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第二十一章《四边形》单元测试卷
(范围:第21.1 时间:90分钟 满分:120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1.四边形的内角和是( )
A.180° B.360° C.540° D.720°
2.下列多边形中，内角和最小的是( )
3.五边形的对角线的条数是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
4.如图，小明沿一个五边形的广场小道按A→B→C→D→E 的方向跑步健身，他每跑完一圈时，身体转过的角度之和是( )
A.180° B.360° C.540° D.720°
5.一个内角和为1080°的正多边形，这个正多边形的每个外角为( )
A.36° B.40° C.45° D.60°
6.如图，将透明直尺叠放在正五边形徽章ABCDE 上，若直尺的下沿MN⊥DE 于点O,且经过点 B,上沿 PQ 经过点E,则∠ABM 的度数为( )
A.152° B.126° C.120° D.108°
7.将一个正八边形与一个正六边形如图放置，顶点A，B，C，D四点在同一条直线上，E为公共顶点，则∠FEG 的度数为( )
A.25° B.75° C.30° D.
8.图中表示被撕掉一块的正 n边形纸片，若a⊥b，则n的值是( )
A.6 B.8 C.10 D.12
9.如图,∠C+∠D+∠E-∠A-∠B的度数是( )
A.180° B.240° C.300° D.360°
10.如图,在四边形ABCD 中,E,F 两点在BC 上,点 G 在 AD 上,连接GE,GF.则下列选项正确的是( )
A.∠1+∠2<∠3+∠4 B.∠1+∠2>∠3+∠4
C.∠1+∠4<∠2+∠3 D.∠1+∠4>∠2+∠3
二、填空题(每小题3分，共15分)
11.若一个多边形的每一个外角都是40°，那么这个多边形的边数为 .
12.一个n边形的内角和与外角和的比为3：1，则n的值为 .
13.如图，将三角形纸片ABC 沿DE 折叠，当点 A 落在四边形BCED 的外部点A'处时,测量得∠1=70°,∠2=140°,则∠A的度数为 .
14.如图，小勤同学做了一个数学实验，他先剪出一个长方形纸片，记为四边形ABCD，然后再剪去一个角，则剩下的多边形的内角和的度数是 .
15.如图,将四边形纸片ABCD 沿 MN 折叠,点A，D分别落在点 处.若∠1+∠2=140°,则∠B+∠C的度数为 .
三、解答题(共9 小题，共75分)
16.(本题6分)求出下列各图中的x.
17.6分)若一个多边形的内角和的 比它的外角和多 那么这个多边形的边数是多少
18.(本题6分)如图,在正五边形 ABCDE 中,AE,CD 的延长线交于点F，求 的度数.
19.(本题8分)如图,在四边形ABCD 中,DE 平分 BC. 求 的度数.
20.(本题8分)如图，将六边形纸片ABCDEF 沿虚线剪去阴影部分,且∠A+∠E+∠F+∠ABG+∠EDG=485°.
(1)求六边形 ABCDEF 的内角和;
(2)求∠BGD 的度数.
21.(本题8分)如图,在五边形 ABCDE 中,AE⊥DE,∠A=120°,∠C=60°,∠D-∠B=30°.
(1)求∠D 的度数;
(2)求证:AB∥CD.
22.(本题10分)在四边形ABCD 中,∠B+∠D=180°,∠DCE是四边形ABCD 的一个外角.
(1)如图1，试判断∠DCE 与∠A 的数量关系，并说明理由；
(2)如图2,若∠B=90°,AF 平分∠BAD,CF 平分∠DCE,且AF 与CF 相交于点F，试判断AF 与CF 的位置关系，并说明理由.
23.(本题11分)“8字型”是初中数学“图形与几何”中的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成.如图1，AD，BC 交于点O，根据“三角形内角和是180°”，不难得出两个三角形中的角存在数量关系为∠D+∠C=∠A+∠B.
【提出问题】如图2，分别作出∠BAD 和∠BCD 的平分线，两条角平分线交于点 E，∠E 与∠D，∠B 之间是否存在某种数量关系呢
【解决问题】为了解决上面的问题，我们从特例开始探究.
(1)如图2,若∠D=30°,∠B=50°,则∠E 的度数是多少呢 由“8字型”结论可得∠D+∠1=∠E+∠3,∠B+∠4=∠E+∠2.
请你完成后续的推理过程：
∴∠D+∠1+∠B+∠4= ,
∵CE,AE 分别是∠BCD,∠BAD 的平分线,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,
∴2∠E= ,
又∵∠D=30°,∠B=50°,
∴∠E= ;
(2)在总结前面问题的基础上，借助图2，写出∠E 与∠D，∠B之间的数量关系并说明理由；
【类比应用】(3)如图3,∠BAD 的平分线AE 与∠BCD 的平分线CE 交于点E.若∠D=α,∠B=β(α<β),则∠E= (用含α，β的式子表示).
24.(本题12分)定义：有一组对角互补的四边形叫做对补四边形.
(1)已知四边形ABCD 是对补四边形.
①若∠BAD=65°,则∠BCD 的度数是 ;
②如图1,∠BAD,∠BCD 的平分线分别与BC,AD 相交于点E,F,且∠D=90°,求证:AE∥CF;
(2)如图2,在四边形ABCD 中,对角线AC,BD 交于点E,且AC 平分∠BAD,∠ABC=∠BEC,CF 平分∠BCD,与AD 交于点F,且 CF⊥BD 于点G.四边形ABCD 是对补四边形吗 请说明理由；
(3)已知四边形ABCD 是对补四边形，其中三个顶点 A，B，D如图3所示,若AE平分∠BAD,CF 平分∠BCD,且直线AE，CF 交于点O(点O 与点C 不重合)，请直接写出∠AOC 与∠D 之间的数量关系.
1. B 2. A 3. C 4. B 5. C 6. B 7. C 8. B 9. A
10. D 解:∵∠1+∠2+∠EGF=180°,∠3+∠4+∠EGF=180°,∴∠1+∠2=∠3+∠4,故 A,B选项错误;∵∠1+∠C+∠D+∠EGD=360°.∴∠1+70°+105°+∠4+∠EGF=360°,∴∠1+∠4=185°-∠EGF,∵∠2+∠B+∠A+∠AGF=360°,∴∠2+85°+100°+∠3+∠EGF=360°,∴∠2+∠3=175°-∠EGF,∴∠1+∠4>∠2+∠3.故选 D.
11.912.813.30°
14.180°或360°或540°解：若剪去一个角剩下的是三角形，此时其内角和为180°；若剪去一个角剩下的是四边形，此时其内角和为(4-2)×180°=360°；若剪去一个角剩下的是五边形,此时其内角和为(5-2)×180°=540°.综上所述,剩下的多边形的内角和是 180°或360°或 540°.
15.110°解:∵∠1+∠2=140°,
∵∠A+∠D+∠AMN+∠DNM=360°.
∠A+∠D+∠B+∠C=360°.
∴∠B+∠C=∠AMN+∠DNM=110°.
16.解:(1)x+30+x+20+90+2x=360,解得x=55;
(2)x+x+40+180-x+100+2x-20=540,解得x=80.
17.解：设这个多边形的边数是 n.
由题意，得 解得 n=12.
答：这个多边形的边数是 12.
18.解:∵多边形ABCDE 是正五边形.
∴它的每一个外角都相等，
∴∠FED=∠FDE=360°÷ 5=72°,
∴∠F =∠180°-∠FED-∠FDE
=180°-72°-72°
=36°.
19.解:∵DE 平分.
∵∠ADC=96°,∴∠ADE=48°.
∵DE∥BC,∠AED=∠B=96°,
∴∠A=180°-∠ADE-∠AED=36°.
20.解:(1)六边形 ABCDEF 的内角和为(6-2)×180°=720°;
(2)∵∠A+∠E+∠F+∠ABG+∠EDG=485°,
∴∠GBC+∠C+∠CDG=235°,∴∠BGD=360°-235°=125°.
21.解:(1)∵AE⊥DE,∴∠AED=90°.
∵五边形的内角和为540°，
∴∠E+∠A+∠B+∠C+∠D=540°.
∵∠A=120°,∠E=90°,∠C=60°,
∴∠B+∠D=540°-90°-120°-60°=270°.
∵∠D-∠B=30°,∴∠B=120°,∠D=150°;
(2)∵∠B=120°,∠C=60°,∴∠B+∠C=180°,∴AB∥CD.
22.解:(1)∠DCE=∠A.理由如下:
在四边形ABCD中,∠B+∠D+∠A+∠BCD=360°.
∵∠B+∠D=180°,∴∠A+∠BCD=360°-180°=180°.
∵∠DCE+∠BCD=180°,∴∠DCE=∠A;
(2)AE⊥CF.理由如下:
0°,
∴∠EAB+∠AEB=180°-90°=90°.
∵AE 平分∠BAD,CF 平分∠DCE,
由(1)知∠DCE=∠BAD,
∴∠EAB=∠ECF,
∴∠ECF+∠AEB=90°,
∴∠CFE=90°,∴AE⊥CF.
23.解:(1)2∠E+∠3+∠2,∠D+∠B,40°;
理由如下：
由“8字型”结论可得,∠D+∠1=∠E+∠3,∠B+∠4=∠E+∠2,∴∠D+∠1+∠B+∠4=2∠E+∠3+∠2.
∵CE,AE 分别是∠BCD,∠BAD 的平分线,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,
延长BC 交AD 于点F.
∵∠BFD=∠B+∠BAD,
∴∠BCD=∠BFD+∠D=∠B+∠BAD+∠D.
∵CE 平分∠BCD,AE 平分∠BAD,
∵∠E+∠ECB=∠B+∠EAB,
∴∠E = ∠B +∠EAB - ∠ECB = ∠B +∠BAE -
∵∠D=α,∠B=β,即.
24.解:(1)①115°;
②∵∠BAD+∠BCD+∠B+∠D=360°,又∵四边形 ABCD是对补四边形,∴∠BAD+∠BCD=180°.∵AE,CF 分别平分∠BAD,∠BCD,∴∠EAF+∠ECF=90°.∵∠ECF=∠FCD,∴∠EAF+∠FCD=90°.在 Rt△CDF 中,∠D=90°,∴∠CFD+∠FCD=90°,∴∠EAF=∠CFD,∴AE∥CF;
(2)四边形ABCD 是对补四边形.理由:∵∠BEC 是△ABE的外角,∴∠BEC =∠BAC+∠ABD.又∵∠ABC =∠BEC,∴∠CBD+∠ABD=∠BAC+∠ABD,∴∠BAC=∠CBD.∵CF⊥BD,∠BGC=90°,∴∠CBD+∠BCG=90°.又∵∠BAC=∠CBD,∴∠BAC+∠BCG=90°.
∵AC,CF 分别平分∠BAD,∠BCD,
∴∠BAD=2∠BAC,∠BCD=2∠BCG,
∴∠BAD+∠BCD=2(∠BAC+∠BCG)=180°,
∴四边形ABCD 是对补四边形；
(3)①如图3-1,∠AOC-∠D=90°.∵四边形 ABCD 是对补四边形,∴∠B+∠D=180°,∠BAD+∠BCD=180°.∵AE,CF 分别为∠BAD 和∠BCD 的角平分线,∴∠1+∠2=90°.∵四边形内角和为360°,∴在四边形 ABCO 中∠B+∠AOC=270°,即∠AOC=270°-∠B.∵∠B+∠D ,即∠AOC-∠D=90°;
②如图3-2,∠D+∠AOC=90°.∵四边形 ABCD 是对补四边形,∴∠BAD+∠BCD=180°.∵AE,CF 为角平分线,∴∠1+∠2=90°.∵在△AFO中,∠AFO=180°-∠2-∠AOC,在△CDF 中,∠AFO=1+∠D,∴∠1+∠D=180°-∠2-∠AOC,即∠D+∠AOC=90°;
③如图3-3,∠D-∠AOC=90°.∵四边形 ABCD 是对补四边形,∴∠B+∠D=180°,∠BAD+∠BCD=180°.∵AE,CF 为角平分线,∴∠1+∠2=90°.∵在△OEC 中,∠BEA=∠AOC+∠2,在△ABE 中,∠BEA=180°-∠1-∠B,
∴∠AOC+∠2=180°-∠1-∠B.∵∠B=180°-∠D,
即∠D-∠AOC=90°.
综上所述,∠AOC-∠D=90°或∠D-∠AOC =90°或∠AOC+∠D=90°.

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