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勾股定理的实际应用 培优题型专练
题型一、梯子滑落问题
1．如图所示，一个梯子长米，顶端A靠在墙上，这时梯子下端B与墙角C距离为米，梯子滑动后停在的位置上，测得长为米，则梯子顶端A下滑了（ ）米．
A．1 B．2 C．0.5 D．2.5
2．如图，一架长的梯子靠在墙上，梯子底端离墙，如果梯子的顶端下滑，那么梯子的底端将滑动（ ）
A． B． C． D．
3．某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘D处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与E处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（D是B的对应点），顶部边缘B处到桌面的距离为，则底部边缘A处与C之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知消防云梯最长只能伸长到，消防车高，救援时云梯伸长至最长，在完成从高的A处救援后，还要完成比A处高的点C处的救援，则消防车需要从点B处向点D处移动的距离为（ ）．
A．8 B．7 C．4 D．3
5．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，当梯子位于时，，．如果梯子顶端下滑（即），那么梯子的底端B向右滑动_________．
6．消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高4米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离为15米，完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方4米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从A处向着火的楼房靠近移动到C，请问______米．
7．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，且，若梯子的顶端沿墙下滑到点处，这时梯子的底端也向右移动到点处，则的长度为_____．
8．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮．一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计）
(1)求绳子的总长度；
(2)如图2，若物体升高，求滑块向左滑动的距离．
9．如下图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一根竹竿斜靠在左墙时，竹竿底端到左墙角的距离为，顶端距墙顶的距离为．若保持竹竿底端位置不动，将竹竿斜靠在右墙时，竹竿底端到右墙角的距离为，顶端距墙顶的距离为．已知点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，，．
(1)求墙的高度．
(2)求竹竿的长度．
10．《国务院关于印发全民健身计划（2021—2025年）的通知》文件提出，加大全民健身场地设施供给，进一步增加全民健身的热情．我市某健身广场为方便群众夜间健身活动，在广场部分位置加装照明灯，向阳兴趣小组利用课余时间测量照明灯灯板的长，因不方便直接测量，设计方案如下：
课题 测量照明灯灯板的长
方案及说明 工具 竹竿、米尺
方案及图示
相关数据及说明 竹竿长度为，灯板垂直地面于点，线段，表示同一根竹竿．第一次将竹竿的一个端点与点重合，另一个端点落在地面的点处，第二次将竹竿的一个端点与点重合，另一个端点落在地面的点处．已知m，m
计算过程 ……
请根据上述方案中的内容，计算的长．
题型二、旗杆高度问题
11．如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（ ）
A． B． C． D．
12．勾股定理是一种用代数思想解决几何问题的重要工具.如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直.设绳索的长是，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
13．如图，要从电线杆离地面5米的点C处向地面拉一根长为13米的钢缆，则地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离为（ ）
A．12米 B．11米 C．10米 D．9米
14．某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间测量校园内旗杆的高度．第一次操作：如图①，将系在旗杆顶端的绳子自然下垂到地面，绳子多出的一段在地面拉直后记作，用皮尺量出的长度为．第二次操作：如图②，将绳子拉直，绳子末端落在地面上的点F处，用皮尺量出的长度为．则旗杆的高度为______m．
15．如图，升旗的绳子自由下垂到地面还多出一段，小霞在绳子与地面接触处打了一个结，然后将绳子拉直使其末端接触地面，此时绳子末端距离旗杆底端，并测得绳子末端距离打结处，则旗杆的高度为__________
16．如图，《九章算术》中有这样一道古题：今有一竖直的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有二尺（绳索比木柱长2尺），牵着绳索退行，在距木柱底部6尺（）处时绳索用尽，则木柱长为__________尺．
17．阅读与思考
下面是小聪同学的数学日记，请仔细阅读，并解答问题．
今天，我在参加学校举办的升国旗仪式时，发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面时，其末端刚好与旗杆底端重合，那么，能不能借助这段绳子的长度测量旗杆的高度呢？我设计了如下测量方案：
【测量方案】
如图，线段表示旗杆，点A是旗杆的顶端，用手拉住绳子末端，从点B处后退，当绳子拉直时，其末端恰好落在宣传栏上的点D处，此时测得点D到地面的距离为2米，B，C两点之间的距离为8米，已知A，B，C，D四点均在同一竖直平面内．
【计算过程】
解：如图，过点D作于点E，
∴米，米，
…
请将小聪的计算过程补充完整．
18．小华同学在公园放风筝，如图1所示，其中点为风筝所在的位置，为牵线放风筝的手到风筝的水平距离，为风筝线的长度，为风筝到地面的垂直距离，测得长为24米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米，小华的身高为1.8米．
(1)在图1中根据测量数据，计算出此时风筝离地面的垂直高度．
(2)如图2，若想要风筝沿方向再上升8米到达点，且风筝线的长度不变，则他应该朝射线方向前进多少米？
题型三、小鸟飞行距离问题
19．两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖，另一只朝左挖，每分钟挖，10分钟之后两只小鼹鼠相距（ ）
A． B． C． D．
20．如图，有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）
A．6米 B．5米 C．4米 D．3米
21．有两棵树，一棵高6米，另一棵高1米，两树相距6米，一只小鸟要从一棵树的树顶到另一棵树的树顶，至少需要飞______米．
22．如图，两树的高分别为米和4米，相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则这只鸟至少飞行________米．
23．如图，某校校庆时，从教学楼楼顶的点A处向围墙上的点B处拉彩旗．已知点B和教学楼的水平距离为，教学楼高，围墙高，问至少需要多长的彩旗带？
24．如图，树根下有一个蛇洞，树高，树顶有一只鹰，它看见一条蛇迅速向洞口爬去，与洞口的距离还有3倍树高时，鹰向蛇扑过去．如果鹰与蛇的速度相等，鹰与蛇的路线都是直线段，请求出鹰向何处扑击才能恰好抓到蛇．
25．如图，有两棵树，一棵高米（米），另一棵高米（米），两树相距米（米）．

(1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？
(2)如图，台风过后，高米的树在点处折断，大树顶部落在点处，则树折断处距离地面多少米？
题型四、大树折断问题
26．由于大风，山坡上的一棵树甲从点处被拦腰折断，其顶点恰好落在一棵树乙的底部处，如图所示．已知，，两棵树的水平距离是，则甲树原来的高度是（ ）
A． B． C． D．
27．我国古代数学著作《九章算术》中记载“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？（一丈尺，本指竹子根部）．其大意是，一根竹子高尺，从某处折断后，竹子顶端落在离根部尺处，那么折断处离地面的高度是（ ）

A．尺 B．尺 C．尺 D．尺
28．《九章算术》是我国古代重要的数学著作．书中记载的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高20尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺，设为尺，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
29．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈等于十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，设竹子折断处离地面的高度为x尺，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
B．
C． D．
30．水杉是一种非常著名且独特的树种，被誉为植物界的“活化石”．如图，一棵水杉在离地5米（点）处折断，水杉的顶端（点）落在离水杉底端（点）12米处，则这棵水杉折断之前的高度为___________米．
31．《九章算术》中有“折竹抵地”的故事，原文为：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？其意为：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部尺远.（注：丈尺）请问折断后竹子离地面的高度为_______尺．
32．如图，有一棵大树被大风吹折，折断处与地面的距离，折断处与折断后树的顶端的距离．在大树倒下的方向上的点处停着一辆小轿车，的距离为，求的距离．
题型五、航海问题
33．一艘轮船以海里／小时的速度离开港口向东南方向航行，另一艘轮船在同时同地以海里／小时的速度向西南方向航行，离开港口小时，两艘轮船的距离是（ ）
A．海里 B．海里 C．海里 D．海里
34．一次游学活动中，小杰从营地出发，沿北偏东方向走了米到达处，然后再沿北偏西方向走了米到达目的地处(如图所示)，那么，两地的距离是( )
A．米 B．米 C．米 D．米
35．如图，某海域有相距的岛和岛．甲船先由岛沿北偏东方向走了到达岛，然后再从岛走了到达岛，此时甲船位于岛的（ ）
A．北偏东方向上 B．北偏西方向上
C．北偏西方向上 D．北偏西方向上
36．一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的最短距离是．则岛和港之间的距离（ ）
A． B． C． D．
37．如图，甲、乙两艘客轮同时离开港口，甲客轮航行的速度是，乙客轮航行的速度是，一段时间后，甲到达地，乙到达地．若，两地的直线距离为1500m，且，则乙客轮航行的距离是____________m．
38．如图，甲，乙两船同时从港口O出发，甲以20海里/时的速度向南偏东方向航行，乙船向南偏西方向航行，已知它们离开港口两小时后，两船相距50海里，则乙船的速度为______海里/时．
39．春节来临，人们对海鲜的需求加大，因此各渔船主都加紧出海捕捞．如图，某日琼州湾两艘渔船A和B与某灯塔C位置如图，其中A在C的北偏西方向上，与C的距离是600海里，B在C的南偏西方向上，与C的距离是450海里．
(1)求渔船A与渔船B之间的距离．
(2)若C处灯塔发射的信号有效覆盖半径为390海里，此时B渔船准备沿直线向A渔船靠拢航行，航行的速度为每小时25海里．求B渔船在驶向A渔船的过程中，收到信号的持续时间有多少小时？
题型六、水中筷子问题
40．《醉翁亭记》中写道：“……射者中……”，其中“射”指投壶，宴饮时的一种游戏．如图，现有一圆柱形投壶，内部底面直径是，内壁高，若箭长，则箭在投壶外面部分的长度可能是（ ）
A． B． C． D．
41．《醉翁亭记》中写道：…射者中…，其中射指投壶，宴饮时的一种游戏，如图示，现有一圆柱形投壶内部底面直径是，内壁高，若箭长，则箭在投壶外面部分的长度不可能是（ ）
A． B． C． D．
42．今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？（选自《九章算术》），题目大意：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面．这个水池的深度和这根芦苇的长度各是（ ）（“尺”“丈”是我国传统长度单位，1丈尺）
A．10尺，11尺 B．11尺，12尺 C．12尺，13尺 D．13尺，14尺
43．有一首古算诗：“波平如镜一湖面，半尺高处生红莲．亭亭多姿湖中立，突遭狂风吹一边．离开原处二尺远，花贴湖面似睡莲．”其大意为：湖面平静如镜，红莲高出水面半尺，姿态优美地立在湖中央，突然被风吹斜后花尖恰好触及水面，且离原来的位置水平二尺远．其平面示意图如图所示，于点，尺，尺，则的长为（ ）
A．3尺 B．4尺 C．尺 D．尺
44．《九章算术》中有个关于门和竹竿的问题：今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出．问户高几何？译文：现有一扇门，不知道门的高度和门的宽度是多少，现有一支竹竿，不知竹竿的长短是多少．横着放竹竿比门宽多出4尺，竖着放竹竿比门高多出2尺，斜着放恰好与门的对角线一样长，如图．设门的对角线长为x尺，可列方程为______．
45．如图是一个饮料罐，下底面直径是，上底面半径是，高是，上底面盖子的中心有一个小圆孔．若一条到达底部长的直吸管如图放置，则在罐外部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）是______．
46．如图是一圆柱玻璃杯，从内部测得底面半径为，高为，现有一根长为的吸管任意放入杯中，则吸管露在杯口外的长度最少是_______
47．《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈（1丈尺）的正方形．在水池正中央O处有一根芦苇，它高出水面的部分为1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面，即．
(1)求水池的深度．
(2)数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，给出了这类问题的一般解法．其解法可表示为：如图，将水池底面边长记作2a，O为的中点，水的深度记作b，芦苇高出水面的部分记作，则水池的深度b可通过计算得到．请说明此解法的正确性．
题型七、地毯问题
48．如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，则地毯的长至少需要（ ）
A．7m B． C．8m D．
49．如图，在高2米，坡角为的楼梯表面铺地毯，地毯的长需（　　）米．
A． B．2 C． D．
50．如图所示为一楼梯的侧面示意图，其中垂直高度米，斜边长米，楼梯的宽度为3米．现需在楼梯的所有台阶表面铺设地毯，要求地毯完全覆盖每个台阶的水平踏面和垂直竖面，则铺设整个楼梯至少需要___________平方米的地毯．
51．如图是一个三级台阶它的每一级的长、宽和高分别等于和，A和B这个的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，这只蚂蚁从A点出发，沿着面爬到B点，最短线路为______．
52．如图所示是一段楼梯，高是5米，斜边长是13米．如果在楼梯上铺地毯，每平方米的地毯售价是150元，楼梯宽为2米．那么购买这种地毯至少需要______________元．
53．如图1，是一段楼梯的示意图，截面是一个直角三角形．已知直角边长，斜边的长是．现打算在楼梯上铺地毯，每平方米的地毯售价是150元，楼梯宽为．那么购买这种地毯至少需要多少元？
54．某学校为防止雨天地滑，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图所示，已知，，．
(1)求的长；
(2)若已知楼梯宽，每平方米地毯25元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗）
题型八、受影响问题
55．今年，第十五号台风登陆江苏．如图，A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方向的B处，正以的速度沿方向移动．已知A市到的距离，如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市经过（ ）个小时开始受到台风影响．
A． B． C．6 D．
56．如图，铁路和公路在点处交汇，．公路上处距点240米，如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路上沿方向以20米/秒的速度行驶时，处受噪音影响的时间为（ ）

A．12秒 B．16秒 C．20秒 D．30秒
57．如图，铁路和公路在点O处交会，两条路的夹角，在射线上拟建造一栋居民楼A．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响，居民楼A离点O的距离至少是______米时，居民楼不会受到噪音的影响．若因客观原因，居民楼A离点O的距离为300米，如果火车行驶的速度为72千米/小时，居民楼受噪音的影响时间约为______秒（，结果精确到秒）．
58．如图，某城市接到台风警报，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离．已知在距台风中心的圆形区域内都会受到不同程度的影响，若在点D的工作人员早上接到台风警报，台风开始影响到台风结束影响要做预防工作，则他们要在______时间段内做预防工作．
59．如图，在甲村到乙村的公路旁有一块山地正在被开发，现有一C处需要爆破．已知点C与公路上的停靠站A的距离为，与公路上的另一停靠站B的距离为，且，为了安全起见，爆破点C周围半径范围内不得进入，问：在进行爆破时，公路段是否有危险？是否需要暂时封锁？
60．如图，某沿海城市接到台风预警，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市到的距离为．
(1)求台风中心从点移到点的距离的长？
(2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风的影响，那么市受到台风影响的时间持续多少小时？
61．如图，一艘轮船以的速度沿既定航线由南向北航行，途中接到台风警报，某台风中心正以的速度由东向西移动，距台风中心的圆形区域（包括边界）都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心移动路线的最近距离400，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离也是．
(1)如果这艘船不改变航向，那么它会不会进入台风影响区？
(2)假设轮船航向不变，航行速度不变，航行到受台风影响的警戒线外立即停止航行，求它至少需要停止航行多少小时？
题型九、最短距离问题
62．如图，一个长方体盒子长，宽，高．如果在盒子外表面从点A到点G粘贴装饰条，装饰条的最小长度为，这个长方体盒子内能容下木棒的最大长度为，则a，b的值为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
63．为筹备文化艺术节，同学们设计了一个圆筒形灯罩装饰会场，然后圆筒壁缠绕红丝线，如图所示：已知圆筒的高为，其横截面圆的周长为，点在点的正上方，过点和点缠绕一圈红丝线，裁剪的红丝线至少（ ）．
A． B． C． D．
64．“低空经济”是以各类低空飞行活动为牵引，辐射带动相关领域融合发展的综合性经济形态．某无人机从物流集散地A到收货点C的路线受阻而采用备用路线，先垂直起飞300米至B处，再水平飞行400米到达收货点C．若路线未受阻，此次无人机的最短飞行距离是（ ）
A．400米 B．450米 C．500米 D．600米
65．如图，长方体的长为，宽为，高为，点离点的距离是，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程是_______．
66．如图，六块完全相同的长方体砖整齐地摆放在一起，其中．若一只蚂蚁要从点A处爬到点B处，则蚂蚁爬行的最短距离是__________________．
67．如图，一个正六棱柱的礼品盒子底面边长为，盒子高为，点在顶点正上方处．用红色彩带从顶点开始，绕礼盒侧面一圈到点，再用黄色彩带从点开始绕侧面到顶点装饰，则红色与黄色彩带的总长度至少为_______．
68．如图，已知线段是圆柱底面的直径，圆柱底面的周长为，圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点两点嵌有一圈长度最短的金属丝．

(1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是______；
(2)求该金属丝的长．
69．【问题情境】
贵安新区某学校八年级某班学生学习勾股定理后，该班数学兴趣小组开展了实践活动，测得该学校一个四级台阶每一级的长、宽、高分别为，如图1所示．和是这个四级台阶两个相对的端点，若点处有一只蚂蚁，它想到点处的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是多少？
（1）数学兴趣小组经过思考得到如下解题方法：如图2，将这个四级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则______________．
【变式探究】
（2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是，高是，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到与点相对的点处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？
【拓展应用】
（3）如图4，在（2）的条件下，在杯子内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离杯子上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计）
70．综合与实践
(1)如图1，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距40千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米．①尺规作图：在边上作出一点，使；（不写作法，保留作图痕迹）
②在①的条件下，求的距离；
(2)借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值为_____．
1．小星学习了最短路径问题后，做了一个高为，底面圆的周长为的圆柱（如图①），他在圆柱下底面的点处放了一只蚂蚁，请结合以上描述完成下列任务．
任务一：蚂蚁想吃到圆柱侧面上与点相对的中点处的食物，则它沿圆柱侧面爬行的最短路程是___________
任务二：小星把圆柱的高变为，底面圆的周长不变（如图②），他把蚂蚁放在底部处，帮蚂蚁设计了一条沿圆柱侧面爬行的最短路径去吃上底面上与点相对的点处的食物，吃完后再设计另一条与前一条不一样的最短路径回到点处（此时两点重合）小星沿着竖直方向将圆柱剪开，得到长方形（如图③，当他分别画出这两条路径时，猜想平分，请根据题意，在图③中补全图形，并判断他的猜想对吗？请说明理由．
任务三；小星准备了一张边长为的正方形纸片（如图④），点为中点，他将沿对折到正方形内部的位置，并把线段抹上了蜂蜜，他把蚂蚁放在点处，不计蜂蜜的宽度，你能帮小星计算出蚂蚁能吃到蜂蜜的最短路程吗？请写出解答过程．
2．如图，攀枝花市某地一条公路旁有两个居民点C、D，它们各自到公路的垂直距离、分别为、，公路上的A、B两地相距，现准备在公路上修建一所医院E，因两地居民需求基本一致，考虑选择合适的地点建造，使得两地到医院的距离相等．
(1)试在图上用尺规作图确定医院E的建造位置（提示：不写作法，保留作图痕迹，先用铅笔圆规直尺画图，确定无误之后再用中性笔加粗描绘）
(2)求出该医院离A地的距离．（提示：若第（1）问未完成，可画简图完成此问）
3．2025年9月，台风“桦加沙”在广东珠江口附近登陆，中心附近最大风力达14级（强台风级别）到达深圳附近时，风力减小为七级．已知七级风圈半径约（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受到台风影响）．如图，线段表示台风中心在深圳附近从地向西北方向移动到地的路径，是深圳市某观测点，且．已知之间相距之间相距．
(1)判断观测点是否会受到台风“桦加沙”的影响，并说明理由．
(2)若台风中心的移动速度为，则观测点受台风影响的时间有多长？
4．如图，已知某高速公路限速，一辆大巴车在这条公路上沿直线行驶，与这条路平行的直线上的点处有一车速检测仪．某一时刻，大巴车刚好行驶到车速检测仪处正前方的处，经过后，大巴车到达处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为．
(1)求的距离；
(2)通过计算说明这辆大巴车是否超速．（参考数据）
5．如图，，分别是两个港口，，是海上两座小岛景点，在正北方向千米处，在北偏东方向， 千米，在的南偏西60°方向，且在北偏西方向．（参考数据：）
(1)求港口和小岛的距离为多少千米（结果保留小数点后一位）；
(2)一艘货船从港口出发沿前往港口，同时一艘观光船也从港口出发，沿路线前往小岛，货船的速度与观光船的速度之比为，出发小时后观光船在由到的途中且离港口的直线距离与离货船的直线距离正好相等．求货船从港口出发多少小时后到达港口（结果保留小数点后一位）．
6．“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题．
(1)线段，于点A且，于点B且，点P为线段上任意一点，则图1中最小值为________；图2中最小值为________；
(2)如图3，中，，，，点D是边的中点，点P是边上任意一点，则的最小值是________；
(3)如图4，中，且，作于点D，过A点的射线m始终平行于，点E是高上任意一点，点F是射线m上一点，点G是线段上一点，且始终保持，则的最小值为________；则的最小值为________．
7．背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法．
小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然，
，．请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理：
，
，
，
则它们满足的关系式为 经化简，可得到勾股定理．
知识运用：
（1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为 千米（直接填空）；
（2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图2中作出P点的位置并求出的距离．
知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值中小学教育资源及组卷应用平台
勾股定理的实际应用 培优题型专练
题型一、梯子滑落问题
1．如图所示，一个梯子长米，顶端A靠在墙上，这时梯子下端B与墙角C距离为米，梯子滑动后停在的位置上，测得长为米，则梯子顶端A下滑了（ ）米．
A．1 B．2 C．0.5 D．2.5
【答案】C
【分析】根据题意，利用勾股定理求出，，计算即可求解．
【详解】解：由题可知，，米，米，米，
在中，，
，
，
在中，，
，
则梯子顶端A下滑了米．
2．如图，一架长的梯子靠在墙上，梯子底端离墙，如果梯子的顶端下滑，那么梯子的底端将滑动（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．利用勾股定理进行解答，求出下滑后梯子底端距离墙角的距离，再计算梯子底端滑动的距离即可．
【详解】解：梯子顶端距离墙角的距离为：
，
梯子的顶端下滑后，顶端距离墙角的距离：
，
顶端下滑后梯子底端距离墙角的距离为：
，
梯子的底端滑动的距离为：
．
故选：C．
3．某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘D处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与E处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（D是B的对应点），顶部边缘B处到桌面的距离为，则底部边缘A处与C之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解此题的关键．
先由勾股定理可得，再由勾股定理计算即可得解，
【详解】解：根据题意得
在中，，，
，
∴，
在中，，，
，
∴，
∴底部边缘A处与C之间的距离的长为．
故选：D．
4．如图，已知消防云梯最长只能伸长到，消防车高，救援时云梯伸长至最长，在完成从高的A处救援后，还要完成比A处高的点C处的救援，则消防车需要从点B处向点D处移动的距离为（ ）．
A．8 B．7 C．4 D．3
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意，运用勾股定理求解是解题的关键．
由题意得，，，，，则，，先在中求出，再在中求出，即可由求解．
【详解】解：由题意，得，，，，
∴，，
在中，由勾股定理，得
，
在中，由勾股定理，得
，
∴，
即消防车需要从点处向点处移动的距离为．
故选：A．
5．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，当梯子位于时，，．如果梯子顶端下滑（即），那么梯子的底端B向右滑动_________．
【答案】
【分析】根据勾股定理，得，设，则，，再次使用勾股定理解答即可．
【详解】解：根据勾股定理，得，
设，则，，
根据勾股定理，得，
解得，负的舍去，
故即梯子的底端B向右滑动．
故答案为：．
6．消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高4米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离为15米，完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方4米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从A处向着火的楼房靠近移动到C，请问______米．
【答案】8
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键．在△中，根据勾股定理求出的长，在△中，由勾股定理求出的长，利用即可得出结论．
【详解】解：在△中，
米，米，
（米，
米，米，
（米，
（米，
（米．
故答案为：8．
7．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，且，若梯子的顶端沿墙下滑到点处，这时梯子的底端也向右移动到点处，则的长度为_____．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．设，利用勾股定理用表示出和的长，进而求出的值，即可求解．
【详解】解：设，
由题意得：，，，
在中，根据勾股定理得：，
在中，根据勾股定理得：，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：．
8．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮．一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计）
(1)求绳子的总长度；
(2)如图2，若物体升高，求滑块向左滑动的距离．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）在中利用勾股定理直接计算即可；
（2）由（1）得绳子的总长度为，得到，在中利用勾股定理求出，再利用线段和差即可解答．
【详解】（1）解：由题意得，，，，
在中，，
，
．
答：绳子的总长度为．
（2）解：如图，
由题意得，，，
，
由（1）得，绳子的总长度为，
，
在中，，
，
，
答：滑块向左滑动的距离为．
9．如下图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一根竹竿斜靠在左墙时，竹竿底端到左墙角的距离为，顶端距墙顶的距离为．若保持竹竿底端位置不动，将竹竿斜靠在右墙时，竹竿底端到右墙角的距离为，顶端距墙顶的距离为．已知点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，，．
(1)求墙的高度．
(2)求竹竿的长度．
【答案】(1)墙的高度为
(2)竹竿的长度为
【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，解题关键是通过设未知数，利用“竹竿长度不变”这一等量关系建立方程，从而将几何问题转化为代数方程求解．
（1）这是一个勾股定理的实际应用问题，我们可以设墙的高度为米，那么两次竹竿斜靠时的顶端到地面的距离分别是 和．竹竿长度不变，所以可以利用勾股定理分别表示出两次竹竿的长度，建立方程求解．
（2）在求出墙高后，代入勾股定理表达式即可求出竹竿的长度．
【详解】（1）解：设墙的高度为h米，竹竿长度为L米．
在中，；
在中，．
∵两次竹竿长度相等，
∴．
展开并化简：
．
故墙的高度为．
（2）解：将代入的勾股定理式：
故竹竿的长度为．
10．《国务院关于印发全民健身计划（2021—2025年）的通知》文件提出，加大全民健身场地设施供给，进一步增加全民健身的热情．我市某健身广场为方便群众夜间健身活动，在广场部分位置加装照明灯，向阳兴趣小组利用课余时间测量照明灯灯板的长，因不方便直接测量，设计方案如下：
课题 测量照明灯灯板的长
方案及说明 工具 竹竿、米尺
方案及图示
相关数据及说明 竹竿长度为，灯板垂直地面于点，线段，表示同一根竹竿．第一次将竹竿的一个端点与点重合，另一个端点落在地面的点处，第二次将竹竿的一个端点与点重合，另一个端点落在地面的点处．已知m，m
计算过程 ……
请根据上述方案中的内容，计算的长．
【答案】m
【分析】本题考查了勾股定理，先计算，再计算，最后相减即可得到．
【详解】解：由题意可知，
在中，
，，
，
在中，
，，
，
∴．
题型二、旗杆高度问题
11．如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理；
设绳索的长是，则，故，在中，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：设绳索的长是，则，
∵，，
∴，
∴，
在中，，
根据勾股定理，得，
∴，
解得，，
∴绳索的长是，
故选：B．
12．勾股定理是一种用代数思想解决几何问题的重要工具.如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直.设绳索的长是，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的应用，由题意可知，，，，设，根据勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：由题意可知，，，，
∴
设，则，
由勾股定理得：，
∴，
故选：D．
13．如图，要从电线杆离地面5米的点C处向地面拉一根长为13米的钢缆，则地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离为（ ）
A．12米 B．11米 C．10米 D．9米
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理．电线杆、地面、钢缆正好构成直角三角形，根据勾股定理直接解答本题．
【详解】解：电线杆、地面、钢缆正好构成直角三角形，
由题意知：米，米，
（米）
故选：．
14．某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间测量校园内旗杆的高度．第一次操作：如图①，将系在旗杆顶端的绳子自然下垂到地面，绳子多出的一段在地面拉直后记作，用皮尺量出的长度为．第二次操作：如图②，将绳子拉直，绳子末端落在地面上的点F处，用皮尺量出的长度为．则旗杆的高度为______m．
【答案】
【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键，由①得，绳子的长度比旗杆的高度多，设旗杆的高度为，则绳子的长度为，在中，由勾股定理得，列出方程，并解方程即可得到答案．
【详解】解：由①得，绳子的长度比旗杆的高度多，
设旗杆的高度为，则绳子的长度为，
在中，，，
由勾股定理得：，则，
整理得：，
解得：，
∴旗杆的高度为，
故答案为：．
15．如图，升旗的绳子自由下垂到地面还多出一段，小霞在绳子与地面接触处打了一个结，然后将绳子拉直使其末端接触地面，此时绳子末端距离旗杆底端，并测得绳子末端距离打结处，则旗杆的高度为__________
【答案】9
【分析】本题考查了勾股定理的应用，理解题意，设出未知数，由勾股定理列出方程是关键；设旗杆的高度为，则可表示出绳子的长度，由勾股定理即可列出方程，解方程即可．
【详解】解：设旗杆的高度为，则绳子的长度为，
由勾股定理得：，
解得：，
所以旗杆的高度为；
故答案为：9．
16．如图，《九章算术》中有这样一道古题：今有一竖直的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有二尺（绳索比木柱长2尺），牵着绳索退行，在距木柱底部6尺（）处时绳索用尽，则木柱长为__________尺．
【答案】8
【分析】本题考查了勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．设木柱长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可．
【详解】解：设木柱长为x尺，根据题意得：
，
则，
解得：，
答：木柱长为尺．
故答案为：．
17．阅读与思考
下面是小聪同学的数学日记，请仔细阅读，并解答问题．
今天，我在参加学校举办的升国旗仪式时，发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面时，其末端刚好与旗杆底端重合，那么，能不能借助这段绳子的长度测量旗杆的高度呢？我设计了如下测量方案：
【测量方案】
如图，线段表示旗杆，点A是旗杆的顶端，用手拉住绳子末端，从点B处后退，当绳子拉直时，其末端恰好落在宣传栏上的点D处，此时测得点D到地面的距离为2米，B，C两点之间的距离为8米，已知A，B，C，D四点均在同一竖直平面内．
【计算过程】
解：如图，过点D作于点E，
∴米，米，
…
请将小聪的计算过程补充完整．
【答案】旗杆的高度为17米
【详解】解：由题意知，四边形是矩形，
∴米，米，
设旗杆的高度为x米，
则的长度为米，
在中，，，，
由勾股定理得：，即，
解得：，
∴旗杆的高度为17米．
18．小华同学在公园放风筝，如图1所示，其中点为风筝所在的位置，为牵线放风筝的手到风筝的水平距离，为风筝线的长度，为风筝到地面的垂直距离，测得长为24米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米，小华的身高为1.8米．
(1)在图1中根据测量数据，计算出此时风筝离地面的垂直高度．
(2)如图2，若想要风筝沿方向再上升8米到达点，且风筝线的长度不变，则他应该朝射线方向前进多少米？
【答案】(1)此时风筝离地面的垂直高度为米
(2)他应该朝射线方向前进4米
【分析】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理公式．
（1）首先根据勾股定理求出米，进而求解即可；
（2）首先得到米，米，然后根据勾股定理求出米，进而求解即可．
【详解】（1）解：中，
米，
米，
答：此时风筝离地面的垂直高度为米；
（2）解：米，
由题意可得：米，
中，
米，
米．
答：他应该朝射线方向前进4米．
题型三、小鸟飞行距离问题
19．两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖，另一只朝左挖，每分钟挖，10分钟之后两只小鼹鼠相距（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理的应用．
根据题意，可得小鼹鼠朝前挖的距离和朝左挖的距离，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：，
，
，
∴10分钟之后两只小鼹鼠相距．
故选：B．
20．如图，有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）
A．6米 B．5米 C．4米 D．3米
【答案】B
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
【详解】解：如图过点B作于点C，则米，米，
∴米，
∴米，
∴小鸟至少飞行米，
故选：B．
21．有两棵树，一棵高6米，另一棵高1米，两树相距6米，一只小鸟要从一棵树的树顶到另一棵树的树顶，至少需要飞______米．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，理解题意是解决本题的关键．
设大树高为，小树高为，过C点作于E，则是长方形，连接，则，，，在中，根据勾股定理求得即可．
【详解】解：如图，设大树高为，小树高为，过C点作于E，则是长方形，连接，
∴，，，
在中，，
∴小鸟至少飞行．
故答案为：．
22．如图，两树的高分别为米和4米，相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则这只鸟至少飞行________米．
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出，熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键．
【详解】如图，过C点作于E，则四边形是矩形，连接，
设大树高为，小树高为，
∴，，，
在中，
答：小鸟至少飞行米，
故答案为：
23．如图，某校校庆时，从教学楼楼顶的点A处向围墙上的点B处拉彩旗．已知点B和教学楼的水平距离为，教学楼高，围墙高，问至少需要多长的彩旗带？
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的应用．
过B作于D，可知，，进而求出，根据计算即可．
【详解】解：过B作于D，
∴，，
∴（），
在中，，
∴（），
答：至少需要的彩旗带．
24．如图，树根下有一个蛇洞，树高，树顶有一只鹰，它看见一条蛇迅速向洞口爬去，与洞口的距离还有3倍树高时，鹰向蛇扑过去．如果鹰与蛇的速度相等，鹰与蛇的路线都是直线段，请求出鹰向何处扑击才能恰好抓到蛇．
【答案】鹰向离树的地方扑击才能恰好抓到蛇
【分析】此题考查了勾股定理的应用，设的长为，根据勾股定理列出方程求解即可．
【详解】如答图，
设点D处为树顶，鹰向点B处扑去才能正好抓住蛇，由题意，得，
设的长为，则，
解得．
答：鹰向离树的地方扑击才能恰好抓到蛇．
25．如图，有两棵树，一棵高米（米），另一棵高米（米），两树相距米（米）．

(1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？
(2)如图，台风过后，高米的树在点处折断，大树顶部落在点处，则树折断处距离地面多少米？
【答案】(1)米
(2)米
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．
（1）根据“两点之间，线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，飞行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出；
（2）由勾股定理求出的长，即可求解．
【详解】（1）解：两棵树的高度差为（米），两树相距米（米），
根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离（米），
答：至少飞了米；
（2）解：由勾股定理得：，
，
解得：，
答：树折断处距离地面米．
题型四、大树折断问题
26．由于大风，山坡上的一棵树甲从点处被拦腰折断，其顶点恰好落在一棵树乙的底部处，如图所示．已知，，两棵树的水平距离是，则甲树原来的高度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键在于能够熟练掌握勾股定理．
如图，过点作交的延长线于点．则根据题意可以得到，根据勾股定理即可求出的长，再利用勾股定理求出的长，可得到的长，即为甲树原来的高度．
【详解】解：如图，过点作交的延长线于点．
由题意，得，，．
在中，，
．
在中，，
．
故甲树原来的高度是．
故选：C．
27．我国古代数学著作《九章算术》中记载“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？（一丈尺，本指竹子根部）．其大意是，一根竹子高尺，从某处折断后，竹子顶端落在离根部尺处，那么折断处离地面的高度是（ ）

A．尺 B．尺 C．尺 D．尺
【答案】D
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，设折断处离地面的高度是尺，则竹子折断处离竹子顶端为尺，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：设折断处离地面的高度是尺，则竹子折断处离竹子顶端为尺，
由勾股定理得： ，
解得 ，
即折断处离地面的高度是尺．
故选：D．
28．《九章算术》是我国古代重要的数学著作．书中记载的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高20尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺，设为尺，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，设为x尺，则尺，运用勾股定理列出方程求解即可．
【详解】解：设为x尺，则尺，根据勾股定理得：
，
则，
即，
故选：D．
29．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈等于十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，设竹子折断处离地面的高度为x尺，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理的应用，竹子折断后刚好构成一个直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为尺，利用勾股定理解题即可．
【详解】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为尺，
由勾股定理得：，
故选：A．
30．水杉是一种非常著名且独特的树种，被誉为植物界的“活化石”．如图，一棵水杉在离地5米（点）处折断，水杉的顶端（点）落在离水杉底端（点）12米处，则这棵水杉折断之前的高度为___________米．
【答案】18
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理在实际生活中的运用能力，是解题的关键．
由题意得，在直角三角形中，已知两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，进而可得这棵水杉折断之前的高度．
【详解】解：∵，
∴折断的部分长为（m），
∴折断前高度为（m）．
故答案为：18．
31．《九章算术》中有“折竹抵地”的故事，原文为：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？其意为：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部尺远.（注：丈尺）请问折断后竹子离地面的高度为_______尺．
【答案】
【分析】本题考查的知识点是勾股定理的实际应用、一元一次方程的实际应用，解题关键是利用勾股定理建立方程并求解．
设折断处离地面的高度为尺，则斜边长为尺，根据勾股定理，建立方程求解即可．
【详解】解：设折断处离地面的高度为尺，则斜边长为尺，
根据勾股定理得，
，
化简得，
即，
解得，
即折断处离地面的高度为尺．
故答案为：．
32．如图，有一棵大树被大风吹折，折断处与地面的距离，折断处与折断后树的顶端的距离．在大树倒下的方向上的点处停着一辆小轿车，的距离为，求的距离．
【答案】的距离为
【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，熟记在直角三角形中两直角边的平方的和等于斜边的平方是解题关键．
先对运用勾股定理求解，再由线段和差计算即可．
【详解】解：由题意得，，
∴，
∴，
答：的距离为．
题型五、航海问题
33．一艘轮船以海里／小时的速度离开港口向东南方向航行，另一艘轮船在同时同地以海里／小时的速度向西南方向航行，离开港口小时，两艘轮船的距离是（ ）
A．海里 B．海里 C．海里 D．海里
【答案】A
【分析】本题考查勾股定理在实际生活中的应用．根据两艘轮船的航行路线夹角为，构成直角三角形，再通过勾股定理计算两船距离即可解答．
【详解】解：东南方向与西南方向的夹角为，
两艘轮船的航行路线构成直角三角形，
第一艘轮船小时行驶的路程为（海里），第二艘轮船小时行驶的路程为（海里），
根据勾股定理，两艘轮船的距离为（海里），
故选：．
34．一次游学活动中，小杰从营地出发，沿北偏东方向走了米到达处，然后再沿北偏西方向走了米到达目的地处(如图所示)，那么，两地的距离是( )
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】D
【分析】本题考查勾股定理的实际应用与方向角的意义，关键是通过方向角的关系判断出为直角三角形，再利用勾股定理计算斜边的长度．
【详解】解：如图，直线，
∴，
∵，
∴，
∴为直角三角形．
∵，，
∴，
故选：D．
35．如图，某海域有相距的岛和岛．甲船先由岛沿北偏东方向走了到达岛，然后再从岛走了到达岛，此时甲船位于岛的（ ）
A．北偏东方向上 B．北偏西方向上
C．北偏西方向上 D．北偏西方向上
【答案】B
【分析】先用勾股定理判断三角形的形状，再结合方位角与直角三角形性质确定C相对于B的方位角；
本题考查了方位角，熟练掌握方位角相关内容是解题的关键．
【详解】解：如图，由题意，得，，，，．
，，
，
是直角三角形，
．
，
，
，
∴此时甲船位于岛的北偏西方向上．
故选：B．
36．一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的最短距离是．则岛和港之间的距离（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查勾股定理的应用．根据题意，利用勾股定理求出的长度，再求出的长度，再用勾股定理求出的长度即可．
【详解】解：由题意，得：，，
中，，
由，
∴，
中，，
答：C岛和A港之间的距离．
故选：C．
37．如图，甲、乙两艘客轮同时离开港口，甲客轮航行的速度是，乙客轮航行的速度是，一段时间后，甲到达地，乙到达地．若，两地的直线距离为1500m，且，则乙客轮航行的距离是____________m．
【答案】1200
【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理在直角三角形中的应用是解题的关键．
设航行时间为秒，用表示与的长度，在中用勾股定理列方程求，再计算乙航行的距离．
【详解】解：∵甲、乙两客轮同时从港口出发，航行时间相同，设为秒
∴甲客轮航行的距离米，乙客轮航行的距离米
∵，且两地的直线距离米
∴在中，根据勾股定理，有
∴
∴
∴
∴
∴秒。
∴乙客轮航行的距离是
故答案为： 1200．
38．如图，甲，乙两船同时从港口O出发，甲以20海里/时的速度向南偏东方向航行，乙船向南偏西方向航行，已知它们离开港口两小时后，两船相距50海里，则乙船的速度为______海里/时．
【答案】15
【分析】本题考查勾股定理，方向角的概念，关键是应用勾股定理求出的长．由勾股定理求出的长，即可解决问题．
【详解】解：由条件得：(海里)，(海里)，
而，
∴ (海里)，
∴乙船的速度是(海里/时)．
故答案为：15．
39．春节来临，人们对海鲜的需求加大，因此各渔船主都加紧出海捕捞．如图，某日琼州湾两艘渔船A和B与某灯塔C位置如图，其中A在C的北偏西方向上，与C的距离是600海里，B在C的南偏西方向上，与C的距离是450海里．
(1)求渔船A与渔船B之间的距离．
(2)若C处灯塔发射的信号有效覆盖半径为390海里，此时B渔船准备沿直线向A渔船靠拢航行，航行的速度为每小时25海里．求B渔船在驶向A渔船的过程中，收到信号的持续时间有多少小时？
【答案】(1)750海里
(2)12小时
【分析】本题考查勾股定理的应用和方向角，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）根据方向角，易得，再根据勾股定理，计算即可求解．
（2）过点C作交于点H，在上取点D，E，使得海里，根据等面积法，可得，根据勾股定理，求出，从而得出，计算即可求解．
【详解】（1）解：由题意，得：，，
，
海里，海里，
（海里），
即渔船A与渔船B之间的距离为750海里；
（2）过点C作交于点H，在上取点D，E，使得海里，
，
，
，
（海里），
海里，
（海里），
则（海里），
行驶时间为（小时），
答：B渔船在驶向A渔船的过程中，收到信号的持续时间有12小时．
题型六、水中筷子问题
40．《醉翁亭记》中写道：“……射者中……”，其中“射”指投壶，宴饮时的一种游戏．如图，现有一圆柱形投壶，内部底面直径是，内壁高，若箭长，则箭在投壶外面部分的长度可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查勾股定理的应用，求出箭在投壶外面部分的最大长度和最小长度即可判断求解，利用勾股定理求出箭在投壶外面部分的最小长度是解题的关键．
【详解】解：由题意，箭在投壶外面部分的长度最长为，
最小长度为，
故箭在投壶外面部分的长度可能是，
故选：D．
41．《醉翁亭记》中写道：…射者中…，其中射指投壶，宴饮时的一种游戏，如图示，现有一圆柱形投壶内部底面直径是，内壁高，若箭长，则箭在投壶外面部分的长度不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理并能求出箭在投壶内部的最大长度是解题的关键．先利用勾股定理求出箭在投壶内部的最大长度，再用箭的总长度减去这个最大值，得到箭在投壶外面部分的最小长度，最后判断选项中哪个数值小于这个最小长度．
【详解】解：如图，
∵投壶内部底面直径，内壁高，
∴箭在投壶内部的最大长度
∵箭总长为，
∴箭在投壶外面部分的最小长度为：，
箭在投壶外面部分的最大长度为：，
∴箭在投壶外面部分的长度不可能为．
故选：．
42．今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？（选自《九章算术》），题目大意：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面．这个水池的深度和这根芦苇的长度各是（ ）（“尺”“丈”是我国传统长度单位，1丈尺）
A．10尺，11尺 B．11尺，12尺 C．12尺，13尺 D．13尺，14尺
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理的实际应用，设尺，则尺，在中，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：设尺，则：尺，
在中，，
∴，
解得，
∴尺，尺，
即这个水池的深度和这根芦苇的长度各是12尺，13尺，
故选：C．
43．有一首古算诗：“波平如镜一湖面，半尺高处生红莲．亭亭多姿湖中立，突遭狂风吹一边．离开原处二尺远，花贴湖面似睡莲．”其大意为：湖面平静如镜，红莲高出水面半尺，姿态优美地立在湖中央，突然被风吹斜后花尖恰好触及水面，且离原来的位置水平二尺远．其平面示意图如图所示，于点，尺，尺，则的长为（ ）
A．3尺 B．4尺 C．尺 D．尺
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，正确理解题意、运用勾股定理建立方程是解题的关键．设的长度为x尺，则，在中，然后由勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：设的长度为尺，则，
在中，，即，
解得：，
∴的长度为尺．
故选：C．
44．《九章算术》中有个关于门和竹竿的问题：今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出．问户高几何？译文：现有一扇门，不知道门的高度和门的宽度是多少，现有一支竹竿，不知竹竿的长短是多少．横着放竹竿比门宽多出4尺，竖着放竹竿比门高多出2尺，斜着放恰好与门的对角线一样长，如图．设门的对角线长为x尺，可列方程为______．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意是解题的关键．先表示出门高和门宽，再根据勾股定理列方程即可．
【详解】解：根据题意可知，门高为尺，门宽为尺，
由勾股定理，得．
故答案为：．
45．如图是一个饮料罐，下底面直径是，上底面半径是，高是，上底面盖子的中心有一个小圆孔．若一条到达底部长的直吸管如图放置，则在罐外部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）是______．
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理，作于点，则，依题意得，，在中，，然后通过线段的和与差即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，作于点，则，
依题意得，，，
在中，，
∴在罐外部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）是，
故答案为：．
46．如图是一圆柱玻璃杯，从内部测得底面半径为，高为，现有一根长为的吸管任意放入杯中，则吸管露在杯口外的长度最少是_______
【答案】5
【分析】设圆柱的底面圆的直径为，高为，根据勾股定理得到，解答即可．
本题考查了勾股定理，圆柱的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】解：设圆柱的底面圆的直径为，高为，
由底面半径为，高为可得
根据勾股定理得到，
故，
故答案为：5．
47．《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈（1丈尺）的正方形．在水池正中央O处有一根芦苇，它高出水面的部分为1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面，即．
(1)求水池的深度．
(2)数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，给出了这类问题的一般解法．其解法可表示为：如图，将水池底面边长记作2a，O为的中点，水的深度记作b，芦苇高出水面的部分记作，则水池的深度b可通过计算得到．请说明此解法的正确性．
【答案】(1)12尺
(2)
【分析】本题考查了勾股定理的应用；
（1）设水池深度为x尺，则得芦苇高度为尺，在中，利用勾股定理建立方程即可求解；
（2）由水池深度，则得芦苇高度为，由题意有：；由勾股定理即可得证．
【详解】（1）设为x尺，
则，尺．
在中，，
由勾股定理，得
．
．
解得 ．
答：水池的深度为12尺．
（2）图中，，，
则，，
在中，，
由勾股定理，得．
．
解得．
题型七、地毯问题
48．如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，则地毯的长至少需要（ ）
A．7m B． C．8m D．
【答案】D
【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
根据勾股定理得出，再计算楼梯表面铺地毯需要的长度即可．
【详解】解：根据勾股定理得，，
则铺地毯的长为，
故选：D．
49．如图，在高2米，坡角为的楼梯表面铺地毯，地毯的长需（　　）米．
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理的应用．地毯的竖直的线段加起来等于，水平的线段相加正好等于，即地毯的总长度为．
【详解】解：如图，在中，，，，
∴，
∴，
∴．
故选C．
50．如图所示为一楼梯的侧面示意图，其中垂直高度米，斜边长米，楼梯的宽度为3米．现需在楼梯的所有台阶表面铺设地毯，要求地毯完全覆盖每个台阶的水平踏面和垂直竖面，则铺设整个楼梯至少需要___________平方米的地毯．
【答案】
【分析】本题考查勾股定理的应用．根据勾股定理求出的长度，再计算出楼梯铺地毯的总长度，进而求出所铺地毯的面积即可．
【详解】解：在中，，米，米，
由勾股定理得，米，
在楼梯上铺地毯需要的长度为米，
需要铺地毯的面积为平方米，
故答案为：．
51．如图是一个三级台阶它的每一级的长、宽和高分别等于和，A和B这个的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，这只蚂蚁从A点出发，沿着面爬到B点，最短线路为______．
【答案】13
【分析】考查了利用台阶的平面展开图求最短路径问题，根据题意判断出长方形的长和宽是解题关键．只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个长方形，蚂蚁要从A点到B点的最短距离，便是长方形的对角线，利用勾股定理即可解出答案．
【详解】解：将台阶展开，如下图，
因为，
所以，
所以，
所以蚂蚁爬行的最短线路为．
故答案为：．
52．如图所示是一段楼梯，高是5米，斜边长是13米．如果在楼梯上铺地毯，每平方米的地毯售价是150元，楼梯宽为2米．那么购买这种地毯至少需要______________元．
【答案】
【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
根据勾股定理求出的长度，再计算出楼梯铺地毯的总长度，进而求出所铺地毯的面积，从而计算所需的费用即可．
【详解】解：在中，，米，米，
由勾股定理得，米，
在楼梯上铺地毯需要的长度为米，
需要铺地毯的面积为平方米
因此，购买这种地毯至少需要的费用为元，
故答案为：．
53．如图1，是一段楼梯的示意图，截面是一个直角三角形．已知直角边长，斜边的长是．现打算在楼梯上铺地毯，每平方米的地毯售价是150元，楼梯宽为．那么购买这种地毯至少需要多少元？
【答案】5100元
【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．理解题意，运用勾股定理得，则得出在楼梯上铺地毯需要的长度，然后结合楼梯宽为，以及每平方米的地毯售价是150元，进行列式计算，即可作答．
【详解】解：在中，，，
由勾股定理得，，
在楼梯上铺地毯需要的长度为，
∵楼梯宽为，
∴需要铺地毯的面积为，
∵每平方米的地毯售价是150元，
∴购买这种地毯至少需要的费用为（元）．
54．某学校为防止雨天地滑，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图所示，已知，，．
(1)求的长；
(2)若已知楼梯宽，每平方米地毯25元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗）
【答案】(1)的长为；
(2)元
【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出的长度是解题的关键．
（1）由勾股定理列式计算即可；
（2）由长方形面积公式计算即可．
【详解】（1）解：∵，，，
，
答：的长为；
（2）解：地毯长为：，
∴地毯的面积为，
每平方米地毯25元，
需要花费（元）；
答：需要花费元地毯才能铺满所有台阶．
题型八、受影响问题
55．今年，第十五号台风登陆江苏．如图，A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方向的B处，正以的速度沿方向移动．已知A市到的距离，如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市经过（ ）个小时开始受到台风影响．
A． B． C．6 D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．设台风中心移动到点E时，A市开始受到台风影响，分别在和中，利用勾股定理求出，即可求解．
【详解】解：如图，设台风中心移动到点E时，A市开始受到台风影响，此时，
在中，，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
时，
即A市经过个小时开始受到台风影响．
故选：D
56．如图，铁路和公路在点处交汇，．公路上处距点240米，如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路上沿方向以20米/秒的速度行驶时，处受噪音影响的时间为（ ）

A．12秒 B．16秒 C．20秒 D．30秒
【答案】B
【分析】本题考查的是点勾股定理的应用，过点作，利用直角三角形的性质求出的长与相比较，发现受到影响，然后过点作，求出的长即可得出受噪音影响的时间．
【详解】解：如图：过点作，米，
，米，
米，
当火车到点时对处产生噪音影响，此时米，
米，米，
由勾股定理得：米，米，即米，
火车在铁路上沿方向以20米秒的速度行驶，
影响时间应是：秒．
故选：B．

57．如图，铁路和公路在点O处交会，两条路的夹角，在射线上拟建造一栋居民楼A．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响，居民楼A离点O的距离至少是______米时，居民楼不会受到噪音的影响．若因客观原因，居民楼A离点O的距离为300米，如果火车行驶的速度为72千米/小时，居民楼受噪音的影响时间约为______秒（，结果精确到秒）．
【答案】 400
【分析】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理的应用，作垂线构造直角三角形是解题的关键．作交于点，则，利用含的直角三角形的性质得到，结合题意可得到当米时，居民楼不会受到噪音的影响，即可求出的最小值；在上取一点，使得米，利用勾股定理求出米，结合题意即可求出居民楼受噪音的影响时间．
【详解】解：如图，作交于点，则，
在中，，
，
由题意得，当米时，居民楼不会受到噪音的影响，
即当米时，居民楼不会受到噪音的影响，
居民楼A离点O的距离至少是400米时，居民楼不会受到噪音的影响；
如图，在上取一点，使得米，
当米时，米，
米，
居民楼受噪音的影响时，火车行驶的距离为米，
72千米/小时20米/秒，
居民楼受噪音的影响时间约为（秒）．
故答案为：400；．
58．如图，某城市接到台风警报，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离．已知在距台风中心的圆形区域内都会受到不同程度的影响，若在点D的工作人员早上接到台风警报，台风开始影响到台风结束影响要做预防工作，则他们要在______时间段内做预防工作．
【答案】
【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意是解答的关键．根据勾股定理求得的长，进而分别求得台风开始影响到台风结束影响时的时间，然后可求解．
【详解】解：由题意，，，，
∴，
∵距台风中心的圆形区域内都会受到不同程度的影响，且台风速度为，
∴台风开始影响点D的时刻为（时），
台风结束影响点D的时间为（时），
故台风开始影响到台风结束影响，则他们要在时间段内做预防工作，
故答案为：．
59．如图，在甲村到乙村的公路旁有一块山地正在被开发，现有一C处需要爆破．已知点C与公路上的停靠站A的距离为，与公路上的另一停靠站B的距离为，且，为了安全起见，爆破点C周围半径范围内不得进入，问：在进行爆破时，公路段是否有危险？是否需要暂时封锁？
【答案】有危险，需要暂时封锁
【分析】过点C作于点D，根据勾股定理求出的长，利用等面积法求出的长，再比较的长与的大小即可得到结论．
【详解】解：如图，过点C作于点D．
，，，
∴，
∵，
∴，
，
，
∴公路段有危险，需要暂时封锁．
60．如图，某沿海城市接到台风预警，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市到的距离为．
(1)求台风中心从点移到点的距离的长？
(2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风的影响，那么市受到台风影响的时间持续多少小时？
【答案】(1)的长为
(2)市受到台风影响的时间持续小时
【分析】本题考查勾股定理的实际应用，理解题意并正确计算是关键．
（1）使用勾股定理直接计算即可；
（2）以点为圆心，为半径作圆，交于点、，使用勾股定理求出，再除以台风的速度求出持续时间．
【详解】（1）解：由题意可得，，
在直角中，．
答：的长为．
（2）解：如图，以点为圆心，为半径作圆，交于点、，
由题意可知，台风在段时，对市有影响．
在直角中，，
同理，，
∴，
∴影响持续的时间为．
答：市受到台风影响的时间持续小时．
61．如图，一艘轮船以的速度沿既定航线由南向北航行，途中接到台风警报，某台风中心正以的速度由东向西移动，距台风中心的圆形区域（包括边界）都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心移动路线的最近距离400，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离也是．
(1)如果这艘船不改变航向，那么它会不会进入台风影响区？
(2)假设轮船航向不变，航行速度不变，航行到受台风影响的警戒线外立即停止航行，求它至少需要停止航行多少小时？
【答案】(1)如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区
(2)
【分析】本题考查行程问题，方向角；
（1）求出当台风中心移动到距时，轮船是否通过点即可判断；
（2）分别确定轮船停止和重新开始移动时台风中心的位置，根据台风中心移动的时间就是停止时间求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：，，
方法一：
设小时后，当台风中心在点时，轮船在点，此时，则，，
∵，
∴，
整理得，
解得，
当时，，此时轮船还没有经过，
∴如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区；
方法二：当台风中心移动到距时，移动时间小时，
此时轮船航行距离，即还没有通过点，如果不改变航向，后续必定会进入台风影响区，
∴如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区；
（2）解：如图，取点、，使，
当轮船运动到警戒线的点时，此时台风中心移动到点处，运动时间，此时；
轮船从点运动到点用时（小时），
设台风中心小时从移动到，则，
∴当轮船重新开始移动到点时，此时台风中心距离刚好，此后都不再受台风影响，
∴在轮船停止航行时间段，台风从移动到点，，
∴轮船停止航行时间为（小时），
∴设轮船航向不变，航行速度不变，航行到受台风影响的警戒线外立即停止航行，它至少需要停止航行小时．
题型九、最短距离问题
62．如图，一个长方体盒子长，宽，高．如果在盒子外表面从点A到点G粘贴装饰条，装饰条的最小长度为，这个长方体盒子内能容下木棒的最大长度为，则a，b的值为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】按不同方法将长方体盒子展开成平面图形，再用勾股定理求得装饰条的长度，比较大小即可求得装饰条的最小长度；用勾股定理可得最大长度．
【详解】解：根据题意，分两种情况：
将长方体盒子的两个面展开成平面图形，如图：
，
，
在中，，
将长方体盒子的两个面展开成平面图形，如图：
，
在中，，
将长方体盒子的两个面展开成平面图形，如图：
，
在中，，
∵，
∴装饰条的最小长度为；
如图：，
，
又 ∵，
在中，，
∴这个长方体盒子内能容下木棒的最大长度为．
63．为筹备文化艺术节，同学们设计了一个圆筒形灯罩装饰会场，然后圆筒壁缠绕红丝线，如图所示：已知圆筒的高为，其横截面圆的周长为，点在点的正上方，过点和点缠绕一圈红丝线，裁剪的红丝线至少（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查圆柱的侧面展开图以及勾股定理与最短路径问题，掌握好相关知识是关键．
将圆柱的侧面展开得到一个矩形，则对角线为最短路径，使用勾股定理计算即可．
【详解】解：圆柱的侧面展开图如图所示：
由题意可知，，，
在直角中，，
由“两点之间，线段最短”可知，即为最短路径，
∴裁剪的红丝线至少．
故选：B．
64．“低空经济”是以各类低空飞行活动为牵引，辐射带动相关领域融合发展的综合性经济形态．某无人机从物流集散地A到收货点C的路线受阻而采用备用路线，先垂直起飞300米至B处，再水平飞行400米到达收货点C．若路线未受阻，此次无人机的最短飞行距离是（ ）
A．400米 B．450米 C．500米 D．600米
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理的应用．由勾股定理可得出答案．
【详解】解：由题意知米，米，
∴（米），
故选：C．
65．如图，长方体的长为，宽为，高为，点离点的距离是，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程是_______．
【答案】25
【分析】本题主要考查几何体的展开图及勾股定理．由题意得：①当把长方体沿正面和右侧进行展开时，②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，然后利用勾股定理进行求解最短路径即可．
【详解】解：由题意得：
①当把长方体沿正面和右侧进行展开时，如图所示：
，，
∴在中，；
②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，如图所示：
，，
∴在中，；
∵，
∴一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，
需要爬行的最短距离是25，
由长方体的特征可得其他路径必定比①②两种更远，故不作考虑；
故答案为：25．
66．如图，六块完全相同的长方体砖整齐地摆放在一起，其中．若一只蚂蚁要从点A处爬到点B处，则蚂蚁爬行的最短距离是__________________．
【答案】13
【分析】本题考查的是平面展开-最短路径问题，画出展开图，然后利用勾股定理求出其对角线的长度，即可求得最短路程．
【详解】解：由题意，得蚂蚁爬行的最短路径为，如图所示．
因为，
则，
所以，即蚂蚁爬行的最短距离为13．
故答案为：
67．如图，一个正六棱柱的礼品盒子底面边长为，盒子高为，点在顶点正上方处．用红色彩带从顶点开始，绕礼盒侧面一圈到点，再用黄色彩带从点开始绕侧面到顶点装饰，则红色与黄色彩带的总长度至少为_______．
【答案】/
【分析】本题考查棱柱的侧面展开图性质，勾股定理，掌握立体图形最短路径转化思想是解题关键．
将正六棱柱侧面展开为长方形，根据绕侧面的圈数确定水平直角边长，结合两点间竖直高度差确定垂直直角边，再用勾股定理分别计算两段彩带的最短长度并求和．
【详解】解：正六棱柱的侧面展开图如下，
由题可知，红色彩带绕一圈从到，则红色彩带为，
黄色彩带绕半圈从到，则黄色彩带为，
底面边长为，高为，点在顶点正上方处，
，，，
，
，
故红色与黄色彩带的总长度至少为．
故答案为：．
68．如图，已知线段是圆柱底面的直径，圆柱底面的周长为，圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点两点嵌有一圈长度最短的金属丝．

(1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是______；
(2)求该金属丝的长．
【答案】(1)C
(2)
【分析】本题考查了勾股定理的最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
（1）由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题；
（2）要求金属丝的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可．
【详解】（1）解：因为圆柱的侧面展开图为长方形，展开应该是两线段，且有公共点．
故答案为：C；
（2）如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为的长度，
∵圆柱底面的周长为，
∴，
∴，
∵在中，，，，
∴根据勾股定理，得，
∴该金属丝的长．
69．【问题情境】
贵安新区某学校八年级某班学生学习勾股定理后，该班数学兴趣小组开展了实践活动，测得该学校一个四级台阶每一级的长、宽、高分别为，如图1所示．和是这个四级台阶两个相对的端点，若点处有一只蚂蚁，它想到点处的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是多少？
（1）数学兴趣小组经过思考得到如下解题方法：如图2，将这个四级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则______________．
【变式探究】
（2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是，高是，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到与点相对的点处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？
【拓展应用】
（3）如图4，在（2）的条件下，在杯子内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离杯子上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计）
【答案】（1）25；（2）厘米；（3）；
【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．
（1）先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答；
（2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可；
（3）将杯平面展开，作点纵向的对称点，点与对称点的连线，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程，再根据勾股定理计算长度即可．
【详解】解：（1）台阶平面展开图为长方形，长，宽，
则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长．
可设蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程为，
由勾股定理得：，
解得：．
故答案为：25；
（2）将圆柱体侧面展开，如图：
由题意得：，，
，
该蚂蚁爬行的最短路程厘米；
（3）如图，将杯平面展开，作点纵向的对称点，
连接，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程，
，，，，
根据勾股定理有：
，
蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程为．
70．综合与实践
(1)如图1，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距40千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米．①尺规作图：在边上作出一点，使；（不写作法，保留作图痕迹）
②在①的条件下，求的距离；
(2)借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值为_____．
【答案】(1)①见解析；②千米
(2)20
【分析】本题考查了勾股定理的应用，尺规作线段垂直平分线，熟记勾股定理是解题的关键．
（1）①由题意可知，点在的垂直平分线上，如图，连接，作的垂直平分线交于点，则点即为所求；
②设千米，则千米，根据勾股定理得出，求出x的值即可；
（2）先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点，则的长就是代数式的最小值，再结合勾股定理求出的长即可．
【详解】（1）解：①如图，点P即为所求作的点；
②设千米，则千米，
∵，，
∴，
在中，根据勾股定理可得：
，
在中，根据勾股定理可得：
，
，
，
解得：，
即：千米；
（2）解：如图，，先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点，
设，则就是代数式的最小值，
代数式的几何意义是线段上一点到点、的距离之和，而它的最小值就是点的对称点和点的连线，与线段的交点就是它取最小值时的点，
由轴对称的性质可得：，
，，，
四边形是矩形，
，，
从而构造出了以为一条直角边，和的和为另一条直角边的直角三角形，斜边就是代数式的最小值，
代数式的最小值为：
．
1．小星学习了最短路径问题后，做了一个高为，底面圆的周长为的圆柱（如图①），他在圆柱下底面的点处放了一只蚂蚁，请结合以上描述完成下列任务．
任务一：蚂蚁想吃到圆柱侧面上与点相对的中点处的食物，则它沿圆柱侧面爬行的最短路程是___________
任务二：小星把圆柱的高变为，底面圆的周长不变（如图②），他把蚂蚁放在底部处，帮蚂蚁设计了一条沿圆柱侧面爬行的最短路径去吃上底面上与点相对的点处的食物，吃完后再设计另一条与前一条不一样的最短路径回到点处（此时两点重合）小星沿着竖直方向将圆柱剪开，得到长方形（如图③，当他分别画出这两条路径时，猜想平分，请根据题意，在图③中补全图形，并判断他的猜想对吗？请说明理由．
任务三；小星准备了一张边长为的正方形纸片（如图④），点为中点，他将沿对折到正方形内部的位置，并把线段抹上了蜂蜜，他把蚂蚁放在点处，不计蜂蜜的宽度，你能帮小星计算出蚂蚁能吃到蜂蜜的最短路程吗？请写出解答过程．
【答案】任务一：；任务二：小星的猜想对，理由见解析；任务三：蚂蚁能吃到蜂蜜的最短路程为
【分析】本题考查了勾股定理求线段的最短距离，等边三角形的性质与判定，折叠的性质；
任务一：根据题意画出圆柱的展开图，然后根据勾股定理，即可求解；
任务二：根据题意画出图形，证明是等边三角形，进而即可得出平分，即可求解；
任务三：连接，过点作于点，依题意，将沿对折到正方形内部的位置，则垂直平分，，进而根据等面积法求得，设，则，在中，，在中，，进而建立方程，求得的长，再根据勾股定理求得的长，即可求解．
【详解】解：任务一，如图
依题意，
∴；
任务二：小星的猜想对，理由如下，
如图，取的中点，连接，取的中点，连接，
∵，
∴
依题意，
在中，，
在中，
∴
∴是等边三角形
∴
又∵
∴，
∴
即平分，
任务三：
如图，连接，过点作于点，
∵，
∴
依题意，将沿对折到正方形内部的位置，则垂直平分，，
∴
∴
设，则，
在中，，在中，
∴
∴
解得：，即
∴
∴蚂蚁能吃到蜂蜜的最短路程为．
2．如图，攀枝花市某地一条公路旁有两个居民点C、D，它们各自到公路的垂直距离、分别为、，公路上的A、B两地相距，现准备在公路上修建一所医院E，因两地居民需求基本一致，考虑选择合适的地点建造，使得两地到医院的距离相等．
(1)试在图上用尺规作图确定医院E的建造位置（提示：不写作法，保留作图痕迹，先用铅笔圆规直尺画图，确定无误之后再用中性笔加粗描绘）
(2)求出该医院离A地的距离．（提示：若第（1）问未完成，可画简图完成此问）
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了应用设计与作图，勾股定理的应用，利用列出方程是解题的关键．
（1）作的垂直平分线与交于点，则点即为所作；
（2）连接，设，用勾股定理表示出，利用列出方程求值即可．
【详解】（1）解：连接，作线段的垂直平分线，交于E，则点E就是医院的建造位置，如图所示：
（2）解：连接，设，则.
∵是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
解得，
答：该医院离A地的距离
3．2025年9月，台风“桦加沙”在广东珠江口附近登陆，中心附近最大风力达14级（强台风级别）到达深圳附近时，风力减小为七级．已知七级风圈半径约（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受到台风影响）．如图，线段表示台风中心在深圳附近从地向西北方向移动到地的路径，是深圳市某观测点，且．已知之间相距之间相距．
(1)判断观测点是否会受到台风“桦加沙”的影响，并说明理由．
(2)若台风中心的移动速度为，则观测点受台风影响的时间有多长？
【答案】(1)观测点会受到台风“桦加沙”的影响，理由见解析
(2)观测点受台风影响的时间有7小时
【分析】本题主要考查了利用勾股定理解决实际问题，解题的关键是掌握勾股定理．
（1）过点作于点，利用勾股定理求出斜边长度，然后利用等面积法求出长度，最后进行比较即可；
（2）作，根据勾股定理求出台风影响观测点的长度，然后求出时间即可．
【详解】（1）解：观测点会受到台风“桦加沙”的影响，理由如下：
如图所示，过点作于点，
∵，
∴，
∴由勾股定理得，，
由等面积得，
∵，
∴观测点会受到台风“桦加沙”的影响；
（2）解：如图所示，作，
由勾股定理得，，
根据题意，，
（小时）
∴观测点受台风影响的时间有7小时．
4．如图，已知某高速公路限速，一辆大巴车在这条公路上沿直线行驶，与这条路平行的直线上的点处有一车速检测仪．某一时刻，大巴车刚好行驶到车速检测仪处正前方的处，经过后，大巴车到达处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为．
(1)求的距离；
(2)通过计算说明这辆大巴车是否超速．（参考数据）
【答案】(1)米
(2)大巴车超速了
【分析】本题考查勾股定理的应用，读懂题意，熟练掌握勾股定理是关键．
（1）由勾股定理求出线段长度即可得到答案；
（2）先计算出大巴车的速度，将速度化为，与高速公路限速比较即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意可知，在中，，，，则由勾股定理可得，
的距离为米；
（2）解：大巴车的速度为，
则，
，
大巴车超速了．
5．如图，，分别是两个港口，，是海上两座小岛景点，在正北方向千米处，在北偏东方向， 千米，在的南偏西60°方向，且在北偏西方向．（参考数据：）
(1)求港口和小岛的距离为多少千米（结果保留小数点后一位）；
(2)一艘货船从港口出发沿前往港口，同时一艘观光船也从港口出发，沿路线前往小岛，货船的速度与观光船的速度之比为，出发小时后观光船在由到的途中且离港口的直线距离与离货船的直线距离正好相等．求货船从港口出发多少小时后到达港口（结果保留小数点后一位）．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题，运用了三角函数，并巧妙运用了两个直角三角形的公共边．
（1）根据题意证得，求得过点作，交于，过点作，交于，，，结合直角三角形利用三角函数即可解答；
（2）设货船速度为，观光船速度为， 过作于，于
根据行程关系，利用两个直角三角形的公共边，结合勾股定理列方程求出，用路程除以速度即可解答．
【详解】（1）解：∵在正北方向千米处，在北偏东方向， 千米，在的南偏西方向，且在北偏西方向，
∴，，，
过点作，交于，过点作，交于，
则，
∴，
∴，
则，，（千米），
∴（千米），
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴（千米），
∴（千米）
答：港口和小岛的距离为千米．
（2）设货船速度为，观光船速度为，
出发小时后：货船行驶的路程
即货船在上的位置距点千米
观光船行驶的路程：，
因故观光船在上距点的距离为（记该点为），
观光船在由到的途中且离港口的直线距离与离货船的直线距离正好相等．
即，，
∴是等腰三角形，
过作于，于，
则，
由（1）得，
在中，，，则：
，
，
，
在中，
在中，
∴，
化简得，
解得或，
∵，故舍去，
货船速度为：，
由（1）可得（千米），
货船从港口到港口用时：，
答：货船从港口出发小时后到达港口．
6．“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题．
(1)线段，于点A且，于点B且，点P为线段上任意一点，则图1中最小值为________；图2中最小值为________；
(2)如图3，中，，，，点D是边的中点，点P是边上任意一点，则的最小值是________；
(3)如图4，中，且，作于点D，过A点的射线m始终平行于，点E是高上任意一点，点F是射线m上一点，点G是线段上一点，且始终保持，则的最小值为________；则的最小值为________．
【答案】(1)5，5
(2)
(3)，
【分析】（1）连接交于点P，由点、、三点共线时，最小，结合勾股定理即可求解；作点关于的对称点，连接交于点，连接，根据图形的对称性可知，当点、、三点共线时，最小，由此求解即可；
（2）作点关于的对称点，连接交于点，连接，根据图形的对称性可得，即当点、、三点共线时，最小，由此求解即可；
（3）先由边角边的证明方法证明与全等，即可得，再由由图形的对称性可知，当点、点、点三点共线时，最小，结合勾股定理求解即可；作辅助线构造全等三角形，由此可得，再由点、点、点三点共线时，最小，结合勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：连接交于点P，过点C作交的延长线于点H，如图，
，
当点、、三点共线时，最小，
，，
由勾股定理可得，，
最小值为；
作点关于的对称点，连接交于点，连接，如图．
由图形的对称性可知，，
，
当点、、三点共线时，最小，
同理可求，
最小值为；
故答案为：；；
（2）解：作点关于的对称点，连接交于点，连接，过点作交于点，连接，如图，
由图形的对称性可知，，，
当点、、三点共线时，最小，
即
在中，，，，
由勾股定理可得，
点是边的中点，，
为等腰三角形，且，
，
在中，，
，
在中，，
则的最小值是；
故答案为：；
（3）解：连接，作点关于射线的对称点，连接交射线于点，连接，如图，
中，且，
为等腰直角三角形，
，且，
，
为的角平分线，即，
射线，
，
，
在与中，
，
（），
，
由图形的对称性可知，，，
当点、点、点三点共线时，最小，
即，
，
又，
，
在中，，
最小值为，
作，使，连接，连接交于点，如图，
，
，
在与中，
，
（），
，
当点、点、点三点共线时，最小，
即，
，，
，
，
在中，，
∴的最小值为，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了勾股定理解三角形，图形对称的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是作点关于直线的对称点转化边的关系，以及作辅助线构造全等三角形．
7．背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法．
小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然，
，．请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理：
，
，
，
则它们满足的关系式为 经化简，可得到勾股定理．
知识运用：
（1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为 千米（直接填空）；
（2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图2中作出P点的位置并求出的距离．
知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值
【答案】小试牛刀：；；；；
知识运用：（1）41；
（2）千米；
知识迁移：20．
【分析】小试牛刀：根据三角形的面积和梯形的面积可以表示出相应部分面积；
知识运用：（1）连接，过点作的垂线，根据垂直得到边长之间的关系，再用勾股定理即可求得．
（2）作的垂直平分线，交于点，分别在和中用勾股定理表示出与联立方程求解即可．
知识迁移：运用数形结合根据“轴对称-最短路径问题”求解即可．
【详解】解：小试牛刀：
，
，
，
则它们满足的关系式为：．
知识运用：
（1）如图2①，连接，作于点E，
，
，
，
由勾股定理得到：
（千米）
∴两个村庄相距41千米．
（2）连接，作的垂直平分线交于点，

设千米，则千米，
在中， ，
在中，，
∵，
∴，
解得，，
即千米．
知识迁移：
如图3，作点关于的对称点，连接交于点，
过作，
根据对称性：，
设，则，由勾股定理得，
，
．
∴代数式的最小值为：
．
【点睛】本题考查了四边形综合以及用数形结合方式来证明勾股定理，解答本题的关键在于勾股定理的应用、最短线路问题、线段的垂直平分线以及用面积法证明勾股定理，本题是一道综合型较强的题目．

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