.如图, ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点O,EF 过点 O 交 AD 于点 E,交 BC 于点 F,G是 OA 的中点,H 是 OC 的中点.求证：四边形 EGFH 是平行四边形.
能力提升练 1.如图,E 是 ABCD 的边AD 延长线上一点,连接BE,CE,BD,BE交CD 于点 F,则下列选项中的条件不能判定四边形 BCED 为平行四边形的是 ( )
A.∠ABD=∠DCE B. DF=CF
C.∠AEB=∠BCD D.∠AEC=∠CBD
2.如图，△ABC是等边三角形，P是三角形内一点,PD∥AB,PE∥BC,PF∥AC,若△ABC 的周长为18,则 PD+PE+PF等于 ( )
A.18 B.9
C.6 D.条件不够，不能确定
3.如图，点A，B，C，D在网格中小正方形的顶点处，AD与BC 相交于点O，若小正方形的边长为1,则 DO 的长为 .
4.如图,在 ABCD 中,延长 DA 到点 E,延长BC到点 F,使得 AE=CF,连接 EF,分别交AB,CD 于点 M,N,连接DM,BN.
(1)求证:△AEM≌△CFN;
(2)求证：四边形 BMDN 是平行四边形.
5.如图,在△ABC 中,AB=AC=10cm,BC=4 cm,其中 BD 是AC 边上的高.点M 从点A 出发，沿 AC 方向匀速运动,速度为4cm/s;同时点 P 由 B 点出发,沿BA 方向匀速运动,速度为1 cm/s,过点 P 的直线 PQ∥AC,交 BC 于点 Q,连接 PM,设运动时间为t(s)(0(1)线段BP= cm,AM= cm;(用含 t的代数式表示)
(2)求AD的长;
(3)当t为何值时,以P,Q,D,M为顶点的四边形是平行四边形
21.2.2 平行四边形的判定
课时1 平行四边形的判定1
【基础巩固练】
1. C 2. C 3. B 4. B
5.证明:在△ABD 和△CDB中,
∴△ABD≌△CDB(AAS),
∴AB=CD,AD=CB,
∴四边形ABCD 是平行四边形.
6. C 7. D
8.对角线互相平分的四边形是平行四边形
9.证明:连接BD,交AC 于点 O.
∵四边形 BEDF 是平行四边形，
∴OD=OB,OE=OF.
又∵AE=CF,∴AE+OE=CF+OF,
即OA=OC,∴四边形ABCD 是平行四边形.
【能力提升练】
1. B 2. D 3.24 4.16
5.(1)证明:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC,∴∠ADF=∠BEF.
∵F 是AB 的中点,∴AF=BF.
在△ADF 和△BEF 中,
∴△ADF≌△BEF(AAS),∴DF=EF.
又∵AF=BF,∴四边形AEBD 是平行四边形.
(2)解:如答图,过点 D 作DG⊥BC 于点 G,过点 B 作BH⊥CD 于点 H.∵ BD=BC=5,CD=6,∴ CH= DH= CD=3,∴ BH =
∵四边形 AEBD 是平行四边形,∴ BE=AD.
∵AD=BC,∴BE=BC=5,∴四边形 AEBD 的面积为
6.解:(1)出发前,EF 与 MN 互相平分.理由如下：如答图①，设对角线 AC 与 BD 相交于点 O.∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴OA=OC,OB=OD,即EF 与 MN 互相平分.
(2)若同时出发，(1)中的结论仍成立.理由如下:如答图②,连接EM,EN,FN,FM.
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴∠A=∠C,AD=BC.根据题意,
得AE=CF,DM=BN,∴AM=CN.
在△AEM 和△CFN中,
∴△AEM≌△CFN(SAS),∴EM=FN.
同理可证 EN=FM,∴四边形 ENFM 是平行四边形,∴EF 与MN互相平分.
课时2 平行四边形的判定2
【基础巩固练】
1. A
D2.证明:∵AE∥DF,∴∠A=∠D.
∵AB=CD,∴AB+BC=CD+BC,即AC=BD.
又∵AE=DF,∴△ACE≌△DBF,
∴CE=BF,∠ACE=∠DBF,
∴CE∥BF,∴四边形 BFCE 是平行四边形.
3.证明:(1)∵AB∥CD,∴∠B=∠D.
在△ABE 和△CDF中
∴△ABE≌△CDF(ASA),∴AE=CF.
(2)由(1)中△ABE≌△CDF,
得AE=CF,∠AEB=∠CFD,
∴180°-∠AEB=180°-∠CFD,
即∠AEF=∠CFE,∴AE∥CF.
又∵AE=CF,∴四边形AECF 是平行四边形.
4.2cm
5.证明:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD∥BC,∴ ∠DAE =∠AEB.∵ AD∥BC,AF = CE,∴四边形 AFCE 是平行四边形,∴ AE∥CF,∴∠DAE=∠CFD,∴∠AEB=∠CFD.
6.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC,OA=OC,
∴∠OAE=∠OCF,∠OEA=∠OFC,
∴△AOE≌△COF,∴OE=OF.
∵G是OA 的中点,H是OC 的中点,
∴四边形 EGFH 是平行四边形.
【能力提升练】
1. C 2. C 3.3
4.证明:(1)∵ 四边形ABCD 是平行四边形,
∴∠DAB=∠BCD,AD∥BC,
∴∠EAM=∠FCN,∠E=∠F.
在△AEM 和△CFN中
∴△AEM≌△CFN(ASA).
(2)∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AB=CD,AB∥CD.又∵ △AEM≌△CFN,∴ AM=CN,∴ BM=DN.∵ BM∥DN,∴四边形 BMDN是平行四边形.
5.解:(1)t 4t
(2)设AD= xcm,则CD=(10-x) cm.
∵ BD 是边AC上的高,∴∠ADB=∠CDB=90°,
解得x=6,∴AD=6cm.
(3)分两种情况：①如答图①，当点 M 在点 D的上方时，
由题意,得PQ=BP=t cm,AD=6cm,AM=4t cm,∴MD=AD-AM=(6-4t) cm.
∵PQ∥AC,∴PQ∥MD,
∴当PQ=MD,即当t=6-4t时,四边形 PQDM是平行四边形，解得t=1.2；
②如答图②，当点 M 在点 D 的下方时，根据题意,得PQ=BP=t cm,AM=4t cm,
AD=6cm,∴MD=AM-AD=(4t-6) cm.
∵PQ∥AC,∴PQ∥MD,
∴当 PQ=MD 时,即当 t=4t-6 时,四边形PQMD 是平行四边形,解得t=2.
综上所述,当t=1.2 或2时,以P,Q,D,M为顶点的四边形是平行四边形.

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