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几何动点问题专项训练
一．选择题（共15小题）
1．如图，甲乙两人同时沿着边长为30米的等边三角形，按逆时针的方向行走，甲从A以65米/分的速度，乙从B以71米/分的速度行走，当乙第一次追上甲时在等边三角形的（　　）
A．AB边上 B．点B处 C．BC边上 D．AC边上
2．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动，记PA＝x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
3．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝20cm，AC＝12cm，点D从点B出发以3cm/秒的速度向点A运动，同时点E从点A出发以2cm/秒的速度向点C运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，当∠ADE＝45°时，运动的时间是（　　）
A．2.5秒 B．3秒 C．3.5秒 D．4秒
4．如图所示，P是菱形ABCD的对角线AC上一动点，过P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点，设AC＝2，BD＝1，AP＝x，则△AMN的面积为y，则y关于x的函数图象的大致形状是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝3cm，点P以1cm/s的速度从点A开始沿边AB向点B移动，点Q以2cm/s的速度从点B开始沿边BC向点C移动，且点P，Q分别从点A，B同时出发．若有一点到达目的地，则另一点同时停止运动．要使P，Q两点之间的距离等于，则需要经过（　　）
A． B．2s C． D．或2s
6．如图，在钝角△ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从点A出发到点B止．动点E从点C出发到点A止．点D运动的速度为1cm/s，点E运动的速度为2cm/s．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是（　　）
A．3s或4.8s B．3s
C．4.5s D．4.5s或4.8s
7．如图1，矩形ABCD中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，PA﹣PE＝y，点P运动时y随x变化的函数图象如图2所示，则BC的长是（　　）
A． B．5 C．6 D．
8．如图1，在平面直角坐标系中， ABCD在第一象限，且BC∥x轴．直线y＝x从原点O出发沿x轴正方向平移．在平移过程中，直线被 ABCD截得的线段长度n与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2所示，那么 ABCD的面积为（　　）
A． B． C．3 D．6
9．如图①，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿着N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图②所示，那么下列说法不正确的是（　　）
A．当x＝2时，y＝5 B．矩形MNPQ的周长是18
C．当x＝6时，y＝10 D．当y＝8时，x＝10
10．如图1，在△ABC中，D是边AC上的定点．点P从点A出发，依次沿AB，BC两边匀速运动，运动到点C时停止．设点P运动的路程为x，DP的长为y，y关于x的函数图象如图2所示，其中M，N分别是两段曲线的最低点．点N的纵坐标是（　　）
A． B． C． D．
11．如图1，在平行四边形ABCD中，点P沿A→B→C方向从点A移动到点C，设点P移动路程为x，线段AP的长为y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长为（　　）
A．4.4 B．4.8 C．5 D．6
12．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，△OAB是直角三角形，A（4，0）．∠AOB＝90°，∠ABO＝30°，点B在y轴正半轴，等边△OCD的顶点D（﹣4，0），点C在第二象限．将△OCD沿x轴向右平移，得到△O′C′D′，点O，C，D的对应点分别为O′，C′，D′．设OO′＝x，△O′C′D′与△OAB重叠部分的面积为S，当点D′与点A重合时停止运动．则表示S与x的函数图象正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD是角平分线．点E从点A出发，沿AB方向向点B运动，连接CE，点F在BC上，且∠CEF＝45°．设AE＝x，FD＝y，若y关于x的函数图象过点（0，2），则该图象上最低点的坐标为（　　）
A．（，） B．（，）
C．（，3﹣2） D．（，3﹣2）
14．如图，在长方形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点E是AB上的一点，且AE＝2BE．点P从点C出发，以2cm/s的速度沿点C﹣D﹣A﹣E匀速运动，最终到达点E．设点P运动时间为ts，若三角形PCE的面积为18cm2，则t的值为（　　）
A．或 B．或或
C．或6 D．或6或
15．如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P，Q同时从点A出发，在正方形的边上，分别按A→D→C，A→B→C的方向，都以1cm/s的速度运动，到达点C运动终止，连接PQ，设运动时间为xs，△APQ的面积为ycm2，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（　　）
A． B．
C． D．
二．填空题（共15小题）
16．等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，BD＝3CD，P是△ABC内一点，且∠CBP＝∠PAB，当PD最小时，此时△BPD的面积为　 　 ．
17．对于平面直角坐标系中任意两点M（x1，y1），N（x2，y2），|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为M，N两点的直角距离，记作：d（M，N）．如：M（2，﹣3），N（1，4），则d（M，N）＝|2﹣1|+|﹣3﹣4|＝8．若P（x0，y0）是一定点，Q（x，y）是直线y＝kx+b上的一动点，称d（P，Q）的最小值为P到直线y＝kx+b的直角距离，则P（0，﹣3）到直线x＝1的直角距离为　 　 ．
18．如图△ABC中，AB＝6，AC，∠B＝90°，点P从A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，1秒后点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，那么Q从B出发，经过　 　 秒，△PBQ的面积等于6cm2．
19．如图，一根2.5m长的木杆AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙底端C的距离为0.7m，木杆的顶端沿墙面下滑0.4m，那么点B将向外移动 　 　 m；木杆在下滑过程中，△ABC面积最大为 　 　 m2．
20．如图，正方形ABCD中，AB＝8，M是CD边上一个动点，以CM为直径的圆与BM相交于点Q，P为CD上另一个动点，连接AP，PQ，则AP+PQ的最小值是 　 　 ．
21．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为BC边上一动点，点D从点B出发，以1个单位每秒的速度沿BC向点C运动，到达点C时停止运动．设运动时间为t秒，则当t＝　 　 秒时，∠ADC＝2∠C．
22．如图，正方形ABCD的边长为，E为BC上一点，且，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为 　 　 ；
23．如图，四边形ABCD为矩形，AD＝3，AB＝4，点E是AD所在直线的一个动点，点F是对角线BD上的动点，且BF＝DE，则AF+BE的最小值是 　 　 ．
24．如图，在 ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，点H、G分别是边CD、BC上的动点．连接AH、HG，点E、F分别是AH、GH的中点，连接EF．则EF的最小值为　 　 ．
25．如图，在边长为的等边△ABC中，点D，E分别是BC，AC上两个动点，且满足AE＝CD，连接BE、AD相交于点P，则线段CP的最小值为 　 　 ．
26．如图，正方形ABCD的边长为8，点E是AB边上一个动点，点F是CD边上一个动点，且AE＝CF，过点B作BG⊥EF于点G，连接AG，则AG长的最小值是 　 　 ．
27．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝2cm，E、F分别是AB、AC的中点，动点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时动点Q从点B出发，沿BF方向匀速运动，速度为2cm/s，连接PQ，设运动时间为ts（0＜t＜1），则当t＝　 　 时，△PQF为等腰三角形．
28．如图，有一张平行四边形纸条ABCD，AD＝5cm，AB＝2cm，∠A＝120°，点E，F分别在边AD，BC上，DE＝1cm．现将四边形CFED沿EF折叠，使点C，D分别落在点C′，D′上．当点C′恰好落在边AD上时，线段CF的长为 　 　 cm．在点F从点B运动到点C的过程中，若边FC'与边AD交于点M，则点M相应运动的路径长为 　 　 cm．
29．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝10，AD＝12，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A′EF，则A′C的长的最小值是 　 　 ．
30．如图，四边形ABCD为菱形，AB＝2，∠BCD＝30°，点E在CD延长线上，且∠E＝45°，点H是AC上的一个动点，则HD+HE的最小值为 　 　 ．
三．解答题（共4小题）
31．如图，数轴上点A表示的数为﹣5，点B表示的数为7，动点C从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点D从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设点C运动时间为t秒（t＞0）．
（1）①A、B两点之间的距离为　 　 ，线段AB的中点表示的数为　 　 ．
②用含t的代数式表示：t秒后，点C表示的数为　 　 ，点D表示的数为　 　 ．
（2）当t＝4时，描述C、D两点的位置关系．
（3）点C运动4秒后，动点E从点B出发，以每秒5个单位长度的速度向右匀速运动，试探索：CE﹣CD的值是否随着时间t的变化而变化？请说明理由．
32．如图，在△ABC中，BC＝10，AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，AD、BE相交于点O，且AE＝BE．
（1）求证：△AOE≌△BCE．
（2）动点P从点O出发，沿线段OA以每秒2个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线BC以每秒8个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，点F是直线AC上的一点且CF＝BO．是否存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的t值；若不存在，请说明理由．
33．综合与探究：
如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形OACB的顶点A、B分别在x轴与y轴上，已知 OA＝6，OB＝10．点D为y轴上一点，其坐标为（0，2），点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿线段AC﹣CB 的方向运动，当点P与点B重合时停止运动，运动时间为t秒．
（1）当点P经过点C时，求直线DP的函数解析式；
（2）①求△OPD 的面积S关于t的函数解析式；
②把长方形沿着OP折叠，点B的对应点B′恰好落在AC边上，求点P的坐标．
（3）点P在运动过程中是否存在使△BDP 为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
34．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E、F是对角线AC上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中0≤t≤10．
（1）若G，H分别是AD，BC中点，则四边形EGFH一定是怎样的四边形（E、F相遇时除外）？
答：　 　 ；（直接填空，不用说理）
（2）在（1）条件下，若四边形EGFH为矩形，求t的值；
（3）在（1）条件下，若G向D点运动，H向B点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，若四边形EGFH为菱形，求t的值．
几何动点问题专项训练答案
一．选择题（共15小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A D D C A A C A D B C
题号 12 13 14 15
答案 B B C A
一．选择题（共15小题）
1．解：设乙第一次追上甲需要x分钟，根据题意得：（71﹣65）x＝60，
解得：x＝10，
故甲走的路程为650米，
∵650÷90＝7…20，
∴甲此时在AB边上．或者按照乙来考虑，乙走的路程为710米，
710÷90＝7...80，也说明此时乙在AB边上，
故选：A．
2．解：当点P在AB上运动时，y＝4
所以当0＜x≤3，y＝4，
当点P在BC上运动时，即3＜x＜5
△ABP∽△ADF
∴
∴
∴y
只有D选项是第一象限的反比例函数
故选：D．
3．解：设运动的时间为x秒，则AD＝20﹣3x，AE＝2x，
当∠ADE＝45°时，有AD＝AE，即20﹣3x＝2x，
解得：x＝4．
故选：D．
4．解：（1）当0＜x≤1时，如图，
在菱形ABCD中，AC＝2，BD＝1，AO＝1，且AC⊥BD；
∵MN⊥AC，∴MN∥BD；
∴△AMN∽△ABD，
∴，
即，，MN＝x；
∴yAP×MNx2（0＜x≤1），
∵，∴函数图象开口向上；
（2）当1＜x＜2，如图，
同理证得，△CDB∽△CNM，
，
即，，MN＝2﹣x；
∴yAP×MNx×（2﹣x），
yx2+x；
∵，∴函数图象开口向下；
综上，答案C的图象大致符合；
故选：C．
5．解：设点P、Q分别从点A、B同时出发，xs后P、Q之间的距离等于4cm，
∵AP＝1 x＝x cm，BQ＝2x cm，
∴BP＝AB﹣AP＝（6﹣x）cm，
∴BP2+BQ2＝PQ2，
即（6﹣x）2+（2x）2＝（4）2，
解得：x1，x2＝2（不合题意，舍去）．
∴要使P，Q两点之间的距离等于，则需要经过s，
故选：A．
6．解：如果两点同时运动，设运动t秒时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，
则AD＝t，CE＝2t，AE＝AC﹣CE＝12﹣2t．
①当D与B对应时，有△ADE∽△ABC．
∴AD：AB＝AE：AC，
∴t：6＝（12﹣2t）：12，
∴t＝3；
②当D与C对应时，有△ADE∽△ACB．
∴AD：AC＝AE：AB，
∴t：12＝（12﹣2t）：6，
∴t＝4.8．
所以当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是3秒或4.8秒．
故选：A．
7．解：根据函数图象可得，当x＝0，即点P与点B重合时，BA﹣BE＝1，
在△PAE中，
∵三角形任意两边之差小于第三边，
∴PA﹣PE＜AE，
当且仅当点P与点E重合时有PA﹣PE＝AE，
∴y有最大值为AE，
∴AE＝5，
设BE为a，则BA＝a+1，
在Rt△ABE中，AB2+BE2＝AE2，
∴（a+1）2+a2＝52，
解得：a1＝3，a2＝﹣4（舍去），
∴BC＝2BE＝2a＝2×3＝6．
故选：C．
8．解：存在两种情况：
如图1，过B作BM⊥AD于点M，分别过B，D作直线y＝x的平行线，交AD于E，如图1所示，
由图象和题意可得，
AE＝6﹣4＝2，DE＝7﹣6＝1，BE＝2，
∴AD＝2+1＝3，
∵直线BE平行直线y＝x，
∴BM＝EM，
∴平行四边形ABCD的面积是：AD BM＝33．
如图2，过D作DM⊥BC于M，延长CB交直线DF于E，
∴AD＝DF＝2，BE＝1，
∴∠DAF＝∠DFA，
∵AD∥BC，
∴∠DAF＝∠EBF＝∠EFB，
∴EF＝BE＝1，
∴DE＝1+2＝3，
∵∠DEM＝45°，∠DME＝90°，
∴DM＝EM，
∴平行四边形ABCD的面积是：AD DM＝23．
故选：A．
9．解：由图象可知，四边形MNPQ的边长，MN＝5，NP＝4，
选项A，x＝2时，△MNR的面积5，正确
选项B，矩形周长为2×（4+5）＝18，正确
选项C，x＝6时，点R在QP上，△MNR的面积10，正确
选项D，y＝8时，高＝8，则高，点R在PN或QM上，距离QP有个单位，对应的x值都不为10，错误
故选：D．
10．解：根据图2，AD＝20，CD＝8，BD＝15，点D到AB的距离DE＝12，点N的纵坐标表示点D到BC的距离DF．如图：
在Rt△ADE中利用勾股定理，得AE16，
在Rt△BDE中利用勾股定理，得BE9，
则AB＝AE+BE＝16+9＝25，
∵AD2+BD2＝202+152＝625，AB2＝252＝625，
∴AD2+BD2＝AB2，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BDC＝180°﹣∠ADB＝90°，
在Rt△BCD中利用勾股定理，得BC17，
则BD CDBC DF，
解得DF，
∴点N的纵坐标是．
故选：B．
11．解：如图1，过A点作AE⊥BC于E，连接AC，
根据图2知：当点P与点B重合时，AP＝AB＝3，
当P与E重合时，AB+BP＝4.8，
∴BP＝BE＝1.8，
∴AE，
当点P到达点C时，AP＝AC＝4，
∴EC，
∴BC＝BE+EC＝1.85．
故选：C．
12．解：①当0≤x≤2时，△O'C'D'与△OAB重叠部分为△OO′M，如图1：
图1
由平移得：∠C′O'D'＝∠COD＝60°，
∴OM＝OO′ tan∠C'O'D'＝x tan60°x，
SOO′ OMx xx2，
∴此时S为一个二次函数，开口向上；
②当2＜x≤4时，△O'C'D'与△OAB重叠部分为四边形OO′C′M，如图2：
图2
由题意得：OD'＝O′D′﹣OO′＝4﹣x，∠C′D′O'＝∠CDO＝60°，
∴OM＝OD′ tan60°＝（4﹣x）4x，
S＝S四边形OO'CM′＝S△O'C′D'﹣S△D'OM（4﹣x）（4x）x2+44，
∴此时S为一个二次函数，开口向下；
③当4＜x≤8时，△O'C'D'与△OAB重叠部分为△AD′M，如图3：
图3
则AD'＝OO′﹣O′A﹣OD′＝OO′﹣2O′A＝8﹣x，且∠CD′O'＝∠MAO＝60°，
∴△AD'M是等边三角形，
S＝S△AD'M（8﹣x）2x2﹣4x+16，
∴此时S为一个二次函数，开口向上．
故选：B．
13．解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，AD是角平分线，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∠CAD＝∠BAD＝22.5°，
设AC＝BC＝m，
∴AB，
如图，在AC上取点Q，使AQ＝DQ，
∴∠QAD＝∠QDA＝22.5°，
∴∠CQD＝45°＝∠CDQ，
CQ＝CDQDAQ’，
∴，
解得：，
∠CEF＝45°＝∠CAB，∠CEF+∠BEF＝∠ACE+∠CAE，
∴∠BEF＝∠ACE，
∴△ACE∽△BEF，，
∴，
∵y关于x的函数图象过点，
∴，
解得：m＝1，
∴，
当时，，
∴该图象上最低点的坐标为；
故选：B．
14．解：如图1，当点P在CD上，即0＜t≤3时，
∵四边形ABCD是长方形，
∴AB＝CD＝6cm，AD＝BC＝8cm．
∵CP＝2t（cm），
∴S△PCE2t×8＝18，
∴t；
如图2，当点P在AD上，即3＜t≤7时，
∵AE＝2BE，
∴AEAB＝4．
∵DP＝2t﹣6，AP＝8﹣（2t﹣6）＝14﹣2t．
∴S△PCE（4+6）×8（2t﹣6）×6（14﹣2t）×4＝18，
解得：t＝6；
当点P在AE上，即7＜t≤9时，
PE＝18﹣2t．
∴S△CPE（18﹣2t）×8＝18，
解得：t7（舍去）．
综上所述，当t或6时△APE的面积会等于18．
故选：C．
15．解：①当0≤x≤2时，
∵正方形的边长为2cm，
∴y＝S△APQAQ APx2；
②当2＜x≤4时，
y＝S△APQ
＝S正方形ABCD﹣S△CP′Q′﹣S△ABQ′﹣S△AP′D，
＝2×2（4﹣x）22×（x﹣2）2×（x﹣2）
x2+2x
所以，y与x之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有A选项图象符合．
故选：A．
二．填空题（共15小题）
16．解：∵等腰Rt△ABC，
∴∠CBA＝∠CBP+∠ABP＝45°，
∵∠CBP＝∠PAB，
∴∠PAB+∠ABP＝45°，
∴∠APB＝135°，
以AC，BC为边作正方形ACBE，
则点P一定在以E为圆心，以EA为半径的⊙E上，连接ED，与⊙E交于点P，此时PD最小，
∵BC＝BE＝4，BD＝3CD，
∴BD＝3，DE＝5，
∴PD＝1，
过点P作PF⊥BD于点F，
∵∠PDF＝∠EDB，∠PFD＝∠EBD，
∴△PDF∽EDB，
∴，
即，
∴PF，
∴S△BPD BD PF3．
故答案为：．
17．解：在直线x＝1上任取一点Q，以PQ为斜边构造直角三角形，两条直角边的长度之和即为直角距离，所以点P到直线x＝1的垂线段即为直角距离
故答案为1．
18．解：设Q从B出发t秒后，△PBQ的面积等于6cm2，根据题意得出：
[6﹣（t+1）]×2t＝6，
解得：t1＝2，t2＝3，
故Q从B出发，经过2或3秒，△PBQ的面积等于6cm2．
故答案为：2或3．
19．解：在Rt△ABC中，
∵AB＝2.5m，BC＝0.7m，
∴AC2.4m，
又∵AA′＝0.4m，
∴A′C＝2.4﹣0.4＝2m，
在Rt△A′B′C中，
B′C1.5m，
则BB′＝CB′﹣CB＝1.5﹣0.7＝0.8m．
如图，作AB边上的中线CD，
在Rt△ABC中，CDAB2.5＝1.25m．
当CD为高时，△ABC取得最大面积为：2.5×1.25m2．
故答案为：0.8，．
20．解：连接CQ，以CD为一条边在右侧作正方形CDEF，则∠MQC＝90°，
∴∠BQC＝90°，
∴点Q在以BC为直径的圆上运动，
∵AD＝DE，∠ADP＝∠EDP，DP＝DP，
∴△ADP≌△EDP（SAS），
∴AP＝EP，
∴AP+PQ＝EP+PQ≥EQ≥EO﹣ON24＝44，
∴AP+PQ的最小值为44，
故答案为：44．
21．解：过点A作AE⊥BC，垂足为点E，在BC上取一点F，使得AF＝CF，
在Rt△ABC中，
∵AB＝6，AC＝8，
∴BC10，
∵AE⊥BC，
∴，
∴AE，
在Rt△ACE中，
∵AC＝8，AE，
∴CE，
∵AF＝CF，
∴∠CAF＝∠C，
∴∠AFD＝2∠C，
∵∠ADC＝2∠C，
∴∠AFD＝ADC，
∴AD＝AF，
设AD＝AF＝CF＝x，
∴EF，
在Rt△AEF中，
∵AF2＝AE2+EF2，
∴，
解得x＝5，
则EF，
∵AD＝AF，AE＝AE，∠AED＝∠AEF＝90°，
∴△AED≌△AEF（HL），
∴DE＝EF，
∴BD＝BC﹣DE﹣EF﹣CF，
∵点D从点B出发，以1个单位每秒的速度沿BC向点C运动，
∴t．
故答案为：．
22．解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动
将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EFB≌△EHG
从而可知△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上
作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值
作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形，
则CM＝MP+CP＝HEEC，
故答案为：．
23．解：如图1，延长BC到点G，使BG＝DB，连接AG交BD于点H，连接FG，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CB∥AD，
∴∠GBF＝∠BDE，
∵BF＝DE，
∴△GBF≌△BDE（SAS），
∴GF＝BE，
∴AF+BE＝AF+GF；
∵AF+GF≥AG，
∴当AF与GF在一条直线上，即点F与点H重合时，AF+GF＝AG，
如图2，此时AF+GF的值最小，AF+BE的值也最小，
∵∠BAD＝90°，AD＝3，AB＝4，
∴BG2＝DB2＝AD2+AB2＝32+42＝25，AB2＝42＝16，
∵∠ABG＝90°，
∴AG，
∴AF+BE的最小值为，
故答案为：．
24．解：如图1，连接AG，
∵点E、F分别是AH、GH的中点，
∴EF，
∴EF的最小值，就是AG的最小值，
当AG⊥BC时，AG最小，如图2，
Rt△ABG中，∠B＝60°，
∴∠BAG＝30°，
∵AB＝4，
∴BG＝2，AG＝2，
∴EFAG，
∴EF的最小值是．
故答案为：．
25．解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝∠BCE＝60°，
∵AE＝CD
∴BD＝CE，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD＝∠CBE，
∵∠APE＝∠BAD+∠ABE，
∴∠APE＝∠CBE+∠ABE＝∠ABC，
∴∠APE＝60°，
连接OC交⊙O于N，则OC⊥AB，
根据圆周角定理可得∠AOB＝120°，∠OAF＝60°，AF2，
∴sin60°，
∴OA＝4，
∴OC＝2OA＝8，
当点P与N重合时，CP的值最小，
最小值＝OC﹣OA＝8﹣4＝4，
故答案为：4．
26．解：如图，
连接AC与EF相交于O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠OAE＝∠OCF，
∵∠AOE＝∠COF，AE＝CF，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OA＝OC，
∴点O是正方形的中心，
连接OB，取OB中点M，连接MA，MG，则MA，MG为定长，过点M作MH⊥AB于H．则MH＝BH＝2，AH＝6，
由勾股定理可得MA2，MGOB＝2，
∵AG≥AM﹣MG＝22，
当A，M，G三点共线时，AG最小＝22．
故答案为：22．
27．解：∵∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝2cm，
∴AC＝2AB＝4cm，BC2，
∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴EFBCcm，BFAC＝2cm，
由题意得：EP＝t，BQ＝2t，
∴PFt，FQ＝2﹣2t，
分三种情况：
①当PF＝FQ时，如图1，△PQF为等腰三角形．
则t＝2﹣2t，
t＝2；
②如图2，当PQ＝FQ时，△PQF为等腰三角形，过Q作QD⊥EF于D，
∴PF＝2DF，
∵BF＝CF，
∴∠FBC＝∠C＝30°，
∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴EF∥BC，
∴∠PFQ＝∠FBC＝30°，
∵FQ＝2﹣2t，
∴DQFQ＝1﹣t，
∴DF（1﹣t），
∴PF＝2DF＝2（1﹣t），
∵EF＝EP+PF，
∴t+2（1﹣t），
t；
③因为当PF＝PQ时，∠PFQ＝∠PQF＝30°，
∴∠FPQ＝120°，
而在P、Q运动过程中，∠FPQ最大为90°，所以此种情况不成立；
综上，当t＝2或 时，△PQF为等腰三角形．
故答案为：2或．
28．解：（1）当点C′恰好落在边AD上时，如图：
∵平行四边形纸条ABCD，AD＝5cm，AB＝2cm，∠A＝120°，
∴CD＝AB＝2cm，∠D＝60°，∠BCD＝120°，AD∥BC，
∴∠CFE＝∠C′EF，
∵折叠，
∴C′D′＝CD＝2cm，DE＝D′E＝1cm，∠D′＝∠D＝60°，∠CFE＝∠C′FE，CF＝C′F，
∴∠C′FE＝∠C′EF，
∴C′E＝C′F＝CF，
过点E作EG⊥C′D′于点G，
则：∠EGD′＝∠C′GE＝90°，
∴，
∴，，
∴，
∴（厘米）；
（2）当点F与点B重合时，此时AM最短，如图：
∵，C′D′＝2，D′E＝1，
∴D′E2+C′E2＝4＝D′C′2，
∴∠C′ED′＝90°，
∴∠EC′D′＝30°，
∴∠MC′E＝∠BC′D′﹣∠EC′D′＝∠BCD﹣∠EC′D′＝90°，
同（1）法可得：BM＝ME，
设BM＝ME＝x，则：C′M＝BC′﹣BM＝BC﹣BM＝5﹣x，
在Rt△MC′E中，ME2＝C′E2+C′M2，即：x2＝3+（5﹣x）2，
解得：，
∴，
∴；
当点C′在AD上时，此时M与C′重合，AM最大，
由（1）可知，，
∴点M运动的路径长为4（2.8）（厘米）．
故答案为：，．
29．解：由折叠可知，AE＝A′E，
∴点A'在以E为圆心，以AE的长为半径的圆上，
如图，连接CE，交圆E于点A'，此时A'C的长取最小值，
∵AB＝10，AD＝12，点E为AB的中点，
∴AE＝A'E＝BE＝5，CE＝13，
∴A'C＝EC﹣A'E＝13﹣5＝8．
故答案为：8．
30．解：连接BE交AC于H'，连接DH'，过点A作AM⊥EC于点M，过点E作EN⊥BA交BA的延长线于点N，
∵四边形ABCD为菱形，
∴B、D关于AC对称，
∴DH'＝BH'，
∴DH'+EH'＝BH+EH''＝BE，
故当H与H'重合时，HD+HE的值最小，最小值为BE，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，
∴∠ADM＝∠BCD＝30°，AD＝AB＝2，
∴AMAD＝1，
∵∠AEC＝45°，
∴∠MAE＝90°﹣45°＝45°，
∴∠AEC＝∠MAE，
∴AM＝EM＝1，
∵AM⊥EC，EN⊥BN，
∴∠AME＝90°，∠ANE＝90°，
∵CE∥BN，
∴∠MAN＝180°﹣90°＝90°，
∴∠AME＝∠ANE＝∠MAN＝90°，
∴四边形AMNE是矩形，
又∵AM＝EM＝1，
∴四边形AMNE是正方形，
∴AN＝EM＝AM＝EN＝1，
∴BN＝2+1＝3，
在Rt△BNE中，
BE，
故HD+HE的最小值，
故答案为：．
三．解答题（共4小题）
31．解：（1）①A、B两点之间的距离为7﹣（﹣5）＝12，线段AB的中点表示的数为（7﹣5）÷2＝1．
故答案为：12，1；
②t秒后，点C表示的数为﹣5+2t，点D表示的数为7﹣t．
故答案为：﹣5+2t，7﹣t；
（2）当t＝4时，点C表示的数为﹣5+2t＝3，点D表示的数为7﹣t＝3，
所以C、D两点相遇；
（3）CE﹣CD的值不随着时间t的变化而变化，理由如下：
点C运动4秒后，动点E表示的数为7+5（t﹣4）＝5t﹣13，
则CE＝5t﹣13﹣（﹣5+2t）＝3t﹣8，
CD＝﹣5+2t﹣（7﹣t）＝3t﹣12，
则CE﹣CD＝3t﹣8﹣（3t﹣12）＝4．
故CE﹣CD的值不随着时间t的变化而变化．
32．（1）证明：∵AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，
∴∠BEC＝∠AEO＝∠ODB＝90°，
∴∠OAE+∠AOE＝90°，∠OBD+∠BOD＝90°，∠BOD＝∠AOE，
∴∠CBE＝∠OAE，
在△AOE和△BCE中，
，
∴△AOE≌△BCE（ASA）．
（2）解：存在，
如图2，当OP＝CQ时，
∵AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，
∴∠BEC＝∠ODB＝90°
∵∠EOD+∠ODC+∠OEC+∠ECD＝360°，
∴∠DOE+∠DCE＝180°，
∵∠DCE+∠QCF＝180°，
∴∠QCF＝∠DOE，
∵∠DOE＝∠BOP，
∴∠BOP＝∠QCF，
在△BOP和△FCQ中，
，
∴△BOP≌△FCQ（SAS），
∴OP＝CQ，
∵OP＝2t，CQ＝10﹣8t，
∴2t＝10﹣8t，
解得：t＝1；
如图3，当OP＝CQ时，
同理可得∠BOP＝∠QCF，
在△BOP和△FCQ中，
，
∴△BOP≌△FCQ（SAS），
∴OP＝CQ，
∵OP＝2t，CQ＝8t﹣10，
∴2t＝8t﹣10，
解得：．
综上所述：t＝1或时，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等．
33．解：（1）∵OA＝6，OB＝10，四边形OACB为长方形，
∴C（6，10），
设此时直线DP解析式为y＝kx+b，
把（0，2），C（6，10）分别代入，
得，
解得，
则此时直线DP解析式为yx+2；
（2）①当点P在线段AC上时，
OD＝2，高为6，
∴S2×6＝6，
当点P在线段BC上时，
OD＝2，高为6+10﹣t＝16﹣t，
∴S2×（16﹣t）＝16﹣t，
综上：S；
②设P（m，10），则PB＝PB'＝m，
∵OB′＝0B＝10，OA＝6，
∴AB'8，
∴B'C＝10﹣8＝2，
在Rt△B′PC中，
m2＝22+（6﹣m）2，
解得m，
∴此时点P的坐标是（，10）；
（3）存在，理由如下：
若△BDP为等腰三角形，分三种情况考虑：如图，
①当BD＝BP1＝OB﹣OD＝10﹣2＝8时，
在Rt△BCP1中，BP1＝8，BC＝6，
根据勾股定理得：CP12，
∴AP1＝10﹣2，
即P1（6，10﹣2），
②当BP2＝DP2时，此时P2在BD的中垂线上，
即P2（6，6），
③当DB＝DP3＝8时，
在Rt△DEP3中，DE＝6，
根据勾股定理得：P3E2，
AP3＝AE+EP3＝22，
即P3（6，22），
综上，满足题意的P坐标为（6，6）或（6，22）或（6，10﹣2）．
34．解：（1）∵四边形EGFH是平行四边形，理由如下：
由题意得：AE＝CF＝t，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠GAE＝∠HCF，
∵G，H分别是AD，BC中点，
∴AGAD，CHBC，
∴AG＝CH，
∴△AEG≌△CFH（SAS），
∴EG＝FH，∠AEG＝∠CFH，
∴∠FEG＝∠EFH，
∴EG∥HF，
∴四边形EGFH是平行四边形；
故答案为：四边形EGFH是平行四边形；
（2）如图1，连接GH，
由（1）得AG＝BH，AG∥BH，∠B＝90°，
∴四边形ABHG是矩形，
∴GH＝AB＝6，
①如图1，当四边形EGFH是矩形时，
∴EF＝GH＝6，
∵AE＝CF＝t，
∴EF＝10﹣2t＝6，
∴t＝2；
②如图2，当四边形EGFH是矩形时，
∵EF＝GH＝6，AE＝CF＝t，
∴EF＝t+t﹣10＝2t﹣10＝6，
∴t＝8；
综上，四边形EGFH为矩形时t＝2或t＝8；
（3）如图3，M和N分别是AD和BC的中点，连接AH，CG，GH，AC与GH交于O，
∵四边形EGFH为菱形，
∴GH⊥EF，OG＝OH，OE＝OF，
∴OA＝OC，AG＝AH，
∴四边形AGCH为菱形，
∴AG＝CG，
设AG＝CG＝x，则DG＝8﹣x，
由勾股定理可得：CD2+DG2＝CG2，
即：62+（8﹣x）2＝x2，
解得：x，
∴MG4，即t，
∴当t时，四边形EGFH为菱形．

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