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第二十一章 四边形阶段性评价
一、选择题
1.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,D 为 AB的中点.若CD=3,则AB的长为 ( )
A.1 B.3.5 C.4 D.6
2.如图，已知直线a∥b，则下列线段的长可以表示直线a与b之间的距离的是 ( )
A. AC B. AD C. BD D. BE
3.如图,在菱形 ABCD 中,∠B=60°,连接AC.若AC=6,则菱形ABCD 的周长为 ( )
A.24 B.30 C.18 D.
4.在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的位置如图所示,点 B 的坐标为(-1,-1),AB=3,BC=4,AB∥y轴,则点 D 的坐标为 ( )
A.(3,2) B.(2,2) C.(3,3) D.(2,3)
5.如图，正方形ABCD 的对角线相交于点 O，点E在边AB上,点 F 在OD 上,过点 E 作EG⊥BD,垂足为 G.若 FE=FC,EF⊥CF,OF=3,则BE的长为 ( )
A.3 B.3 C.3 D.2
6.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的边AB=6,BC=3.若不改变矩形ABCD 的形状和大小，当矩形的顶点 A 在y轴的正半轴上上下移动时，矩形的另一个顶点 B 始终在x轴的正半轴上随之左右移动.已知 M 是边AB 的中点，连接OM，DM.下列判断正确的是( )
结论Ⅰ：在移动过程中，OM 的长度不变；
结论Ⅱ:当∠OAB=45°时,四边形 OMDA 是平行四边形.
A.只有结论Ⅰ对 B.只有结论Ⅱ对
C.结论Ⅰ，Ⅱ都对 D.结论Ⅰ，Ⅱ都不对
二、填空题
7.如图，把两根钢条OA，OB 的一个端点连在一起,C,D分别是OA,OB的中点.若CD=4cm,则该工件内槽宽AB 的长为 cm.
8.如图,四边形ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,且AB=CD,∠ABD=∠CDB,请再添加一个条件： ，使四边形ABCD 是矩形.(写出一个即可)
9.如图,菱形ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,H 为边 AB 上的一点,∠BHD=90°,连接OH.若OA=5,OH=2,则菱形 ABCD 的面积为 .
10.如图,在矩形ABCD 中,对角线AC,BD 相交于点 O,BC=2AB=8,P 是 BC 上的一点,PE⊥AC于点E,PF⊥BD 于点 F.若m=PE+PF,则m的值为 .
三、解答题
11.(2025·遂宁期末)如图,将 ABCD 的边AB延长至点 E,使AB=BE,连接 DE,EC,DE交BC 于点 O.
(1)求证：四边形BECD 是平行四边形；
(2)连接BD,若∠BOD=2∠A,求证:四边形BECD 是矩形.
12.如图,矩形 ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,DE∥AC,CE∥BD.
(1)求证:四边形OCED 是菱形;
(2)若BC=3,DC=2,求四边形 OCED 的面积.
13. 如图①,在 ABCD 中,AD=9 cm,CD =3 cm,∠B=45°,点 M,N 分别以点A,C为起点,沿 AD,CB 以 1 cm/s 的速度运动，M，N两点同时出发.设点 M，N运动的时间为 ts(0≤t≤9).
(1)求边 BC 上高AE 的长度;
(2)连接AN,CM,当t 为何值时,四边形AMCN为菱形
(3)如图②,作MP⊥BC 于点 P,NQ⊥AD 于点 Q,当t为何值时,四边形 MPNQ 为正方形
1. D 2. B 3. A 4. A 5. B 6. C 7.8
8.∠ABC=90°(答案不唯一) 9.20
11.证明:(1)∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB=CD,AB∥CD.
又∵AB=BE,∴BE=CD.
又∵AE∥CD,∴四边形 BECD 是平行四边形.
(2)由(1)知,四边形 BECD 是平行四边形,
∴OD=OE,OC=OB.
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴∠A=∠OCD.
又∵∠BOD=2∠A,∠BOD=∠OCD+∠ODC,
∴∠OCD=∠ODC,∴OC=OD,
∴OC+OB=OD+OE,即BC=ED,
∴平行四边形 BECD 为矩形.
12.(1)证明:∵DE∥AC,CE∥BD,
∴DE∥OC,CE∥OD,
∴四边形 ODEC 是平行四边形.
∵四边形ABCD 是矩形，
∴OD=OC=OA=OB,
∴四边形 ODEC 是菱形.
(2)解:∵四边形ABCD 是矩形,BC=3,DC=2,
∴OA=OB=OC=OD,S矩形ABCD=3×2=6,
∵四边形 OCED 是菱形,
13.解:(1)∵ 四边形ABCD 是平行四边形,
在Rt△ABE中,∵∠AEB=90°,∠B=45°,∴AE=BE,∴AE=3cm.
(2)由题意,得AM=CN=t cm.
∵AM∥CN,∴四边形AMCN为平行四边形,
∴当AN=AM=t cm时,平行四边形 AMCN为菱形.
∵BE=AE=3cm,四边形ABCD 是平行四边形,AD=9 cm,∴BC=AD=9cm,
∴EN=BC-BE-CN=9-3-t=(6-t) cm.
解得
故当t的值为 时，四边形AMCN为菱形.
(3)∵MP⊥BC,NQ⊥AD,QM∥NP,
∴∠MPN=∠PMQ=∠NQM=90°,
∴四边形 MPNQ 为矩形,
∴当QM=QN时,矩形 MPNQ 为正方形.
∵AM=CN=t cm,BE=3cm,
∴AQ=EN=BC-BE-CN=9-3-t=(6-t) cm,
∴QM=|t-(6-t)|=|2t-6| cm.
∵QN=AE=3cm,
∴|2t-6|=3,解得t=4.5或t=1.5.
故当t的值为4.5 或1.5 时,四边形 MPNQ为正方形.

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