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第1章　集合与充要条件
1.1　集合
1.1.2　集合之间的关系及集合的运算
考点一　集合之间的关系
1. 子集：一般地，如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，则称集合A是集 合B的子集，记作A B（或B A），读作“A包含于B”（或“B包含 A”）.
2. 集合的相等：一般地，如果集合A的元素与集合B的元素完全相同，则称集合 A与集合B相等，记作A＝B.
3. 真子集：一般地，如果集合A是集合B的子集，并且集合B中至少有一个元素 不属于集合A，则称集合A是集合B的真子集，记作A B或B A，读作“A真 包含于B”或“B真包含A”.
注：①空集是任何集合的子集；②空集是任何非空集合的真子集；③任何一个集 合都是它本身的子集.
考点二　集合的运算
4. 交集：一般地，对于给定的集合A与集合B，由既属于集合A又属于集合B的 所有元素组成的集合称为集合A与集合B的交集，记作A∩B，读作“A交B”.
5. 并集：一般地，对于给定的集合A与集合B，由集合A与集合B的所有元素组 成的集合称为集合A与集合B的并集，记作A∪B，读作“A并B”.
6. 全集：在研究某些集合时，如果这些集合都是一个给定集合的子集，那么这个 给定的集合称为全集，通常用字母U表示.
7. 补集：一般地，如果集合A是全集U的一个子集，那么由全集U中不属于集 合A的所有元素组成的集合称为集合A在全集U中的补集，记作 UA. 即 UA＝ {x｜x∈U且x A}.
注：当全集U为R时，集合A的补集可简记作 A.
8. 交集的运算性质：
（1）A∩B＝B∩A；
（2）A∩A＝A；
（3）A∩ ＝ ∩A＝ ；
（4）A∩B A，A∩B B.
9. 并集的运算性质：
（1）A∪B＝B∪A；
（2）A∪A＝A；
（3）A∪ ＝ ∪A＝A；
（4）A （A∪B），B （A∪B）.
10. 补集的运算性质：
（1）A∩ UA＝ ；
（2）A∪ UA＝U；
（3） U（ UA）＝A.
考向一　集合之间的关系
典型例题
例1　用符号“ ”“ ”或“＝”填空.
（1）{1，3} 　　　　{x∈N｜0＜x＜5}；
（2）{x｜｜x｜＝2} 　　　　{－2}；
（4）{0} 　　　　 .
变式训练1
用符号“∈”“ ”“ ”“ ”或“＝”填空.
（1）{a，b} {a，b，c，d，e}；
（2）{x｜｜x｜＝x} {x｜x≥0}；
（3）－2 {x｜x2＋x－6＝0}；

＝


考向二　集合的运算
典型例题
例2　（1）（2026年安徽省文化素质分类考试）已知集合A＝{2，3，4}，集合 B＝{3，5，6}，则A∪B＝（　　）.
A. {3} B. {2，3，4}
C. {3，5，6} D. {2，3，4，5，6}
（2）已知集合M＝{x｜－3＜x≤2}，集合P＝{x｜0＜x＜3}，则M∩P＝ （　　）.
A. {x｜－3＜x＜3} B. {x｜0＜x≤2}
C. {0，1，2} D. {x｜－3＜x＜0}
【典例解析】本题考查集合的交集与并集的运算.
（1）因为集合A＝{2，3，4}，集合B＝{3，5，6}，所以A∪B＝{2，3，4， 5，6}.故选D.
（2）因为集合M＝{x｜－3＜x≤2}，集合P＝{x｜0＜x＜3}，所以M∩P＝ {x｜0＜x≤2}.故选B.
【方法提炼】求两个集合的交集，关键是把两个集合中所有的“公共元素”找出 来构成一个新集合.求两个集合的并集，是要把两个集合中所有的元素构成一个 新集合，但是相同元素只计算一次.
变式训练2
A. {3} B. {1，3}
C. {3，6，9} D. {1，3，6，9}
【解析】由题意得A∩B＝{3}.
A. {x｜－1＜x＜5} B. {x｜0＜x＜4}
C. {x｜－1＜x＜0} D. {x｜4＜x＜5}
【解析】由题意得A∪B＝{x｜－1＜x＜4}∪{x｜0＜x＜5}＝{x｜－1＜x＜5}.
A
A
典型例题
例3　设全集U＝R，集合A＝{x｜0＜x≤3}，集合B＝{x｜x＞2}，求 UA， UB.
【典例解析】本题考查集合的补集.
由题意，得 UA＝{x｜x≤0或x＞3}； UB＝{x｜x≤2}.
【方法提炼】 UA＝{x｜x∈U且x A}，在求补集时，要特别注意区间端点的 选取.
变式训练3
A. {x｜0＜x≤3} B. {x｜x＜3}
C. {x｜0＜x＜3} D. {x｜x≤3}
【解析】由全集U＝{x｜x＞0}，集合A＝{x｜x≥3}，得 UA＝{x｜0＜x＜3}.
C
典型例题
例4　已知集合A＝{－1，2}，集合B＝{x｜ax＝1}，且A∩B＝B，求a的值.
【典例解析】本题考查集合的交集.
由A∩B＝B，得B A.
当集合B是空集时，a＝0.
【方法提炼】①由A∩B＝B，得B A；由A∩B＝A，得A B. ②由A∪B ＝B，得A B；由A∪B＝A，得B A.
变式训练4
A. －1 B. 1 C. 0或－1 D. 1或－1
【解析】由集合相等，得ax＋1＝0有实数解，且为a＋2，则a（a＋2）＋1＝ 0，即a＝－1.
A
一、选择题
A. Z Q B. N Q C. N* N D. {0}
A. {1，2，3，4} B. {3，4}
C. {1，2} D.
C
C
A. {－2，－1，0，2} B. {－2，－1，0}
C. {－1，2} D. {－1}
A. {1，3，4} B. {2，5，6}
C. {3，5，6} D. {2，5，6，7}
【解析】由题意得A∩B＝{1，3，4}，则 U（A∩B）＝{2，5，6，7}.
A
D
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【解析】①中集合之间只有包含、不包含关系，故错误；②中两集合中元素完全 相同，它们为同一集合，故正确；③中空集是任意集合的子集，故 {0，1，2} 正确；④中两个集合所研究的对象不同，{0，1}，{（0，1）}为不同集合，故错 误；⑤中元素与集合之间只有属于、不属于关系，故错误.所以正确的个数为2.
C
A. {－1，0，1} B. {0，1}
C. {0} D. {1}
A. {x｜x＞－2} B. {x｜－2＜x＜0}
C. {x｜－2＜x＜2} D. {x｜0＜x＜2}
【解析】因为集合A＝{x｜－2＜x＜2}，集合B＝{x｜x＜0或x＞2}，所以 A∩B＝{x｜－2＜x＜0}.
D
B
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【解析】因为集合A＝{x｜x2－2x－3＝0}＝{－1，3}中有两个元素，所以集合 A的真子集有 ，{－1}，{3}，共3个.
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
A. {0，3，4} B. {0，3}
C. {－1，0，3} D. {－2，－1，3}
B
B
B
A. {x｜0＜x＜2} B. {x｜0＜x＜4}
C. {x｜x＜4} D. R
A. A B B. A B
C. A＝B D. A∩B＝{2}
A. {0，2} B. {0，1，2，3}
C. {－2，0，2，4} D. {－2，0，1，2，3，4}
C
C
A
A. {x｜x＜－3} B. {x｜－3≤x＜6}
C. {x｜－3＜x≤6} D. {x｜x≥6}
C
二、填空题
15. 集合A＝{（x，y）｜y＝3x－2}，集合B＝{（x，y）｜y＝x＋4}，则 A∩B＝ .
16. 设全集U＝{－2，1，6，9}，集合A＝{－2，6，9}，集合B＝{1，9}，则 A∩ UB＝ .
【解析】由题意可知， UB＝{－2，6}，则A∩ UB＝{－2，6，9}∩{－2，6}＝ {－2，6}.
17. 已知集合A＝{2，－3}，集合B＝{2m－1，2}，且A＝B，则m＝ .
{（3，7）}
{－2，6}
－1
18. 已知集合A由4个元素组成，集合{a，e，m}和{m，n}都是它的真子集， 则集合A＝ .
19. 已知集合A＝{x｜x＝2k，k∈Z}，集合B＝{x｜x＝4k，k∈Z}，则 A B. （填“ ”“ ”或“＝”）
20. 已知集合A＝{x｜－2＜x＜3}，集合B＝{x｜x＜2a－3}，且A B，则实 数a的取值范围是 .
【解析】因为A B，所以2a－3≥3，则a≥3，得实数a的取值范围是
{x｜x≥3}.
{a，e，m，n}

{x｜x≥3}
三、解答题
21. 已知集合A＝{x∈N｜｜x｜≤3}，集合B＝{x｜x2－2x－3＝0}，求 A∩B，A∪B.
解：由｜x｜≤3得－3≤x≤3，又因为x∈N，
所以集合A＝{0，1，2，3}.
由x2－2x－3＝0得x＝3或x＝－1，
所以集合B＝{－1，3}.
则A∩B＝{3}，A∪B＝{－1，0，1，2，3}.
22. 设集合A＝{x，y}，集合B＝{0，x2}，且A＝B，求x＋y.
解：因为A＝B，所以{x，y}＝{0，x2}，
当x＝0时，则有x2＝0，此时集合B不满足元素的互异性，故舍去；
当y＝0时，则有x2＝x，解得x＝1或x＝0（舍），
此时集合A＝{1，0}，集合B＝{0，1}，满足题意.
所以x＋y＝1＋0＝1.
23. 已知{m} {－1，2，m2－m－3}，求实数m的值.
解：当m＝－1时，m2－m－3＝－1，不符合题意；
当m＝2时，m2－m－3＝－1，不符合题意；
当m＝m2－m－3时，解得m＝3（符合题意）或m＝－1（不符合题意，舍 去）.
综上所述，实数m的值为3.
24. 已知集合A＝{x｜－1＜x＜5}，集合B＝{x｜2a－1＜x＜3a＋2}，若 A∩B＝ ，求实数a的取值范围.
解：由A∩B＝ ，可分B＝ 和B≠ 两种情况.
①若B＝ ，则2a－1≥3a＋2，解得a≤－3.
②若B≠ ，则a＞－3，且由于A∩B＝ ，则有3a＋2≤－1或2a－1≥5，解 得－3＜a≤－1或a≥3.
综上所述，实数a的取值范围为（－∞，－1]∪[3，＋∞）.

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