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2025-2026学年九年级数学下册新人教版第二十八章《锐角三角函数》单元导航练习题
一、单选题
1．在中，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图， ABC的顶点均在边长为1的正方形网格的格点上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，的直径为4，点在的延长线上，与相切于点，连接．若，则的长为（ ）
A．4 B．3 C． D．
4．如图所示的是某校周一晨会举行升国旗仪式的现场，每个学生都庄严地向国旗行注目礼、定义：学生看向国旗的视线与水平线的夹角称为仰视角．该校某身高为的学生到旗杆的距离为，旗杆的高为．若该生的眼睛与头顶的铅垂距离忽略不计，则该生在向国旗行注目礼的过程中，仰视角最大为（ ）
A．30° B． C．60° D．90°
5．如图，在菱形中，对角线，相交于点，点为上一点，连接，将 ADE沿翻折得到交于点，连接．当四边形为平行四边形时，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．在中，，为的角平分线，将沿着直线折叠，点落在点处，若，，则的值为（　　）．
A． B． C． D．
7．如图，为了测量某楼房的高度，小明在距离大楼位置处，用高的测量仪测得顶端的仰角为，则该楼房的高度为（，，）（ ）
A． B． C． D．
8．如图，正方形的对角线，相交于点O，点F是上一点，交于点E，连接，交于点P，连接．则下列结论：①；②；③四边形的面积是正方形面积的；④；⑤若，则．其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
9．如图，是的外接圆，若的半径为5，，则（ ）
A． B． C． D．
10．如图，已知正方形的边长为2，为中点，连接、相交于点，过点作的平行线，分别交，于点，，上有一点到点的距离为2，连接，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．计算：______．
12．如图，在 ABC中，，，分别以点、点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于、两点连接交于，交于，连接，若，则的长为______．
13．如图，在平面直角坐标系中，点，，，则的值为________．
14．如图，在中，，分别在边上，将 BDE沿折叠，点的对应点恰好落在上．若与 ABC相似，则的长是________．
15．如图，直线和直线外一点，以点为圆心，适当的长度为半径画弧，交直线于点，；分别以点，为圆心，线段的长为半径画弧，两弧交于点（点与点在直线的两侧）；作直线交直线于点，连接，，，．则______．
16．如图，圆O为 ABC的外接圆，与相交于圆心，且，，直线与圆O交于，则___________．
17．如图，切于点交于点，过点A作于点D，交于点B，连接，若，，则_______．
18．如图1所示的圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当太阳在正午时刻照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某地的地理位置设计的圭表的示意图，已知该地冬至正午时太阳高度角（即）大约为，夏至正午时太阳高度角（即）大约为．圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）为8，则表高（即的长）为( )
（参考数据：）
三、解答题
19．计算：．
20．计算：．
21．如图，四边形是平行四边形．
(1)求作菱形，使点E，F分别在边和边上（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)过点作，垂足为点G，若，，求（1）中菱形的面积．
22．如图，点在的边上，以为半径的与相切于点，与相交于点，为的直径，与相交于点，．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径和的长．
23．研学实践：泛舟禅师塔位于山西运城，是全国唯一的唐代单层圆形砖塔，在建筑设计和营造上均具有高超的艺术价值．某校研学小组在了解泛舟禅师塔的历史背景后，利用测量工具测量了相关数据．
数据采集：如下图是测量过程的几何示意图，点A是塔的顶端，AB的长表示点A到水平地面的距离．研学小组在地面上一点C处放置测角仪，测得顶端A的仰角，安装测角仪支架CD后测得顶端A的仰角，测得（米．（测角仪的高度忽略不计）
数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，根据上述数据，计算点A到地面的距离AB的长．（结果精确到0.1米，参考数据：，，，，，）
24．某校组织学生到地和地进行研学活动，陈老师在网上查得，和分别位于学校的正北和正东方向，位于南偏东方向，校车从出发，沿正北方向前往地，行驶到15千米的处时，导航显示，在处北偏东方向有一服务区，且位于两地中点处．
(1)求，两地之间的距离；
(2)校车从地匀速行驶1小时40分钟到达地，若这段路程限速100千米/时，计算校车是否超速？（参考数据：）
25．寒假期间，小渝和小北打算奔赴冰雪浓郁的哈尔滨．如图是四个必打卡的景点，该地徒步旅游路线分为北环线：和南环线：，其中在的正东方向处，在的南偏东方向，在的北偏东方向，也在的北偏西方向．（参考数据：，
(1)求北环线的长度（结果保留根号）；
(2)小渝选择走北环线，小北选择走南环线，两人同时从景点出发，小渝在途中发现小北的照相机落在自己背包里了，于是小渝决定到之后前往与小北汇合，已知小渝的步行速度与小北的步行速度之比为，结果两人同时到达景点（忽略途中停留打卡时间），求南环线的长度．（结果保留小数点后一位）
26．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于两点，与轴，轴分别交于点，若，点的坐标为．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)连接，求的面积；
(3)直接写出关于的不等式的解集．
试卷第1页，共3页
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《2025-2026学年九年级数学下册新人教版第二十八章《锐角三角函数》单元导航练习题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A C B B A D D C B
11．0
12．7
13．2
14．12或
15．
16．
17．
18．
19．解：
20．解：
．
21．（1）解：如图所示：四边形即为所求．
理由：由作法可知：，
中，，即，
四边形是平行四边形，
，
是菱形；
（2）解：，，
，
，
，
中，，
，
．
22．（1）解：如图，连接，
∵以为半径的⊙与相切于点，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
设的半径为，
∴，，而，，
∴，
解得：，即的半径为3，
∴，，，
∵，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
23．解：如图，延长交于点F．
由题意，得四边形为矩形．
，．
在中，，，
．
在中，，，
．
．
设，
，
．
．
解得．
答：点A到地面的距离的长约为10.2米．
24．（1）解：过作交于，
，
设，则，
在中，
，
，
为的中点且，
∴，
为中点，
∴，即，
解得，
，
答：两地之间的距离是．
（2）在中，，
，
，
正常速度为，所以校车不会超速．
25．（1）解：过点作于点，如图：
、、
，
，，
，，
，
答：北环线的长度为；
（2）解：过点C作的延长线于点，如图所示：
、，
设小渝的步行速度为，小北的步行速度为，两人步行时间为小时，
，
，，
，
在中，由勾股定理得，，
∵小渝与小北两人同时到达景点C，
∴，
整理得，，
，
解得，
因此南环线的长度为
，
答：南环线的长度为．
26．（1）解：∵一次函数与轴交于点，
∴，
∴．
∵中，，
∴，
∵一次函数与轴交于点，
∴，
解得，
∴一次函数的解析式为，
把点的坐标代入，可得，
∴点的坐标为．
∵反比例函数的图象过点，
∴，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：由，
解得或，
∴．
；
（3）解：由图象可得，不等式的解集为或．
答案第1页，共2页
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