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第1章　集合与充要条件
思维导图
命题解读
考情分析
1.了解集合及元素的概念；了解空集、有限集和无限集的含义；理解元素与集 合之间的关系；理解集合中元素的三大特性：确定性、互异性、无序性；掌握 常用的数集的表示符号；能用列举法和描述法表示不同的集合.
2.理解集合之间包含与相等、子集与真子集的含义；掌握集合之间基础关系的 表示符号，并能用Venn图表示集合之间的关系.
3.了解两个集合的并集与交集的含义及其性质，会求两个简单集合之间的并集 与交集；了解全集和补集的含义，会求集合的补集.
4.了解命题的概念及命题真假的判断；理解充分不必要条件、必要不充分条 件、充要条件、既不充分也不必要条件的概念；了解命题中条件与结论的关系.
命题方向 题型与题量
1.元素与集合之间的关系.
2.集合中元素的三大特性.
3.求集合的子集或真子集的个数，由集合相等求未知数.
4.求交集、并集、补集等.
5.用特殊符号连接两个集合，赋予集合一种新的运算等.
6.充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分 也不必要条件的判断. 【考查题型】
选择题.
【考查题量】
一般为2或3题.
1.1　集合
1.1.1　集合及其表示
考点一　集合及元素的概念
1. 一般地，由某些确定的对象组成的整体称为集合，简称为集.组成这个集合的 对象称为这个集合的元素.
2. 集合中元素的基本特性：确定性、互异性、无序性.
考点二　元素与集合的关系
3. 如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A，读作“a属于A”；如 果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a A，读作“a不属于A”.
考点三　集合的分类
4. 有限集：含有有限个元素的集合；
无限集：含有无限个元素的集合；
空集：不含任何元素的集合，记作 .
注：空集也是有限集.
5. 常见数集.
自然数集记作N，正整数集记作N*或N＋，整数集记作Z，有理数集记作Q，实数 集记作R.
考点四　集合的表示法
6. 列举法：把集合的所有元素一一列举出来，中间用逗号隔开，并用花括号 “{}”把它们括起来，这种表示集合的方法称为列举法.
7. 描述法：利用元素的特征性质来表示集合的方法称为描述法.
考向一　集合及元素的概念
典型例题
例1　下列对象不能组成集合的是（　　）.
A. 绝对值等于2的实数 B. 不超过5的自然数
C. 中国古代四大发明 D. 所有的数学难题
【典例解析】本题考查集合的概念.根据集合的概念，A，B，C项中描述的对象 是确定的，可以组成集合；选项D中，因为“数学难题”没有具体标准，对象不 是确定的，所以不能组成集合.故选D.
【方法提炼】判断题目中的对象是否可以组成集合，关键是判断对象是否可 以确定.
变式训练1
A. 某班级中的视力较好的同学
B. 某地区面积较大的住宅
C. 人口密度大的国家
D. 我国的自治区和直辖市
D
考向二　元素与集合的关系
典型例题
例2　下列元素与集合的关系中，正确的是（　　）.
B. 0∈{x｜x2－x＝0}
C. ＝{ } D. 0 N
【方法提炼】a是集合A中的元素，用“a∈A”表示；a不是集合A中的元素， 用“a A”表示.其中“∈”与“ ”左边是元素，右边是集合.
变式训练2
用符号“∈”或“ ”填空.
∈


∈

考向三　集合的表示法
典型例题
例3　分别用列举法和描述法表示绝对值不大于3的所有整数组成的集合.
【典例解析】本题考查集合的表示法.
该集合中元素具有的共同性质：都是整数且绝对值不大于3.
列举法：{－3，－2，－1，0，1，2，3}；
描述法：{x∈Z｜｜x｜≤3}.
【方法提炼】用列举法表示集合时，一般要求集合中元素较少或有很明显的规 律；用描述法表示集合时，花括号内要包括三点内容：集合元素的一般符号及取 值（或变化）范围、一条竖线、元素所具有的共同特征.
变式训练3
按要求表示下列集合.
（1）用描述法表示集合{0，1，2，3，4}；
解：（1）0，1，2，3，4都是小于5的自然数，故可以表示成{x∈N｜x＜5}. （答案不唯一）
（2）用列举法表示集合{x｜（x＋2）（x－5）＝0}.
解：（2）方程（x＋2）（x－5）＝0的解是x＝－2或x＝5，故可以表示成
{－2，5}.
A. ③④ B. ①②③ C. ② D. ①④
【解析】集合{（1，－2）}中的元素是（1，－2），①不正确；根据集合的无序 性可知③不正确；集合{x｜1＜x＜5}是无限集，④不正确.
C
A. 1或－1 B. 0 C. 1 D. 0或－1
A. {x∈Q｜x＞0} B. {x｜0＜x＜1}
C. {x｜x2＝3} D. {（x，y）｜xy＞0}
B. 0 N
C. 2∈{x｜x2＝4} D. 0＝{0}
D
C
C
A. 菱形 B. 梯形
C. 平行四边形 D. 矩形
【解析】根据集合中元素的互异性可知，a，b，c，d四个数互不相等，故以 a，b，c，d四个数为边长构成的四边形不可能是菱形、平行四边形或矩形，只 有梯形符合题意.
A. {（x，y）｜xy＞0} B. {（x，y）｜x＜0或y＜0}
C. {（x，y）｜x＜0且y＜0} D. {（x，y）｜x＋y＜0}
B
C
A. {－3，－1，1，3，5，7} B. －1，1，3，5，7
C. {1，3，5，7} D. {－1，1，3，5，7}
A. 10 B. 13 C. －9 D. 18
D
B
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
B
A. －3 B. 2 C. 9 D. －9
【解析】由题意可知，x＝1和x＝2为方程x2＋ax＋b＝0的两个根，根据韦达 定理可知－a＝1＋2，即a＝－3，b＝1×2＝2，故ab＝（－3）2＝9.
A. {5，3} B. {x＝5，y＝3}
C. {（5，3）} D. {（x，y）｜x＝5或y＝3}
C
C
A. x＞0 B. x＝0 C. x＜0 D. x≤0
【解析】由集合中元素的互异性可知，｜x｜≠－x，所以x＞0.
A. 第一或第二象限的点 B. 第二或第四象限的点
C. 第三或第四象限的点 D. 第一或第三象限的点
A
B
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
【解析】由题意，可得集合A中的元素为有序数对，且满足x＋y＝4，x， y∈N，所以集合A中的元素有（0，4），（1，3），（2，2），（3，1）， （4，0），共5个.
B
二、填空题
15. 英文单词“mathematics”中的字母所组成的集合中，元素的个数为 .
【解析】该单词由11个字母组成，其中“m，a，t”三个字母重复，由集合中元 素的互异性知，该集合中元素的个数为8.
16. 集合{x∈N｜｜x－2｜≤2}用列举法表示为 .
【解析】由｜x－2｜≤2，得0≤x≤4，∵x∈N，∴原集合用列举法表示为{0， 1，2，3，4}.
17. 已知集合M中的元素满足x∈N，且2＜x＜a.若M中恰有五个元素，则整数 a＝ .
【解析】根据题意可知x只能取3，4，5，6，7五个元素，所以整数a＝8.
8
{0，1，2，3，4}
8
18. 若a∈{1，2，a3}，则a的所有可能的取值构成的集合为 .
【解析】当a＝1时，则a3＝1，不满足互异性；当a＝2时，则a3＝8，集合为 {1，2，8}，符合题意；当a＝a3时，则a＝0或a＝－1（其中a＝1舍去），若a ＝0，此时集合为{0，1，2}，符合题意，若a＝－1，此时集合为{－1，1，2}， 符合题意.综上，a的取值集合为{0，－1，2}.
20. 已知集合A＝{3，5，8}，若当实数a∈A时，8－a∈A，则a＝ .
【解析】若a＝3，则8－3＝5∈A，符合题意；若a＝5，则8－5＝3∈A，符合 题意；若a＝8，则8－8＝0 A，不符合题意，舍去，所以a＝3或a＝5.
{0，－1，2}
a∈A
3或5
三、解答题
21. 用列举法表示下列集合.
（1）集合M＝{x∈N*｜x－3＜2}，
解：（1）集合M＝{x∈N*｜x－3＜2}＝{1，2，3，4}.
（2）集合P＝{x｜x＝3k＋2，k≤4，k∈N}.
解：（2）将k＝0，1，2，3，4分别代入x＝3k＋2，得集合P＝{2，5，8， 11，14}.
23. 已知集合A＝{2，4，x2－x}，若12∈A，求x的值.
解：由题意，可得x2－x＝12，则x＝－3或x＝4.
24. 已知集合A＝{x｜ax2－8x＋b＝0，a≠0}，且1∈A，－5∈A，求a和b的 值.
解得a＝－2，b＝10.

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